Näidisküsimused binoomjaotuse funktsiooni arutamisel
Binoomjaotus on diskreetne tõenäosusjaotus, mis kirjeldab mitmest sõltumatust katsest koosneva katse õnnestumiste arvu, millel on kaks võimalikku tulemust: õnnestumine ja ebaõnnestumine. Iga katset nimetatakse katseks ja binoomjaotust kasutatakse sageli olukordades, kus mitme sõltumatu katse õnnestumiste arv pakub huvi. Selles artiklis käsitleme binoomjaotuse põhimõisteid ning toome näiteid ja lahendusi.
Binoomjaotuse funktsiooni põhimõisted
Enne kui asume näidisküsimuste ja arutelu juurde, arutame mõningaid binoomjaotusega seotud põhimõisteid.
1. Definitsioon: Binoomjaotus on defineeritud kui n sõltumatu katse õnnestumiste summa, kus igal katsel on kaks võimalikku tulemust: õnnestumine (tõenäosusega p) või ebaõnnestumine (tõenäosusega q = 1 – p).
2. Tõenäosusfunktsioon: Binoomjaotuse tõenäosusfunktsioon on:
\[
P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{nk}
\]
Kus:
– ∫P(X = k)₀ on k õnnestumise tõenäosus n katses.
– \( \binom{n}{k} \) on n ja k kombinatsioon, mis on defineeritud kui \( \frac{n!}{k!(nk)!} \).
– \(p \) on iga katse õnnestumise tõenäosus.
– \( (1-p) \) on iga katse ebaõnnestumise tõenäosus.
3. Oodatav väärtus ja dispersioon:
– Binoomjaotuse oodatav väärtus (keskmine) on \( \mu = np \).
– Binoomjaotuse dispersioon on \( \sigma^2 = np(1-p) \).
Nüüd rakendame neid kontseptsioone näidisülesandes, et saada sügavam arusaam.
Näidisküsimus 1: Binoomjaotuse põhiarvutused
Küsimus:
Ettevõte toodab elektroonikakomponente, mille puhul on 0.95 tõenäosus, et iga komponent läbib kvaliteedikontrolli. Kui toodetakse 10 komponenti, arvutage tõenäosus, et kvaliteedikontrolli läbib täpselt 8 komponenti.
Arutelu:
Selle probleemi lahendamiseks saame kasutada binoomjaotuse valemit. Esmalt tuvastame järgmised parameetrid:
– \(n \) (katsete koguarv) = 10
– \(k \) (õnnestumiste arv) = 8
– \(p \) (õnnestumise tõenäosus) = 0.95
– \(q \) (nurjumise tõenäosus) = 1 – 0.95 = 0.05
Seejärel asenda need väärtused binoomjaotuse valemisse:
\[
P(X = 8) = ∫binom{10}{8} (0.95)^8 (0.05)^2
\]
Esmalt arvutage kombinatsioon \( \binom{10}{8} \):
\[
\binom{10}{8} = \frac{10!}{8!(10-8)!} = \frac{10!}{8!2!} = \frac{10 × 9 \times 8!}{8! \times 2!} = \frac{10 × 9}{2 \times 1} = 45
\]
Seejärel arvutage tõenäosused \( (0.95)^8 \) ja \( (0.05)^2 \):
\[
(0.95)^8 \um 0.6634
\]
\[
(0.05)^2 = 0.0025
\]
Lõpuks korrutage kõik need väärtused, et saada:
\[
P(X = 8) = 45 × 0.6634 × 0.0025 = ligikaudu 0.0744
\]
Seega on tõenäosus, et täpselt 8 10 komponendist läbib kvaliteeditesti, umbes 0.0744 ehk 7.44%.
Näidisküsimus 2: Kumulatiivne tõenäosus
Küsimus:
Ikka sama ettevõtte puhul arvutage tõenäosus, et vähemalt 9 10-st komponendist läbib kvaliteeditesti.
Arutelu:
Selle probleemi lahendamiseks peame arvutama kumulatiivse tõenäosuse. Tõenäosus, et vähemalt 9 komponendist 10-st läbib testi, tähendab, et arvutame \(P(X \geq 9) \), mida saab kirjutada järgmiselt:
\[
P(X \geq 9) = P(X = 9) + P(X = 10)
\]
Binoomjaotuse valemi kasutamine:
\[
P(X = 9) = ∫binom{10}{9} (0.95)^9 (0.05)^1
\]
\[
P(X = 10) = ∫binom{10}{10} (0.95)^{10} (0.05)^0
\]
Esmalt arvutage iga juhtumi kombinatsioon:
\[
\binom{10}{9} = \frac{10!}{9!(10-9)!} = 10
\]
\[
\binom{10}{10} = 1
\]
Seejärel arvutage tõenäosused P(X = 9) ja P(X = 10) jaoks:
\[
P(X = 9) = 10 × (0.95)^9 × 0.05
\]
\[
(0.95)^9 \um 0.6302
\]
\[
P(X = 9) = 10 × 0.6302 × 0.05 = ligikaudu 0.3151
\]
\[
P(X = 10) = 1 × (0.95)^{10} × 1
\]
\[
(0.95)^{10} \um 0.5987
\]
\[
P(X = 10) = 0.5987
\]
Kogutõenäosus P(X ≤ 9) jaoks:
\[
P(X ∫q 9) = 0.3151 + 0.5987 = ligikaudu 0.9138
\]
Seega on tõenäosus, et vähemalt 9 kümnest komponendist läbib kvaliteedikontrolli, umbes 0.9138 ehk 91.38%.
Näidisküsimus 3: Oodatav väärtus ja dispersioon
Küsimus:
Arvutage kümne toodetud komponendi hulgast kvaliteeditesti läbinud komponentide arvu oodatav väärtus ja dispersioon, läbimise tõenäosusega 0.95.
Arutelu:
Kasutage järgmist valemit:
– Oodatav väärtus (keskmine) \( \mu = np \)
– Dispersioon (sigma^2 = np(1-p))
Kui n = 10 ja p = 0.95:
\[
∫ = 10 × 0.95 = 9.5
\]
\[
ηρητι² = 10 × 0.95 × 0.05 = 0.475
\]
Seega on kvaliteeditesti läbivate komponentide arvu oodatav väärtus 9.5 ja dispersioon on 0.475.
Järeldus
Ülaltoodud kolme näidisülesande abil oleme arutanud, kuidas arvutada tõenäosust binoomjaotuse abil erinevates olukordades: täpse tõenäosuse, kumulatiivse tõenäosuse ning oodatava väärtuse ja dispersiooni arvutamine. Binoomjaotuse tundmine on kasulik erinevates valdkondades, näiteks tootmises, meditsiiniuuringutes ja sotsiaalstatistikas, kus kahe võimaliku tulemusega korduvate katsete tulemusi saab analüüsida otsuste tegemise hõlbustamiseks. Loodetavasti aitavad esitatud näidisülesanded ja arutelud teil binoomjaotusest paremini aru saada.
