Näidisküsimused ja integraalsete rakenduste arutelu
Integreerimine on matemaatilise analüüsi põhimõiste, millel on arvukalt rakendusi erinevates teadusvaldkondades, näiteks füüsikas, majanduses, bioloogias ja inseneriteaduses. Integraale kasutatakse kõvera aluse pindala, tahke aine ruumala, töö, rõhu ja muu arvutamiseks. Selles artiklis käsitleme mitmeid integraalide rakenduste näiteid ja seejärel üksikasjalikke selgitusi nende lahendamise kohta.
1. Kõvera aluse pindala määramine
Üks integraalide levinumaid rakendusi on funktsiooni kõvera aluse pindala arvutamine antud intervalli ulatuses. Oletame, et tahame leida kõvera \(y = x^2\) ja \(x\)-teljega piiratud piirkonna pindala punktist \(x = 0\) punkti \(x = 2\).
Probleemide näide:
Määrake kõvera \(y = x^2\) alune pindala vahemikus \(x = 0\) kuni \(x = 2\).
Arutelu:
Kõvera \(y = x^2\) aluse pindala leidmiseks vahemikus \(x = 0\) kuni \(x = 2\) peame arvutama funktsiooni kindla integraali:
[ int_{0}^{2} x^2 \, dx \]
1. samm: Määrake funktsiooni \(x^2\) integraal.
Pane tähele, et funktsiooni \(x^2\) integraal on:
[ int x^2 , dx = √(x^3}{3} + C]
2. samm: Rakenda integraalset piirväärtust \(0\) väärtusele \(2\).
[\int_{0}^{2} x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} \]
3. samm: Arvutage piirväärtus.
\[ \vasak. \frac{x^3}{3} \right|_{0}^{2} = \frac{2^3}{3} – \frac{0^3}{3} = \frac{8}{3} – 0 = \frac{8}{3} \]
Seega on kõvera alune pindala kõveral \(y = x^2\) punktist \(x = 0\) punktini \(x = 2\) pindalaühikut.
2. Pöörlevate objektide mahu arvutamine
Integraale kasutatakse ka pöörlevate kehade ruumala arvutamiseks. Kui piirkonda pöörata ümber x-telje, saab objekti ruumala leida ketta- või rõngasmeetodi abil.
Probleemide näide:
Arvutage objekti ruumala, mis tekib kõvera \(y = \sqrt{x}\) ja sirge \(x = 4\) poolt piiratud piirkonna pööramisel ümber \(x\)-telje.
Arutelu:
Pöörleva keha ruumala leidmiseks võime kasutada ketta meetodit. Saadud keha ruumala \(V\) saab väljendada järgmiselt:
[V = ∫_{a}^{b} [f(x)]^2, dx]
Kus f(x) = ∈ x), a = 0 ja b = 4.
1. samm: Moodusta mahuintegraal.
[V = ∫_{0}^{4} (qrt{x})^2, dx]
2. samm: Lihtsusta funktsioon integraalis.
\[V = \pi \int_{0}^{4} x \, dx \]
3. samm: Määrake x integraal.
[ int x , dx = √(x^2}{2} + C]
4. samm: Rakenda piirväärtusi \(0\) kuni \(4\).
\[ V = \pi \vasak[ \frac{x^2}{2} \parem]_{0}^{4} \]
5. samm: Arvutage piirväärtus.
\[ \vasak. \frac{x^2}{2} \right|_{0}^{4} = \pi \vasak( \frac{4^2}{2} – \frac{0^2}{2} \right) = \pi \vasak( \frac{16}{2} \right) = 8\pi \]
Seega on saadud objekti ruumala \(8\pi\) ruumalaühikut.
3. Muutuva jõu töö arvutamine
Integraalseid rakendusi leidub ka füüsikas, millest üks on muutuva jõu tehtud töö arvutamine objekti liikumisel ühest punktist teise.
Probleemide näide:
Osakesele, mis liigub kauguselt x = 1 meetrit kaugusele x = 3 meetrit, mõjub jõud \(F(x) = 3x^2\) Newton. Arvuta jõu tehtud töö.
Arutelu:
Jõu F(x) tehtud töö W leitakse, arvutades jõu F(x) integraali nihke ulatuses punktist a punkti b:
[W = ∫_{a}^{b} F(x) ∫_{dx}]
Kus \(a = 1\), \(b = 3\) ja \(F(x) = 3x^2\).
1. samm: Moodusta töö integraal.
\[ W = \int_{1}^{3} 3x^2 \, dx \]
2. samm: Määrake funktsiooni \(3x^2\) integraal.
\[ \int 3x^2 \, dx = 3 \left( \frac{x^3}{3} \right) = x^3 + C \]
3. samm: Rakenda piirväärtusi \(1\) kuni \(3\).
\[ W = \vasak[ x^3 \parem]_{1}^{3} \]
4. samm: Arvutage piirväärtus.
\[ W = \vasak. x^3 \parem|_{1}^{3} = 3^3 – 1^3 = 27 – 1 = 26 \]
Seega on jõu tehtud töö \(26\) džauli.
4. Hüdrostaatilise rõhu määramine
Füüsikas kasutatakse integraale ka vedelikku kastetud pinnale mõjuva hüdrostaatilise rõhu arvutamiseks.
Probleemide näide:
6 meetri kõrgune ja 4 meetri laiune vertikaalne plaat on vee all nii, et selle ülemine osa on veepinnast kõrgemal. Arvuta plaadile mõjuv veesurve kogujõud.
Arutelu:
Rõhku vees sügavusel \(h\) annab \(P = \rho\gh\), kus \(\rho\) on vee tihedus (umbes \(1000 \text{ kg/m}^3\)) ja \(g\) on raskuskiirendus (umbes \(9.8 \text{ m/s}^2\)).
Kogurõhu jõu saamiseks peame integreerima rõhu plaadi vertikaalsele alale.
1. samm: Määrake rõhufunktsioon.
\[P(y) = \rho gy \]
2. samm: Kogujõud \(F\) on rõhu integraal korrutatuna elementaarpindalaga \(dA\) alates \(y = 0\) kuni \(y = 6\).
\[ F = \int_{0}^{6} \rho gy \cdot 4 \, dy \]
3. samm: lihtsustage konstandid.
\[ F = 4 \rho g \int_{0}^{6} y \, dy \]
4. samm: Määrake y integraal.
\[ \int y \, dy = \frac{y^2}{2} \]
5. samm: Rakenda piirväärtusi \(0\) kuni \(6\).
\[ F = 4 \cdot 1000 \cdot 9.8 \vasak[ \frac{y^2}{2} \right]_{0}^{6} \]
6. samm: Arvutage piirväärtus.
\[F = 4 \cdot 1000 \cdot 9.8 \cdot \frac{6^2}{2} = 4 \cdot 1000 \cdot 9.8 \cdot 18 = 705600 \]
Seega on veesurve kogujõud plaadile \(705600\) njuutonit.
Järeldus
Integraalide kasutamine erinevates rakendustes annab tohutu analüütilise võimsuse keeruliste füüsikaliste suuruste arvutamiseks. Selles artiklis oleme arutanud, kuidas integraale rakendatakse kõvera aluse pindala, pöördruumala, muutuva jõu tehtud töö ja hüdrostaatilise rõhu arvutamiseks. Hea integreerimistehnikate tundmise abil saame lahendada mitmesuguseid praktilisi probleeme, mis tekivad teaduses ja inseneriteaduses.
