Näide aruteluküsimusest ringi võrrandi kohta
Ringi võrrand on analüütilise geomeetria oluline teema. Ringi võrrandi hea mõistmine on äärmiselt kasulik mitte ainult matemaatikas, vaid ka erinevates inseneri- ja teadusrakendustes. Selles artiklis arutame mitmeid näiteid ringi võrranditest ja nende lahenditest. Eesmärk on anda selge ja põhjalik ülevaade sellest, kuidas lahendada ringi võrrandeid hõlmavaid probleeme.
Ringi üldvõrrand
Kõige levinum ringi võrrand ristkoordinaatides on:
[(x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2]
Kus:
– \( (a, b) \) on ringi keskpunkti koordinaadid.
– \(r \) on ringi raadius.
Kui ringi keskpunkt asub punktis \((0, 0) \), siis ringi võrrand on:
\[x^2 + y^2 = r^2 \]
Nüüd arutame mõningaid näidisülesandeid ja nende lahendusi.
Näidisküsimus 1
Küsimus: Määrake ringi võrrand, mille keskpunkt on punktis (3, -2) ja raadius 5.
Lahendus:
Kasutage ringi võrrandi üldvalemit:
[(x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2]
Asendage väärtused \(a = 3 \), \(b = -2 \) ja \(r = 5 \):
\[ (x – 3)^2 + (y + 2)^2 = 5^2 \]
\[ (x – 3)^2 + (y + 2)^2 = 25 \]
Seega ringi võrrand on:
\[ (x – 3)^2 + (y + 2)^2 = 25 \]
Näidisküsimus 2
Küsimus: Määrake ringi võrrand, mille keskpunkt on koordinaatide alguspunktis (0, 0) ja raadius on 7.
Lahendus:
Kuna ringi keskpunkt on alguspunktis, saame kasutada lihtsat võrrandit:
\[x^2 + y^2 = r^2 \]
Asenda väärtus \(r = 7 \):
\[x^2 + y^2 = 7^2 \]
\[x^2 + y^2 = 49 \]
Seega ringi võrrand on:
\[x^2 + y^2 = 49 \]
Näidisküsimus 3
Küsimus: Määrake ringi võrrand, mille keskpunkt on punktis (4, -5) ja puudutab Y-telge.
Lahendus:
Y-teljega puutuja ring tähendab, et kaugus ringi keskpunktist Y-teljeni on võrdne selle raadiusega. See kaugus on ringi keskpunkti X-koordinaadi absoluutväärtus. Seega on raadius 4.
Kasutage ringi võrrandi üldvalemit:
[(x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2]
Asendage väärtused \(a = 4 \), \(b = -5 \) ja \(r = 4 \):
\[ (x – 4)^2 + (y + 5)^2 = 4^2 \]
\[ (x – 4)^2 + (y + 5)^2 = 16 \]
Seega ringi võrrand on:
\[ (x – 4)^2 + (y + 5)^2 = 16 \]
Näidisküsimus 4
Küsimus: Ringil on võrrand \(x^2 + y^2 – 6x + 4y – 12 = 0 \). Määrake ringi keskpunkt ja raadius.
Lahendus:
Selle võrrandi lahendamiseks peame selle standardkujule teisendama \( (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2 \). Selle lahendamise sammud on järgmised:
1. Täisruutude rühmitamine ja lahendamine:
Esialgne võrrand on:
\[ x^2 + y^2 – 6x + 4 a – 12 = 0 \]
Rühm \(x \) ja \(y \):
\[ (x^2 – 6x) + (y^2 + 4 a) = 12 \]
2. Lahendage täiuslik ruut:
(x^2 – 6x) jaoks:
\[x^2 – 6x + 9 \]
(y^2 + 4y) korral:
\[y^2 + 4y + 4 \]
Liida võrrandi mõlemale poolele 9 ja 4:
\[ (x^2 – 6x + 9) + (y^2 + 4a + 4) = 12 + 9 + 4 \]
\[ (x – 3)^2 + (y + 2)^2 = 25 \]
Seega on ringi võrrand standardkujul:
\[ (x – 3)^2 + (y + 2)^2 = 25 \]
Siit näeme, et ringi keskpunkt on \((3, -2) \) ja raadius on \(r = \sqrt{25} = 5 \).
Näidisküsimus 5
Küsimus: Määrake punktide (2, 3) ja (4, 5) läbiva ringi võrrand, mille keskpunkt asub sirgel x = 3.
Lahendus:
Küsimusest teame, et ringi keskpunkt on (3, b). Ring läbib ka kahte teadaolevat punkti. Kuna ring läbib (2, 3), on kaugus keskpunktist selle punktini raadius.
Ringi võrrand on:
[(x – 3)^2 + (y – b)^2 = r^2]
Asenduspunkt (2, 3):
\[ (2 – 3)^2 + (3 – b)^2 = r^2 \]
\[1 + (3 – b)^2 = r^2 \]
\[ (3 – b)^2 = r^2 – 1 \]
Asenduspunkt (4, 5):
\[ (4 – 3)^2 + (5 – b)^2 = r^2 \]
\[1 + (5 – b)^2 = r^2 \]
\[ (5 – b)^2 = r^2 – 1 \]
Kahest võrrandist teame, et (3 – b)^2 = (5 – b)^2. Seega:
\[3 – b = \pm(5 – b) \]
Kui \(3 – b = 5 – b \), siis ei saa tulemus tõene olla. Seega:
\[3 – b = -(5 – b) \]
\[ b = 4 \]
Kui b = 4, siis ringi võrrand on:
\[ (x – 3)^2 + (y – 4)^2 = 2 \]
Siiski saame raadiuse r arvutada keskpunkti ja punkti (2, 3) vahelisest kaugusest = \(\sqrt{(2 – 3)^2 + (3 – 4)^2} \) = \(\sqrt{1+1}\) = \(\sqrt {2}\)
Ringi võrrand on:
\[ (x – 3)^2 + (y – 4)^2 = 2 \]
Järeldus
Ringi võrrandi mõistmine võib lihtsustada paljude matemaatikaülesannete lahendamist. Igal juhul on keskpunkti ja raadiuse määramine ülioluline. Loodetavasti pakuvad need näidisülesanded ja nende selgitused selgust ja aitavad teil ringi võrrandit õppida. Matemaatikas teeb harjutamine meistriks, seega ärge kartke proovida erinevaid ülesandeid oma oskuste parandamiseks.
