Näidisküsimused ja arutelu Einsteini relatiivsusteooria üle
Einsteini relatiivsusteooria on üks tänapäeva füüsika fundamentaalsemaid teooriaid, mis muudab meie arusaama ruumist ja ajast. See koosneb kahest osast: erirelatiivsusteooria (1905) ja üldrelatiivsusteooria (1915). Selles artiklis käsitleme mitmeid Einsteini relatiivsusteooriaga seotud näiteid ja arutleme nende üle, et pakkuda sügavamat arusaamist.
Erirelatiivsusteooria
Erirelatiivsusteooria käsitleb objekte, mis liiguvad konstantse kiirusega, mis läheneb valguse kiirusele. Selle teooria kaks peamist tulemust on aja dilatatsioon ja pikkuse kontraktsioon.
1. Aja dilatatsioon
Kui on kaks vaatlejat, üks Maal paigal ja teine liigub suurel kiirusel, mõõdavad nad sama sündmuse jaoks erinevaid aegu.
Probleemide näide:
Astronaut liigub 0.8-kordse valguse kiirusega (c) Maast 10 valgusaasta kaugusel asuva tähe poole. Kui kaua astronaudil täheni jõudmiseks aega kulub?
Arutelu:
Esmalt arvutame Maal vaatleja poolt mõõdetud aja:
\[t_B = \frac{d}{v} = \frac{10 \text{ valgusaastat}}{0.8 \, c} = 12.5 \text{ aastat} \]
Astronaudi mõõdetud aja (aja dilatatsiooni) arvutamiseks kasutame valemit:
\[t_A = t_B \sqrt{1 – \frac{v^2}{c^2}} \]
Asendage teadaolevad väärtused:
\[t_A = 12.5 \sqrt{1 – (0.8)^2} \]
\[t_A = 12.5 \sqrt{1 – 0.64} \]
\[t_A = 12.5 \sqrt{0.36} \]
\[t_A = 12.5 korda 0.6 \]
\[t_A = 7.5 \text{ aastat} \]
Seega oli astronautide mõõdetud aeg 7.5 aastat.
2. Pikad kokkutõmbed
Kui objekt liigub valguse kiirusele läheneva kiirusega, paistab selle pikkus paigalseisvale vaatlejale lühem.
Probleemide näide:
Kosmoseaparaat, mille tegelik pikkus on 10 meetrit, liigub 0.9 korda valguse kiirusest kiiremini. Kui pikk oleks kosmoseaparaat Maal asuva vaatlejana?
Arutelu:
Pikkuse kokkutõmbumise arvutamiseks kasutame valemit:
\[L = L_0 \qrt{1 – \frac{v^2}{c^2}} \]
Kus:
– \(L_0 \) on õige pikkus või tegelik pikkus (10 meetrit),
– \(v \) on lennuki kiirus (0.9c).
Asendage teadaolevad väärtused:
\[ L = 10 \sqrt{1 – (0.9)^2} \]
\[ L = 10 \ruut{1–0.81} \]
\[L = 10 \sqrt{0.19} \]
\[L = 10 korda 0.436 \]
\[ L = 4.36 \text{ meetrit} \]
Seega on lennuki pikkus Maa peal asuvate vaatlejate sõnul 4.36 meetrit.
Üldrelatiivsusteooria
Üldrelatiivsusteooria käsitleb gravitatsiooni, kus ruumi ja aega mõjutavad mass ja energia.
3. Gravitatsioonilääts
Gravitatsiooniline lääts tekib siis, kui kauge objekti valgust painutab massiivse objekti, näiteks galaktika või musta augu, gravitatsioon.
Probleemide näide:
Galaktikal A on piisavalt massi, et valgust selle taga asuvalt kvasarilt B kõrvale juhtida. Kui kõrvalekaldenurk on 1.5 kaaresekundit, siis milline on galaktika A mass? (Kasutage Newtoni gravitatsioonikonstanti G = 6.674×10^-11 N(m/kg)^2, valguse kiirust c = 3×10^8 m/s)
Arutelu:
Paindenurka θ saab anda järgmise valemiga:
\[ \heta = \frac{4GM}{c^2 R} \]
Kus:
– \(G \) on gravitatsioonikonstant,
– \(M \) on galaktika mass,
– \(c \) on valguse kiirus,
– \(R \) on valguse ja galaktika keskpunkti vaheline lühim kaugus.
Kuna me tahame leida M-i, siis korraldame valemi ümber:
\[M = \frac{\theta c^2 R}{4G} \]
Eeldame, et R on 5×10^20 meetrit (galaktikate keskmine kaugus). Teisendame θ kaaresekunditest radiaanideks (1 kaaresekund = 4.848×10^-6 radiaani):
\[ \theta = 1.5 × 4.848 × 10^{-6} \, \text{radiaan} = 7.272 × 10^{-6} \, \text{radiaan} \]
Asendage teadaolevad väärtused:
\[M = \frac{(7.272 \x 10^{-6}) (3 \x 10^8)^2 (5 \x 10^{20})}{4 \x 6.674 \x 10^{-11}} \]
\[M = \frac{(7.272 × 10^{-6}) (9 × 10^{16}) (5 × 10^{20})}{26.696 × 10^{-11}} \]
\[M = \frac{(3.2764 × 10^{31})}{26.696 × 10^{-11}} \]
\[M = 1.227 korda 10^{41} \, \text{kg} \]
Seega on galaktika A mass umbes 1.227 × 10^41 kilogrammi.
4. Merkuuri periheeli pretsessioon
Üldrelatiivsusteooria abil saab selgitada ka planeet Merkuuri orbiidi pretsessiooni, mida Newtoni mehaanikaga seletada ei saa.
Probleemide näide:
Kui suur on Merkuuri periheeli nihe, nagu seda seletatakse üldrelatiivsusteooriaga? (Seoseparameeter A: 43 kaaresekundit sajandi kohta)
Arutelu:
Kasutage otse esitatud andmeid:
Einsteini üldise relatiivsusteooria kohaselt on Merkuuri kirjeldatud periheeli nihe 43 kaaresekundit sajandi kohta, mis on kooskõlas ka vaatlustulemustega.
Järeldus:
Nende näidisülesannete ja arutelude abil näeme, kuidas Einsteini relatiivsusteooria annab sügavama arusaama ajast, pikkusest ja gravitatsioonist. See teooria mitte ainult ei muutnud meie teaduslikku arusaama universumist, vaid sellel on ka praktilisi rakendusi tänapäeva tehnoloogias, näiteks GPS-navigatsioonisüsteemides, mis vajavad täpseks toimimiseks relativistlikke korrektsioone. Einsteini relatiivsusteooria tundmaõppimine ja mõistmine on oluline samm füüsika keerulise maailma sügavamale sukeldumisel.
