دینامیک سیالات - مسائل و راه‌حل‌ها

دینامیک سیالات - مسائل و راه‌حل‌ها

قضیه توریچلی

۱. ظرفی پر از آب است و سوراخی در آن وجود دارد ، همانطور که در شکل زیر نشان داده شده است. اگر شتاب گرانش ۱۰ متر بر ثانیه باشد ^، سرعت آب از طریق آن سوراخ چقدر است؟

شناخته شده:

قد (ارتفاع) = ۸۵ سانتی‌متر – ۴۰ سانتی‌متر = ۴۵ سانتی‌متر = ۰.۴۵ متر

شتاب گرانش (g) = 10 متر بر مجذور ^ثانیه

مورد نظر: سرعت آب (v)

راه حل :

قضیه توریچلی بیان می‌کند که آب با همان سرعتی از سوراخ خارج می‌شود که یک جسم از همان ارتفاع سقوط آزاد می‌کند. ارتفاع (h) = 85 سانتی‌متر – 40 سانتی‌متر = 45 سانتی‌متر = 0.45 متر

سرعت آب با استفاده از معادله حرکت سقوط آزاد محاسبه می‌شود :

vt _{2 =} ² gh

v _t ² = 2 gh = 2(10)(0.45) = 9

vt = √9 = 3 متر بر _ثانیه

۴. ظرفی پر از آب است و سوراخی در آن وجود دارد، همانطور که در شکل زیر نشان داده شده است. اگر شتاب گرانش ۱۰ متر بر ثانیه باشد ^، سرعت آب از طریق آن سوراخ چقدر است؟

شناخته شده:

ارتفاع (ارتفاع) = ۱.۵ متر – ۰.۲۵ متر = ۱.۲۵ متر

شتاب گرانش (g) = 10 متر بر ^ثانیه

مورد نظر: سرعت آب (v)

راه حل :

v _t ² = 2 gh = 2(10)(1.25) = 25

vt = √25 = 5 متر بر _ثانیه

۴. ظرفی پر از آب است و سوراخی در آن وجود دارد، همانطور که در شکل زیر نشان داده شده است. اگر شتاب گرانش ۱۰ متر بر ثانیه باشد ^، سرعت آب از طریق آن سوراخ چقدر است؟

شناخته شده:

ارتفاع (ساعت) = ۱ متر – ۰.۲۰ متر = ۰.۸ متر

شتاب گرانش (g) = 10 متر بر ^ثانیه

مورد نظر: سرعت آب (v)

راه حل :

v _t ² = 2 gh = 2(10)(0.8) = 16

vt = √16 = 4 متر بر _ثانیه

۴. ظرفی پر از آب است و سوراخی در آن وجود دارد، همانطور که در شکل زیر نشان داده شده است. اگر شتاب گرانش ۱۰ متر بر ثانیه باشد ^، سرعت آب از طریق آن سوراخ چقدر است؟

شناخته شده:

ارتفاع (ساعت) = 20 سانتی‌متر = 0.2 متر

شتاب گرانش (g) = 10 متر بر ^ثانیه

مورد نظر: سرعت آب (v)

راه حل :

۵. ظرفی پر از آب است و دو سوراخ وجود دارد ، همانطور که در شکل زیر نشان داده شده است. نسبت x1 _به x2 _چقدر است ؟

راه حل

فاصله زمانی سقوط آزاد آب از سوراخ ۱:

ساعت = ۱/۲ در ^۲

0.8 = 1/2 (10) t ²

۱۰ = ۵ ت ^۲

تی ^۲ = ۰.۵ / ۵ = ۰.۱

t = 0.4 ثانیه

فاصله زمانی سقوط آزاد آب از سوراخ ۱:

ساعت = ۱/۲ در ^۲

0.5 = 1/2 (10) t ²

۱۰ = ۵ ت ^۲

تی ^۲ = ۰.۵ / ۵ = ۰.۱

t = √0.1 ثانیه

فاصله افقی (x):

x ₁ = v ₁ t ₁ = (2)(0.4) = 0.8 متر

x _^2 = v^ ₂ t _^2 = (√10)(√0.1) = (10)(0.1) = 1 متر

نسبت _x1 به _x2 :

ایکس _{۱ :} ایکس _۲ = ۰.۸ : ۱ = ۸ : ۱۰ = ۴ : ۵

معادله پیوستگی

۶. آب از لوله‌ای با قطر متغیر، از A به B و سپس به C جریان می‌یابد. نسبت A به C برابر با ۸ به ۳ است. اگر سرعت آب در لوله A برابر با v باشد، سرعت آب در لوله C چقدر است؟

شناخته شده:

مساحت A (A_A) = 8،XNUMX،XNUMX،XNUMX،XNUMX،XNUMX،XNUMX،XNUMX،XNUMX

مساحت C ( _AC ) = 3

سرعت آب در لوله A (v _A ) = v

مورد نظر: سرعت آب در لوله C (v _C )

راه حل :

معادله پیوستگی:

الف _الف و _الف = _الف و _ج

۸ ولت = ۳ ولت _{سانتیگراد}

v _C = 8/3 v

۷. اگر سرعت آب در لوله ای با قطر ۱۲ سانتی متر، ۱۰ سانتی متر بر ثانیه باشد، سرعت آب در لوله ای با قطر ۸ سانتی متر چقدر است؟

شناخته شده:

قطر ۲ (d^ ₁ ) = ۸ سانتی‌متر، شعاع ۲ (r^ ₁ ) = ۴ سانتی‌متر

قطر ۲ (d^ ₂ ) = ۸ سانتی‌متر، شعاع ۲ (r^ ₂ ) = ۴ سانتی‌متر

سرعت آب ۱ (v ₁ ) = 10 سانتی‌متر بر ثانیه

مورد نظر: سرعت آب ۲ (نسخه _۲ )

راه حل :

مساحت 1 (A ₁ ) = π r ² = π 6 ² = 36π cm ²

مساحت 2 (A ₂ ) = π r ² = π 4 ² = 16π cm ²

معادله پیوستگی:

الف _۱ در مقابل _۱ = الف _۲ در مقابل _۲

(36π)(10) = (16π) v ₂

(36)(10) = (16) در مقابل ₂

۳۶۰ = (۱۶) در مقابل _۲

v ₂ = 360/16

v ₂ = 22.5 سانتی‌متر بر ثانیه

۸. آب از لوله‌ای با قطر متغیر، مطابق شکل زیر، عبور می‌کند. اگر مساحت ۱ (A1 ₎ = ۸ سانتی‌متر ^مربع ، A2 ₌ ۲ سانتی‌متر ^مربع و سرعت آب در لوله ۲ = v2 _{= ۲ متر بر ثانیه باشد، آنگاه سرعت آب در لوله ۱ = v1} چقدر است ؟

شناخته شده:

منطقه ۱ (الف)₁) = ۶ سانتی‌متر²

مساحت 2 (A^ ₂ ) = 2 سانتی‌متر ^مربع

سرعت آب در لوله ۲ (v2 ₎ = ۲ متر بر ثانیه

مورد نظر: سرعت آب در لوله ۱ (نسخه _۱ )

راه حل :

معادله پیوستگی:

الف _۱ در مقابل _۱ = الف _۲ در مقابل _۲

8 در برابر ₁ = (2)(2)

۸ در _۱ = ۴

v ₁ = 4 / 8 = 0.5 متر بر ثانیه

۹. اگر قطر لوله بزرگتر دو برابر قطر لوله کوچکتر باشد، سرعت سیال در لوله کوچکتر چقدر است؟

شناخته شده:

قطر لوله بزرگتر (d₁) = 2،XNUMX،XNUMX،XNUMX،XNUMX،XNUMX،XNUMX،XNUMX،XNUMX

شعاع لوله بزرگتر (r1 ₎ = ½ d1 ₌ ½ (2) = 1

مساحت لوله بزرگتر ( A ₁ ) = π r ₁ ² = π (1) ² = π (1) = π

قطر لوله کوچکتر (d^ ₂ ) = 1

شعاع لوله کوچکتر (r^ ₂ ) = ½ d^ ₂ = ½ (1) = ½

مساحت لوله کوچکتر ( A ₂ ) = π r ₂ ² = π (1/2) ² = π (1/4) = ¼ π

سرعت سیال در لوله بزرگتر ( _v1 ) = 4 متر بر ثانیه

مورد نظر: سرعت سیال در لوله کوچکتر ( نسخه _۲ )

راه حل :

معادله پیوستگی:

الف _۱ در مقابل _۱ = الف _۲ در مقابل _۲

عدد پی ۴ = ¼ عدد پی (v^ ₂ )

۴ = ¼ (حجم _۲ )

v ₂ = 8 متر بر ثانیه

اصل برنولی و معادلات آن

10. آب با یک کمپرسور 120 کیلوپاسکال پمپ می‌شود و وارد لوله پایینی (1) می‌شود و با سرعت 1 متر بر ثانیه به سمت بالا جریان می‌یابد. شتاب ناشی از گرانش 10 متر بر ثانیه و چگالی آب 1000 کیلوگرم بر متر مکعب ^است . فشار آب بر لوله بالایی (II ) چقدر است ؟

شناخته شده:

شعاع لوله پایینی (r₁) = ۶ سانتی‌متر

شعاع لوله پایینی (r^ ₂ ) = 6 سانتی‌متر

فشار آب در لوله پایینی (p1 ₎ = 120 kPa = 120,000 Pascal

سرعت آب در لوله پایینی (v ₁ ) = 1 ms ^-1

ارتفاع لوله پایینی (h1 ₎ = 0 متر

ارتفاع لوله بالایی (h2 ₎ = 2 متر

شتاب گرانش (g) = 10 ms ^-2

چگالی آب = 1000 کیلوگرم بر متر ^مکعب

مورد نیاز: فشار آب در لوله ۲ (صفحه _۲ )

راه حل :

سرعت آب در لوله ۲ با معادله پیوستگی محاسبه می‌شود:

فشار آب در لوله ۲ با استفاده از معادله برنولی محاسبه می‌شود:

۱۱. یک لوله بزرگ ۵ متر بالاتر از سطح زمین و یک لوله کوچک ۱ متر بالاتر از سطح زمین قرار دارد. سرعت آب در لوله بزرگ ۳۶ کیلومتر بر ساعت با فشار ۹.۱ × ۱۰۵ ^پاسکال است ، در حالی که فشار در لوله کوچک ۲.۱۰۵ پاسکال است ^. سرعت آب در لوله کوچک چقدر است ؟ چگالی آب = ۱۰۳ ^{کیلوگرم} بر متر ^مکعب

شناخته شده:

فشار آب در لوله بزرگ (p₁) = ۲ × ۱۰⁵ پاسکال = ۲۰۰۰۰۰ پاسکال

فشار آب در لوله کوچک (p^ ₂ ) = 2 x 10^ ⁵ پاسکال = 200,000 پاسکال

سرعت آب در لوله بزرگ (v ₁ ) = 36 کیلومتر بر ساعت = 36(1000)/(3600) = 36000/3600 = 10 متر بر ثانیه

ارتفاع لوله بزرگ (h ₁ ) = -4 متر

ارتفاع لوله کوچک (h2 ₎ = 0 متر

شتاب گرانش (g) = 10 ms ^-2

چگالی آب = ۱۰۰۰ کیلوگرم بر متر ^مکعب

مورد نظر: سرعت آب در لوله کوچک (نسخه _۲ )

راه حل :

سرعت آب در لوله کوچک (v2 ₎ با استفاده از معادله برنولی محاسبه می‌شود:

۱۲. لوله‌ای با شعاع ۱۵ سانتی‌متر به لوله دیگری با شعاع ۵ سانتی‌متر متصل است. هر دو در حالت افقی قرار دارند. سرعت جریان آب در لوله بزرگ ۱ متر بر ثانیه با فشار ۱۰۵ نیوتن بر متر مربع است ^. فشار آب ^روی لوله کوچک چقدر است (۱ گرم بر سانتی‌متر مکعب ⁾ ؟

شناخته شده:

شعاع لوله بزرگ (r1 ₎ = 15 سانتی‌متر = 0.15 متر

شعاع لوله کوچک (r^ ₂ ) = 5 سانتی‌متر = 0.05 متر

فشار آب در لوله بزرگ (p1 ₎ = 105 ^نیوتن متر مربع ⁼ 100.000 نیوتن متر ^مربع

سرعت آب در لوله بزرگ (v ₁ ) = 1 ms ^-1

شتاب گرانش (g) = 10 ms ^-2

چگالی آب = 1 گرم بر سانتی‌متر ^مکعب = 1000 کیلوگرم بر متر ^مکعب

اختلاف ارتفاع (Δh) = ۰.

مورد نظر: فشار در لوله کوچک (صفحه _۲ )

راه حل :

سرعت آب در لوله ۲ با استفاده از معادله پیوستگی محاسبه می‌شود:

فشار آب در لوله کوچک (p2 ₎ با استفاده از معادله برنولی محاسبه می‌شود:

1. دینامیک سیالات چیست؟
   • پاسخ: دینامیک سیالات شاخه‌ای از فیزیک است که حرکت سیالات (مایعات و گازها) و نیروهای وارد بر آنها را مطالعه می‌کند. این شاخه شامل اصول و معادلاتی است که چگونگی جریان سیالات، تعامل با مرزهای جامد و تأثیر آنها بر یکدیگر را توصیف می‌کند.
2. تفاوت بین جریان آرام و آشفته چیست؟
   • پاسخ: جریان آرام با لایه‌های صاف و موازی سیال که در مسیرهای منظم حرکت می‌کنند، مشخص می‌شود. از سوی دیگر، جریان آشفته، بی‌نظم است و دارای گرداب‌ها، چرخش‌ها و نوسانات سریع می‌باشد. آشفتگی عموماً در سرعت‌های بالا یا در کانال‌های با شکل نامنظم رخ می‌دهد.
3. مفهوم ویسکوزیته در دینامیک سیالات چه اهمیتی دارد؟
   • پاسخ: ویسکوزیته، مقاومت یک سیال در برابر برش یا جریان را اندازه‌گیری می‌کند. سیالات با ویسکوزیته بالا (مانند عسل) بیشتر از سیالات با ویسکوزیته پایین (مانند آب) در برابر جریان مقاومت می‌کنند. در دینامیک سیالات، ویسکوزیته نقش مهمی در تعیین ماهیت جریان سیال، اتلاف انرژی و نیروهای درگ ایفا می‌کند.
4. اصل برنولی چیست؟
   • پاسخ: اصل برنولی بیان می‌کند که در یک جریان پایدار، مجموع انرژی فشار، انرژی جنبشی و انرژی پتانسیل در واحد حجم ثابت می‌ماند. به طور خاص، جایی که سرعت سیال زیاد است، فشار کم است و برعکس.
5. اصل نیروی بالابر در آیرودینامیک چگونه به دینامیک سیالات مربوط می‌شود؟
   • پاسخ: نیروی بالابرنده روی بال هواپیما را می‌توان با استفاده از اصل برنولی و قانون سوم نیوتن توضیح داد. هنگامی که هوا از روی بال عبور می‌کند، در سطح منحنی بالایی سریع‌تر از سطح پایینی حرکت می‌کند و اختلاف فشار ایجاد می‌کند. این اختلاف فشار، همراه با انحراف رو به پایین هوا توسط بال، منجر به نیروی بالابرنده به سمت بالا می‌شود.
6. معادله پیوستگی در دینامیک سیالات چیست؟
   • پاسخ: معادله پیوستگی بیان می‌کند که حاصلضرب سطح مقطع (A) یک جریان در سرعت آن (v) در امتداد یک خط جریان در یک جریان پایدار ثابت می‌ماند. از نظر ریاضی، A₁​v_1​=A₂​v₂​، که در آن A_1​ و A₂​ سطوح مقطع عرضی هستند و v₁​ و v_2​ سرعت‌ها در دو نقطه در امتداد خط جریان هستند.
7. عدد رینولدز چه نقشی در دینامیک سیالات دارد؟
   • پاسخ: عدد رینولدز یک کمیت بدون بعد است که به پیش‌بینی رژیم جریان (آرام، انتقالی یا آشفته) در دینامیک سیالات کمک می‌کند. این عدد به صورت نسبت نیروهای اینرسی به نیروهای ویسکوز تعریف می‌شود و به عواملی مانند سرعت سیال، طول مشخصه و خواص سیال بستگی دارد.
8. نیروی پسا چگونه بر اجسامی که در سیال حرکت می‌کنند، اثر می‌گذارد؟
   • پاسخ: نیروی پسا (یا نیروی درگ) در برابر حرکت یک جسم در سیال مقاومت می‌کند. این نیرو به دلیل مقاومت ویسکوزیته سیال و اختلاف فشار در اطراف جسم ایجاد می‌شود. بزرگی و ماهیت پسا به عواملی مانند شکل جسم، زبری، سرعت و خواص سیال بستگی دارد.
9. اثر ونتوری چیست؟
   • پاسخ: اثر ونتوری به کاهش فشار سیال اشاره دارد که هنگام جریان سیال از طریق یک بخش تنگ لوله رخ می‌دهد. با افزایش سرعت سیال در بخش تنگ (به دلیل پایستگی جرم)، فشار آن طبق اصل برنولی کاهش می‌یابد.
10. چرا سرعت سیال هنگام عبور از یک بخش باریک از لوله یا کانال افزایش می‌یابد؟

• پاسخ: این رفتار را می‌توان با اصل پایستگی جرم توضیح داد. در یک جریان پایدار، حجم سیال ورودی به یک مقطع از لوله باید برابر با حجم خروجی باشد. اگر لوله باریک باشد، سیال باید سرعت بگیرد تا اجازه دهد حجم یکسانی در یک زمان معین از آن عبور کند.