Bektoreak fisikan kontzeptu garrantzitsua dira, magnitude eta norabidearekin kantitateak adierazteko erabiltzen direnak. Fisikan, bektoreak askotan erabiltzen dira hainbat fenomeno deskribatzeko, hala nola indarra, abiadura, azelerazioa eta gehiago. Artikulu honek fisikako bektore-problemen hainbat adibide aztertuko ditu, haien irtenbideekin eta azalpenekin batera.
1. Bektoreen batuketa eta kenketa
1. galderaren adibidea:
Bi bektore \(\mathbf{A}\) eta \(\mathbf{B}\) honela ematen dira:
\[
\mathbf{A} = 3\mathbf{i} + 4\mathbf{j}
\]
\[
\mathbf{B} = -2\mathbf{i} + 5\mathbf{j}
\]
Kalkulatu:
1. (A + B)
2. (A – B)
Irtenbidea:
Bi bektore batzeko, haien osagaiak bereizita batzen ditugu.
1. (A + B):
\[
\mathbf{A} + \mathbf{B} = (3\mathbf{i} + 4\mathbf{j}) + (-2\mathbf{i} + 5\mathbf{j})
\]
\[
= (3 – 2)\mathbf{i} + (4 + 5)\mathbf{j}
\]
\[
= 1\mathbf{i} + 9\mathbf{j}
\]
\[
\mathbf{A} + \mathbf{B} = \mathbf{i} + 9\mathbf{j}
\]
2. (A – B):
\[
\mathbf{A} – \mathbf{B} = (3\mathbf{i} + 4\mathbf{j}) – (-2\mathbf{i} + 5\mathbf{j})
\]
\[
= (3 – (-2))\mathbf{i} + (4 – 5)\mathbf{j}
\]
\[
= (3 + 2)\mathbf{i} + (-1)\mathbf{j}
\]
\[
= 5\mathbf{i} – \mathbf{j}
\]
Beraz, emaitza hau da:
\[
\mathbf{A} – \mathbf{B} = 5\mathbf{i} – \mathbf{j}
\]
2. Biderketa eskalarra (produktu eskalarra)
2. galderaren adibidea:
Bi bektore \(\mathbf{C}\) eta \(\mathbf{D}\) honela ematen dira:
\[
\mathbf{C} = 6\mathbf{i} + 2\mathbf{j}
\]
\[
\mathbf{D} = 3\mathbf{i} + 4\mathbf{j}
\]
Kalkulatu \(\mathbf{C}\) eta \(\mathbf{D}\)-ren biderkadura eskalarra (biderkadura eskalarra).
Irtenbidea:
Bi bektoreren, \(\mathbf{C}\) eta \(\mathbf{D}\) biderkadura eskalarra, hau da:
\[
\mathbf{C} \cdot \mathbf{D} = (6\mathbf{i} + 2\mathbf{j}) \cdot (3\mathbf{i} + 4\mathbf{j})
\]
\[
= 6 ∫3 + 2 ∫4
\]
\[
= 18 + 8
\]
\[
= 26
\]
Beraz, \(\mathbf{C}\) eta \(\mathbf{D}\) biderkadura eskalarrak 26 ematen du.
3. Produktu gurutzatua
3. galderaren adibidea:
Bi bektore \(\mathbf{E}\) eta \(\mathbf{F}\) honela ematen dira:
\[
\mathbf{E} = \mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 3\mathbf{k}
\]
\[
\mathbf{F} = 4\mathbf{i} + 5\mathbf{j} + 6\mathbf{k}
\]
Kalkulatu \(\mathbf{E}\) eta \(\mathbf{F}\) arteko biderkadura gurutzatua.
Irtenbidea:
Bi bektoreren biderkadura gurutzatua, \(\mathbf{E}\) eta \(\mathbf{F}\), matrizearen determinantea erabiliz kalkula daiteke:
\[
\mathbf{E} \times \mathbf{F} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} eta \mathbf{k} \\
1 eta 2 eta 3 \\
4 eta 5 eta 6
\end{vmatrix}
\]
Kalkulatu matrizearen determinantea:
\[
\mathbf{E} \times \mathbf{F} = \mathbf{i} (2 \cdot 6 – 3 \cdot 5) – \mathbf{j} (1 \cdot 6 – 3 \cdot 4) + \mathbf{k} (1 \cdot 5 – 2) \cdot
\]
\[
= \mathbf{i} (12 – 15) – \mathbf{j} (6 – 12) + \mathbf{k} (5 – 8)
\]
\[
= \mathbf{i} (-3) – \mathbf{j} (-6) + \mathbf{k} (-3)
\]
\[
= -3\mathbf{i} + 6\mathbf{j} – 3\mathbf{k}
\]
Beraz, \(\mathbf{E}\) eta \(\mathbf{F}\) biderkadura gurutzatuaren emaitza hau da:
\[
\mathbf{E} \times \mathbf{F} = -3\mathbf{i} + 6\mathbf{j} – 3\mathbf{k}
\]
4. Bektorearen magnitudea
4. galderaren adibidea:
\(\mathbf{G} = 3\mathbf{i} – 4\mathbf{j}\ bektorea emanda. Kalkulatu \(\mathbf{G}\) bektorearen magnitudea (luzera).
Irtenbidea:
Bektorearen magnitudea \(\mathbf{G}\) formula hau erabiliz kalkula daiteke:
\[
|\mathbf{G}| = \sqrt{(3)^2 + (-4)^2}
\]
\[
= \sqrt{9 + 16}
\]
\[
= \sqrt{25}
\]
\[
= 5
\]
Beraz, \(\mathbf{G}\) bektorearen magnitudea 5 da.
5. Bektorearen bereizmena
5. galderaren adibidea:
\(\mathbf{H}\) bektoreak 10 unitateko magnitudea du eta 30°-ko angelua osatzen du x ardatzarekin. Zehaztu \(\mathbf{H}\) bektorearen osagaiak x eta y ardatzetan.
Irtenbidea:
\(\mathbf{H}\) bektorearen osagaiak x (\(\mathbf{H}_x\)) eta y (\(\mathbf{H}_y\)) ardatzetan trigonometria erabiliz kalkula daitezke:
\[
\mathbf{H}_x = |\mathbf{H}| \cos(\theta)
\]
\[
\mathbf{H}_y = |\mathbf{H}| \sin(\theta)
\]
\(|\mathbf{H}| = 10\) eta \(\theta = 30°\) direnean:
\[
H_x = 10⁻¹⁰cos(30°)
\]
\[
H_y = 10 \sin(30°)
\]
\(\cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2}\) eta \(\sin(30°) = \frac{1}{2}\) balioak:
\[
\mathbf{H}_x = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}
\]
\[
\mathbf{H}_y = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5
\]
Beraz, \(\mathbf{H}\) bektorearen osagaiak hauek dira:
\[
H_x = 5\sqrt{3}
\]
\[
\mathbf{H}_y = 5
\]
Ondorioa
Artikulu honetan, fisikan bektoreekin lotutako hainbat arazo adibide aztertu ditugu, bektoreen batuketa eta kenketa, biderketa eskalar eta gurutzatua, bektoreen magnitudea eta bereizmena barne. Bektoreen kontzeptua eta funtzionamendua ulertzea ezinbestekoa da fisikan, fenomeno natural asko bektoreak erabiliz azal baitaitezke. Zorionez, arazo adibide hauek bektoreen kontzeptua sakonago ulertzen lagunduko dizute.
