Näide vooluringi resonantsi käsitlevast probleemist
Resonants on nähtus, mille puhul süsteem võngub teatud sagedusel maksimaalse amplituudiga. Elektriahelate kontekstis tekib resonants siis, kui vooluahela impedants saavutab minimaalse või maksimaalse väärtuse, põhjustades voolu või pinge haripunkti. See nähtus on väga oluline elektriahelate projekteerimisel ja analüüsimisel, eriti sellistes rakendustes nagu raadiod, filtrid ja ostsillaatorid.
Elektriahelate resonantsi põhiprintsiibid
Elektriahelate resonantsi käsitletakse tavaliselt RLC-ahela kontekstis, mis koosneb takistist (R), induktiivpoolist (L) ja kondensaatorist (C). Tavaliselt arutatakse kahte tüüpi resonantsi:
1. Seeriaresonants: tekib siis, kui induktiivpool ja kondensaator on takistiga jadamisi ühendatud. Resonants tekib siis, kui induktiivne reaktants (XL) on võrdne mahtuvusliku reaktantsiga (XC).
2. Paralleelresonants: tekib siis, kui induktiivpool ja kondensaator on paralleelselt ühendatud. Resonants tekib siis, kui vooluahela impedants teatud sagedusel saavutab oma maksimaalse väärtuse.
Mõlemat tüüpi vooluringide resonantssagedus (\(f_0 \)) on sama ja see on antud järgmise valemiga:
\[f_0 = \frac{1}{2\pi\qrt{LC}} \]
Näidisküsimused ja RLC-seeriaahelate resonantsi arutelu
Küsimus 1:
Arvestades järjestikku ühendatud RLC-ahelat takistiga (R) 10 oomi, induktiivpooliga (L) 10 mH ja kondensaatoriga (C) 1 μF, määrake:
1. Vooluringi resonantssagedus.
2. Vooluahela impedants resonantssagedusel.
3. Voolutugevus, mis voolab vooluringis, kui allika pinge on resonantssagedusel 10 V rms.
Arutelu:
1. Ahela resonantssagedus:
Jadaühendusega RLC-ahela resonantssagedus (\(f_0 \)) on antud järgmise valemiga:
\[f_0 = \frac{1}{2\pi\qrt{LC}} \]
Kus:
– L = 10 mH = 10 x 10⁻³ H
– C = 1 μF = 1 × 10⁻⁶ F
Seega:
\[f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{(10 × 10^{-3})(1 × 10^{-6})}} \]
\[f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{10 × 10^{-9}}} \]
\[f_0 = \frac{1}{2\pi\qrt{10^{-8}}} \]
\[f_0 = \frac{1}{2\pi \korda 10^{-4}} \]
\[f_0 = \frac{10^4}{2\pi} \]
\[ f_0 ≈ 1591.55 \text{ Hz} \]
2. Vooluahela impedants resonantssagedusel:
Resonantssagedusel on induktiivne reaktants (XL) võrdne mahtuvusliku reaktantsiga (XC), seega:
\[ X_L = X_C \]
\[2\pi f_0 L = \frac{1}{2\pi f_0 C} \]
Kuna induktiivne ja mahtuvuslik reaktants tühistavad teineteise, on vooluahela impedants ainult takisti (R):
\[ Z = R = 10 \tekst{ oomi} \]
3. Ahelas voolav vool:
Voolutugevust (\( I \)) vooluringis saab arvutada Ohmi seaduse abil:
\[I = \frac{V}{Z} \]
Kus:
– V = 10 V rms
– Z = 10 oomi (resonantssagedusel)
Seega:
\[I = \frac{10}{10} \]
\[ I = 1 \tekst{ A} \]
Seega on vooluringis voolav vool 1 A.
Näidisküsimused ja paralleelsete RLC-ahelate resonantsi arutelu
Küsimus 2:
Arvestades paralleelset RLC-ahelat takistiga (R) 10 oomi, induktiivpooliga (L) 5 mH ja kondensaatoriga (C) 2 μF, määrake:
1. Vooluringi resonantssagedus.
2. Vooluahela impedants resonantssagedusel.
3. Allika pinge, kui vooluringis voolav koguvool on resonantssagedusel 2 A.
Arutelu:
1. Ahela resonantssagedus:
Paralleel-RLC-ahela resonantssagedust (\(f_0 \)) annab ka järgmine valem:
\[f_0 = \frac{1}{2\pi\qrt{LC}} \]
Kus:
– L = 5 mH = 5 x 10⁻³ H
– C = 2 μF = 2 × 10⁻⁶ F
Seega:
\[f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{(5 × 10^{-3})(2 × 10^{-6})}} \]
\[f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{10 × 10^{-9}}} \]
\[f_0 = \frac{1}{2\pi\qrt{10^{-8}}} \]
\[f_0 = \frac{1}{2\pi \korda 10^{-4}} \]
\[f_0 = \frac{10^4}{2\pi} \]
\[ f_0 ≈ 1591.55 \text{ Hz} \]
2. Vooluahela impedants resonantssagedusel:
Resonantssagedusel on induktiivpooli ja kondensaatori koguadmitants (Y) null. Seega sõltub paralleelse RLC-ahela impedants (Z) ainult takistist (R). Seega on resonantssagedusel paralleelse RLC-ahela impedants võrdne takistiga.
Seega:
\[ R = 10 \tekst{ oomi} \]
3. Allika pinge:
Ahelas voolav koguvool (\( I \)) on 2 A. Ohmi seaduse kohaselt on allika pinge (V) antud järgmise valemiga:
\[V = I korda Z \]
Kus:
– I = 2 A
– Z = 10 oomi
Seega:
\[V = 2 korda 10 \]
\[ V = 20 \tekst{ V} \]
Seega on allika pinge 20 V.
Järeldus
Resonants elektriahelates on võtmenähtus, mida saab ära kasutada mitmesugustes elektri- ja elektroonikaseadmete rakendustes. Resonantssageduse arvutamise ja selle mõju voolule ja pingele mõistmine on vooluahelate projekteerimise ja analüüsi seisukohalt ülioluline. See artikkel tutvustab RLC-ahelate resonantsi põhimõisteid ja käsitleb sellega seotud probleeme, et anda sellest teemast selge ülevaade.
