Näide normaaljaotuse aruteluküsimusest
Normaaljaotus, tuntud ka kui Gaussi jaotus, on statistikas kõige sagedamini kasutatav tõenäosusjaotus. Sellel jaotusel on sümmeetriline kellukese kuju, mis näitab, et andmed on paigutatud keskmise ümber ja äärmuste (keskmisest kaugel olevate väärtuste) tõenäosus on väike.
Selles artiklis arutame erinevaid normaaljaotusega seotud näidisülesandeid ja nende lahendamist. Alustame mõne põhimõiste tutvustamisega ja liigume seejärel keerukamate näidete juurde.
Normaaljaotuse alused
Normaaljaotus on pidev jaotus kahe parameetriga: keskmine ja standardhälve (SH). Keskmine määrab jaotuse keskpunkti, standardhälve aga jaotuse laiuse.
Normaaljaotuse olulised omadused:
1. Sümmeetria: normaaljaotus on keskmise suhtes sümmeetriline.
2. Empiiriline reegel (empiiriline reegel):
– Ligikaudu 68% andmetest jääb keskmisest ühe standardhälbe piiresse.
– Ligikaudu 95% andmetest jääb keskmisest kahe standardhälbe piiresse.
– Ligikaudu 99.7% andmetest jääb keskmisest kolme standardhälbe piiresse.
Näidisküsimused ja arutelu
Näidisküsimus 1: Z-skoori arvutamine
Küsimus: Eksami keskmine punktisumma on 70, standardhälbega 10. Õpilane saab punktisummaks 80. Milline on õpilase Z-skoor?
Lahendus:
Z-skoor on mõõt, mis näitab, mitu standardhälvet väärtus keskmisest erineb.
Z-skoori valem:
\[ Z = \frac{X – \mu}{\sigma} \]
Kus:
– \(X \) on vaadeldud väärtus.
– \( \mu \) on keskmine.
– \( \sigma \) on standardhälve.
On teada:
– \(X = 80 \)
– \( \mu = 70 \)
– \( \sigma = 10 \)
Valemi rakendamine:
\[ Z = \frac{80–70}{10} = 1 \]
Seega on õpilase Z-skoor 1, mis tähendab, et skoor 80 on keskmisest ühe standardhälbe võrra kõrgem.
Näidisküsimus 2: Teatud väärtuse tõenäosus
Küsimus: Kui suur on tõenäosus leida normaaljaotus keskmisega 100 ja standardhälbega 15, siis kui suur on väärtus alla 85?
Lahendus:
Sammud:
1. Arvutage Z-skoor väärtusele \(X = 85 \):
\[ Z = \frac{85 – 100}{15} = \frac{-15}{15} = -1 \]
2. Kasutage Z-tabelit või statistilist kalkulaatorit, et leida Z-skoorile -1 vastav tõenäosus. Z-tabelis on Z-skoori -1 tõenäosus ligikaudu 0.1587.
Seega on väärtuse alla 85 leidmise tõenäosus 0.1587 ehk 15.87%.
Näidisküsimus 3: Empiiriliste reeglite kasutamine
Küsimus: On teada, et matemaatika testide tulemuste jaotus koolides järgib normaaljaotust keskmisega 75 ja standardhälbega 8. Kui suur osa õpilastest sai hindeks 67–83?
Lahendus:
Sammud:
1. Arvutage Z-skoor väärtuste 67 ja 83 jaoks:
\[ Z_{67} = \frac{67–75}{8} = \frac{-8}{8} = -1 \]
\[ Z_{83} = \frac{83–75}{8} = \frac{8}{8} = 1 \]
2. Empiiriliste reeglite kohaselt hõlmavad väärtused keskmisest vahemikus -1 standardhälve kuni +1 standardhälve umbes 68% populatsioonist.
Seega oli 67–83 punkti saanud õpilaste osakaal umbes 68%.
Näidisküsimus 4: Väärtuste arvutamine protsentiilide põhjal
Küsimus: Kui täiskasvanud meeste keskmine pikkus riigis on 175 cm standardhälbega 7 cm, siis milline on meeste pikkus 90. protsentiilil?
Lahendus:
Sammud:
1. Leidke 90. protsentiilile vastav Z-skoor. Z-tabeli põhjal on 0.9000-le lähim Z-skoor ligikaudu 1.28.
2. Kasutage valemit \(X \) väärtuse arvutamiseks:
\[X = \mu + Z \x \sigma \]
\[X = 175 + 1.28 korda 7]
\[X = 175 + 8.96 \]
\[X = 183.96 \]
Seega on 90. protsentiili pikkus umbes 183.96 cm.
Näidisküsimus 5: Teatud intervalli tõenäosus
Küsimus: Arvestades, et vastsündinute kaalude jaotus järgib normaaljaotust keskmisega 3.5 kg ja standardhälbega 0.5 kg, milline on tõenäosus, et laps kaalub 3–4 kg?
Lahendus:
Sammud:
1. Arvutage Z-skoor väärtuste 3 kg ja 4 kg jaoks:
\[ Z_{3} = \frac{3–3.5}{0.5} = \frac{-0.5}{0.5} = -1 \]
\[ Z_{4} = \frac{4–3.5}{0.5} = \frac{0.5}{0.5} = 1 \]
2. Z-tabeli põhjal on Z-skoori vahemikus -1 kuni 1 tõenäosus ligikaudu 0.6826 ehk 68.26%.
Seega on 3–4 kg kaaluva lapse sünni tõenäosus umbes 68.26%.
Järeldus
Normaaljaotus on statistikas põhimõiste, millel on oluline roll ja palju reaalse maailma rakendusi. Selles artiklis oleme selgitanud normaaljaotuse põhimõisteid ja lahendanud mitu näidet, et oma arusaamist süvendada.
Normaaljaotuse mõistmine pole oluline mitte ainult statistika, vaid ka mitmete praktiliste valdkondade, näiteks psühholoogia, majanduse ja teiste sotsiaalteaduste jaoks. Piisava harjutamisega võib normaaljaotuse probleemide lahendamine muutuda intuitiivsemaks ja aidata andmepõhisel otsuste tegemisel.
