حرکت دایرهای - مشکلات و راهحلها
۱. یک جسم ۱۰ کیلوگرمی با سرعت ثابت ۴ متر بر ثانیه در یک مسیر دایرهای حرکت میکند. اگر شعاع دایره ۰.۵ متر باشد، آنگاه:
۱) فرکانس دایرهها ۴/π هرتز است
۲) شتاب مرکزگرا ۳۲ میلیثانیه -۲ است
۳) نیروی گریز از مرکز ۳۲۰ نیوتن است
۴) دوره تناوب ۴π ثانیه است.
کدام گزارهها درست هستند؟
شناخته شده:
جرم جسم (متر) = ۵ کیلوگرم
سرعت خطی (v) = 4 متر بر ثانیه
شعاع دایره (r) = 0.5 متر
راه حل :
۱) فرکانس دایره
v = 2 π rf
۴ = ۲ پی (۰.۵) اف
۴ = π f
f = 4/π هرتز
۲) شتاب مرکزگرا
همانطور که s = v^ 2 / r = 4 ^2 / 0,5 = 16 / 0,5 = 32 متر بر ثانیه است.
۳) نیروی گریز از مرکز
F = ma s = (10)(32) = 320 N
۴) دوره
T = 1: f = 1: 4/π = 1 x π/4 = π/4
۲. جسمی در دایرهای به شعاع ۶ متر حرکت میکند. اگر جسم در ۲ دقیقه ۱۶ دایره را دور بزند، سرعت خطی جسم چقدر است؟
شناخته شده:
شعاع (r) = 6 متر
سرعت زاویهای (ω) = 16 دور / 2 دقیقه = 8 دور / دقیقه = 8 دور / 60 ثانیه = 0.13 دور بر ثانیه.
مورد نظر: سرعت خطی (v)؟
راه حل :
v = r ω = (6 متر)(0.13 دور بر ثانیه) = 0.8 متر بر ثانیه
بر حسب رادیان:
۱ دور = ۲π رادیان = ۲(۳.۱۴) = ۶.۲۸ رادیان
سرعت زاویهای = 8 (6.28) رادیان / 60 ثانیه = 50.24 رادیان / 60 ثانیه = 0.84 رادیان بر ثانیه
v = r ω = (6 متر)(0.84 رادیان بر ثانیه) = 5.04 رادیان بر ثانیه.
۳. جسمی با شعاع ۲۰/π سانتیمتر در ۱ ثانیه ۴ بار میچرخد. سرعت خطی لبه جسم چقدر است؟
شناخته شده:
شعاع (r) = 20/π سانتیمتر = 20 / 3.14 سانتیمتر = 6.4 سانتیمتر = 0.064 متر
سرعت زاویهای (ω) = ۴ دور بر ۱ ثانیه = ۴ دور بر ثانیه.
۱ دور = (۲)(۳.۱۴) رادیان = ۶.۲۸ رادیان
سرعت زاویهای (ω) = (4)(6.28) رادیان بر ثانیه = 25.12 رادیان بر ثانیه
مورد نظر: سرعت خطی لبه جسم (v)
راه حل :
v = r ω = (0.064 متر)(25.12 رادیان بر ثانیه) = 1.6 متر بر ثانیه
۴. جسمی که با سرعت ثابت در یک مسیر دایرهای حرکت میکند، سرعت خطی جسم به ... بستگی دارد.
راه حل :
معادله سرعت خطی حرکت دایرهای:
v = سرعت خطی
d = 2πr = محیط
T = دوره تناوب = زمان لازم برای یک دور کامل.
۵. جسمی در دایرهای به شعاع ۵۰ متر حرکت میکند. اگر سرعت زاویهای جسم ۱۲۰ دور در دقیقه باشد، بازه زمانی و سرعت خطی جسم چقدر است؟
شناخته شده:
شعاع (r) = 50 سانتیمتر = 0.5 متر
سرعت زاویهای (ω) = 120 دور در دقیقه = 120 دور بر دقیقه / 1 دقیقه = 120 دور بر دقیقه / 60 دقیقه = 2 دور بر ثانیه
۱ دور = ۲π رادیان
سرعت زاویهای (ω) = 2 (2π رادیان) / 1 ثانیه = 4π رادیان بر ثانیه
مورد نظر: بازه زمانی (T) و سرعت خطی (v)
راه حل :
دوره تناوب (T):
دوره تناوب، زمان لازم برای یک دور کامل است.
یک جسم در ۱ ثانیه دو دور میچرخد = ۱ دور در هر ۰.۵ ثانیه. دوره تناوب = ۰.۵ ثانیه.
سرعت خطی (v):
v = r ω = (0.5 متر)(4π رادیان بر ثانیه) = 2π متر بر ثانیه.
- تفاوت سرعت مماسی و سرعت زاویهای در حرکت دایرهای چیست؟
پاسخ : سرعت مماسی، سرعت خطی یک نقطه روی یک جسم چرخان است و نشان میدهد که آن نقطه با چه سرعتی در طول مسیر دایرهای خود حرکت میکند. از سوی دیگر، سرعت زاویهای به سرعت تغییر زاویه هنگام چرخش جسم اشاره دارد. سرعت مماسی معمولاً بر حسب متر بر ثانیه (m/s) اندازهگیری میشود در حالی که سرعت زاویهای معمولاً بر حسب رادیان بر ثانیه (rad/s) اندازهگیری میشود.
- شتاب مرکزگرا چیست و چه ارتباطی با حرکت دایرهای دارد؟
پاسخ : شتاب مرکزگرا شتابی است که جسمی که در یک مسیر دایرهای حرکت میکند، تجربه میکند. این شتاب همیشه به سمت مرکز دایره است و مسئول نگه داشتن جسم در مسیر دایرهای خود است. فرمول شتاب مرکزگرا به صورت c = v^2 /r^2 است و شعاع است.
- چرا جسمی که در حرکت دایرهای یکنواخت است، حتی اگر سرعتش ثابت باشد، شتاب دارد؟
پاسخ : در حالی که مقدار (یا اندازه) سرعت در حرکت دایرهای یکنواخت ثابت میماند، جهت سرعت تغییر میکند. از آنجایی که شتاب به عنوان تغییر در سرعت تعریف میشود و سرعت یک کمیت برداری با مقدار و جهت است، هر تغییر در جهت، شتاب محسوب میشود. در این مورد، شتاب مرکزگرا است.
- نیروی لازم برای حفظ حرکت دایرهای چه ارتباطی با جرم جسم و شعاع دایره دارد؟
پاسخ : نیروی مورد نیاز برای حفظ حرکت دایرهای با فرمول نیروی مرکزگرا بدست میآید:
- چرا وقتی ماشین پیچ تندی میخورد (مثلاً در میدان) احساس میکنید که به سمت بیرون هل داده میشوید؟
پاسخ : این به دلیل نیروی گریز از مرکز «ساختگی» است، که یک نیروی ادراکی است که به سمت بیرون بر جسمی که در یک مسیر دایرهای حرکت میکند، عمل میکند. این یک نیروی واقعی به معنای هل دادن یا کشیدن نیست، بلکه یک اثر اینرسی است. بدن شما میخواهد در یک خط مستقیم حرکت کند (قانون اول نیوتن)، اما دیوارههای ماشین یا کمربند ایمنی نیرویی را برای ادامه حرکت شما در یک دایره اعمال میکنند. این باعث ایجاد احساس هل داده شدن به سمت بیرون میشود.
- اصطکاک چه نقشی در حرکت دایرهای، به خصوص وقتی که ماشین در جاده میپیچد، ایفا میکند؟
پاسخ : اصطکاک بین لاستیکها و جاده، نیروی گریز از مرکز لازم را فراهم میکند که به ماشین اجازه چرخش میدهد. بدون اصطکاک کافی، ماشین سر میخورد یا لیز میخورد و نمیتواند مسیر دایرهای مورد نظر خود را دنبال کند.
- اگر شعاع مسیر دایرهای نصف شود اما سرعت ثابت بماند، نیروی مرکزگرا چگونه تغییر میکند؟
پاسخ : اگر شعاع نصف شود و سرعت ثابت بماند، نیروی مرکزگرا دو برابر خواهد شد، زیرا نیروی مرکزگرا با شعاع نسبت معکوس دارد.
- چرا نمیتوانیم در یک حرکت دایرهای، نیروی گریز از مرکز را بدون نیروی مرکزگرا داشته باشیم؟
پاسخ : نیروی گریز از مرکز یک نیروی واکنشی یا «ساختگی» است که در یک چارچوب مرجع چرخان مشاهده میشود. به نظر میرسد که این نیرو، اجسام را از مرکز چرخش به سمت بیرون هل میدهد. با این حال، برای اینکه یک جسم در یک مسیر دایرهای حرکت کند، باید یک نیروی واقعی به سمت مرکز وجود داشته باشد که همان نیروی مرکزگرا است. بدون نیروی مرکزگرا، حرکت دایرهای وجود نخواهد داشت و بنابراین، هیچ درکی از نیروی مرکزگرا وجود نخواهد داشت.
- چگونه نیروی گرانش بین زمین و ماه مسئول مدار دایرهای ماه است؟
پاسخ : نیروی گرانش بین زمین و ماه به عنوان نیروی مرکزگرا عمل میکند که ماه را در مدار خود به دور زمین نگه میدارد. بدون این جاذبه گرانشی، ماه به جای مدار دایرهای (یا به طور دقیقتر، بیضوی) خود، در یک خط مستقیم حرکت میکرد.
- اگر نخی که به یک توپ بسته شده است، در حالی که توپ را با همان سرعت در یک دایره میچرخانیم، به اندازه نصف کوتاه شود، کشش نخ چه تغییری میکند؟
پاسخ : اگر طول نخ (که متناظر با شعاع مسیر دایرهای است) با ثابت نگه داشتن سرعت، نصف شود، نیروی مرکزگرای مورد نیاز (و در نتیجه کشش نخ) دو برابر خواهد شد. دلیل این امر این است که نیروی مرکزگرا (و در این سناریو، کشش) با شعاع رابطه معکوس دارد.
