Näidisküsimused punkti asukoha kohta ringi suhtes
Punkti asukoha määramine ringi suhtes on oluline teema põhigeomeetrias, eriti ringide uurimisel. Selles artiklis käsitleme mitmeid näidisülesandeid, mis hõlmavad punkti asukohta ringi suhtes, koos nende selgitustega. See aitab kontseptsiooni praktiliste rakenduste kaudu selgitada.
Pendahuluan
Enne näidisküsimuste juurde asumist tuletagem meelde punkti kolme võimalikku asukohta ringil:
1. Ringi sees: Kui punkti kaugus ringi keskpunktist on väiksem kui ringi raadius.
2. Väljaspool ringi: Kui punkti kaugus ringi keskpunktist on suurem kui ringi raadius.
3. Ringjoonel: Kui kaugus punktist ringi keskpunktini on sama suur kui ringi raadius.
Matemaatiliselt saab punkti \(T(x_1, y_1)\) asukohta ringi suhtes, mille keskpunkt on \(a, b)\) ja raadius \(r\), määrata, võrreldes \(T(x_1, y_1)\) punkti ringi võrrandiga, nimelt:
\[
(x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2
\]
Kui võrrandis \(x_1\) ja \(y_1\) asendamise tulemus annab väärtuse:
– Väiksem kui \(r^2\), punkt asub ringi sees.
– Suurem kui \(r^2\), punkt asub ringist väljaspool.
– Sama mis \(r^2\), punkt asub ringil.
Näidisküsimused ja arutelu
Küsimus 1
Määrake punkti \(T(3, 4)\) asukoht ringi suhtes võrrandiga \((x – 1)^2 + (y – 2)^2 = 25 \).
Arutelu:
Esimene samm on ringi võrrandi hindamine ja punkti \(T(3, 4)\) ja ringi keskpunkti \(1, 2)\) vahelise kauguse leidmine.
1. Määrake ringi keskpunkt ja raadius:
Ringi võrrand: \( (x – 1)^2 + (y – 2)^2 = 25 \)
– Ringi keskpunkt (\(a, b\)): (1, 2)
– Ringi raadius (\(r\)): \(\sqrt{25} = 5\)
2. Arvutage punkti \(T(3, 4)\) ja ringi keskpunkti \((1, 2) \) vaheline kaugus:
\[
D = \sqrt{(3–1)^2 + (4–2)^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}
\]
Väärtus \(2\sqrt{2} \um 2 \x 1.414 = 2.828 \) (väiksem kui \(5\)).
3. Kokkuvõte:
Kuna \(2\sqrt{2} < 5 \), siis punkt \(T(3, 4) \) asub ringi sees. Küsimus 2 Ringi keskpunkt on punkt \(0, 0) \) ja raadius on 7. Määrake punkti \(P(5, 6)\) asukoht ringi suhtes.
Küsimus 3
Määrake punkti \(M(2, -1)\) asukoht ringi suhtes võrrandiga \(x^2 + y^2 = 5 \).
Arutelu:
1. Arvutage kaugus punktist \(M(2, -1)\) ringi keskpunktini \((0, 0)):
\[
D = \sqrt{(2–0)^2 + (-1–0)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}
\]
2. Võrdle kaugust \(D\) ringi raadiusega:
Ringi raadius (\(r\)) = \(\sqrt{5}\).
3. Kokkuvõte:
Kuna \( \sqrt{5} = \sqrt{5} \), siis punkt \( M(2, -1) \) asub ringil.
Küsimus 4
Ring, mille keskpunkt on \( (4, 3) \), omab raadiust \(\sqrt{10}\). Näita punkti \(N(7, 7) \) asukohta selle ringi suhtes.
Arutelu:
1. Ringi võrrand:
Ringi võrrand keskpunktiga \( (4, 3) \) ja raadiusega \( \sqrt{10} \) on:
\[
(x – 4)^2 + (y – 3)^2 = 10
\]
2. Arvutage punkti \(N(7, 7) \) kaugus ringi \(4, 3) \) keskpunktist:
\[
D = \sqrt{(7–4)^2 + (7–3)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5
\]
3. Kokkuvõte:
Kuna \(5 > \sqrt{10} \), siis punkt \(N(7, 7) \) asub ringist väljaspool.
Sulgemine
Mõistes, kuidas arvutada punkti kaugust ringi keskpunktist ja võrrelda seda raadiusega, saame hõlpsalt määrata punkti asukoha ringi suhtes. Selle artikli arutelu peaks andma selge arusaama kontseptsioonist ja sellest, kuidas lahendada probleeme, mis hõlmavad punkti asukohta ringi suhtes.
Praktikas on nende punktide asukoha tundmine äärmiselt kasulik erinevates matemaatilistes rakendustes, sealhulgas geomeetrilises analüüsis, graafilises disainis ja inseneriteaduses. Seetõttu on selle kontseptsiooni valdamine oluline alus, mis väärib hoolikat tähelepanu ja põhjalikku mõistmist.
