Pealkiri: Näidisküsimused ja arutelu kõverate puutujajoone võrrandite kohta
Pendahuluan
Kõvera puutuja võrrand on oluline mõiste matemaatikas, eriti matemaatilises analüüsis ja analüütilises geomeetrias. Kõvera puutuja on joon, mis puudutab kõverat kindlas punktis, ilma et see sellega ristuks. Sellel joonel on selles punktis sama tõusunurk kui kõveral. Selle artikli eesmärk on pakkuda näiteid ja arutelusid kõvera puutuja võrrandi kohta, et lugejad saaksid sellest kontseptsioonist sügavuti aru.
Definitsioon ja põhimõisted
Enne näidisülesannete juurde asumist on hea mõte üle vaadata mõned põhimõisted. Kõvera \(y = f(x) \) puutuja võrrandi punktis \(a, f(a))\) saab määrata funktsiooni esimese tuletise abil. Üldised sammud on järgmised:
1. Funktsiooni tuletise määramine: Leidke funktsiooni f(x) esimene tuletis f'(x)).
2. Kaldenurga (graadi) määramine: Asendage väärtus \(x = a \) esimesse tuletisse \(f'(x) \), et saada puutujajoone kalle punktis \(a \).
3. Määrake puutejoone võrrand: Kasutage punkti \(a, f(a))\) ja leitud tõusu, et moodustada puutejoone võrrand. Joone võrrandi saab kirjutada kujul \(y – y_1 = m(x – x_1) \), kus \(x_1, y_1)\) on punkt sirgel ja \(m \) on tõus.
Näidisküsimused ja arutelu
Arutagem mõningaid näidisküsimusi, et oma arusaama selgitada.
Näidisküsimus 1
Antud on kõver \(y = x^2 + 2x + 1 \). Määrake kõvera puutuja võrrand punktis abstsissteljega \(x = 1 \).
Arutelu:
1. Määrake esimene tuletis:
\[
y = x^2 + 2x + 1
\]
Funktsiooni \(y \) esimene tuletis on:
\[
∫\frac{dy}{dx} = 2x + 2
\]
2. Määrake gradient punktis \(x = 1 \):
Asendage esimesse tuletisse \(x = 1 \):
\[
m = 2(1) + 2 = 4
\]
3. Puutepunkti määramine:
Leidke y väärtus punktis x = 1:
\[
y = (1)^2 + 2(1) + 1 = 4
\]
Seega puutepunkt on \((1, 4) \).
4. Puutujajoone võrrandi määramine:
Kasuta sirge võrrandit \(y – y_1 = m(x – x_1) \):
\[
y – 4 = 4(x – 1)
\]
Lihtsusta:
\[
y – 4 = 4x – 4
\]
\[
y = 4x – 4 + 4
\]
\[
y = 4x
\]
Seega puutuja joone võrrand on \(y = 4x \).
Näidisküsimus 2
Antud on kõver \(y = \cos(x) \). Määrake kõvera puutuja joone võrrand punktis, mille abstsiss on \(x = \frac{\pi}{2} \).
Arutelu:
1. Määrake esimene tuletis:
\[
y = ∫cos(x)
\]
Funktsiooni \(y \) esimene tuletis on:
\[
η = - sin(x)
\]
2. Määrake gradient punktis \(x = \frac{\pi}{2} \):
Asendage esimesse tuletisse \(x = \frac{\pi}{2} \):
\[
m = -\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = -1
\]
3. Puutepunkti määramine:
Leidke y väärtus vahemikus x = \frac{\pi}{2}:
\[
y = \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0
\]
Seega puutepunkt on \( \left(\frac{\pi}{2}, 0\right) \).
4. Puutujajoone võrrandi määramine:
Kasuta sirge võrrandit \(y – y_1 = m(x – x_1) \):
\[
y – 0 = -1 (x – √(π)²)
\]
\[
y = -x + ∫frac{\pi}{2}
\]
Seega puutujajoone võrrand on \(y = -x + \frac{\pi}{2} \).
Näidisküsimus 3
Antud on kõver \(y = e^x \). Määrake kõvera puutuja võrrand punktis abstsissteljega \(x = 0 \).
Arutelu:
1. Määrake esimene tuletis:
\[
y = e^x
\]
Funktsiooni \(y \) esimene tuletis on:
\[
\frac{dy}{dx} = e^x
\]
2. Määrake gradient punktis \(x = 0 \):
Asendage esimesse tuletisse \(x = 0 \):
\[
m = e^0 = 1
\]
3. Puutepunkti määramine:
Leidke y väärtus punktis x = 0:
\[
y = e^0 = 1
\]
Seega puutepunkt on \((0, 1) \).
4. Puutujajoone võrrandi määramine:
Kasuta sirge võrrandit \(y – y_1 = m(x – x_1) \):
\[
y – 1 = 1(x – 0)
\]
\[
y – 1 = x
\]
\[
y = x + 1
\]
Seega puutuja joone võrrand on \(y = x + 1 \).
Sulgemine
Mõistes, kuidas määrata kõvera puutuja võrrandit, saame paremini aru, kuidas geomeetria ja algebra koos kõverate omaduste uurimisel toimivad. Üldised sammud on tuletise leidmine, tõusu määramine ja puutuja võrrandi konstrueerimine leitud punktide ja tõusu põhjal. Mida rohkem harjutamist, seda sügavamaks muutub meie arusaam sellest teemast. Head õppimist!
