Ακτινική επιτάχυνση – προβλήματα και λύσεις

Ακτινική επιτάχυνση – προβλήματα και λύσεις

1. Ποιο από τα παρακάτω γραφήματα δείχνει τη σχέση μεταξύ της κεντρομόλου επιτάχυνσης ή της ακτινικής επιτάχυνσης (a₂R ₎ και της γραμμικής ταχύτητας (v) σε ομοιόμορφη κυκλική κίνηση ;

Λύση:

Η εξίσωση της ακτινικής επιτάχυνσης:

a _R = ακτινική επιτάχυνση , v = γραμμική ταχύτητα , r = απόσταση από τον άξονα περιστροφής.

Διερευνούμε τη σχέση μεταξύ της ακτινικής επιτάχυνσης (a₂R ₎ και της γραμμικής ταχύτητας (v) έτσι ώστε η απόσταση από τον άξονα περιστροφής (r) να είναι σταθερή. Για παράδειγμα, r = 1.

2. Μια μπάλα περιστρέφεται σε ένα δοχείο με διάμετρο 1 μέτρο. Αν η γωνιακή ταχύτητα είναι 50 στροφές/λεπτό, ποια είναι η γραμμική ταχύτητα και η ακτινική επιτάχυνση της μπάλας;

Γνωστό:

Διάμετρος κύκλου (D) = 1 m

Ακτίνα κύκλου (r) = 0,5 m

Γωνιακή ταχύτητα (ω) = 50 στροφές ανά λεπτό = 50 στροφές / 1 λεπτό

1 περιστροφή = 2π ακτίνια

50 περιστροφές = 50 (2π ακτίνια) = 100π ακτίνια

1 λεπτό = 60 δευτερόλεπτα

Γωνιακή ταχύτητα (ω) = 100π ακτίνια / 60 δευτερόλεπτα = (10π/6) ακτίνια/δευτερόλεπτο

Ζητείται: Γραμμική ταχύτητα (v) και ακτινική επιτάχυνση ( _aR )

Λύση:

Γραμμική ταχύτητα (v):

v = r ω = (0.5)(10π/6) = 5π/6 m/s

Ακτινική επιτάχυνση (aR ₎ :

a _R = v ² /r = (5π/6) ² : 0.5 = 25π ² /36 : 0.5 = (25π ^{2 /} 36)(1/0.5)

a _R = (25π ² /18) m/s ²

3. Ένα αντικείμενο ταξιδεύει με σταθερή ταχύτητα v σε κύκλο με ακτίνα R και ακτινική επιτάχυνση a _R. Αν η ακτινική επιτάχυνση γίνει 2 φορές, τότε το v γίνεται ………. φορές και η ακτίνα γίνεται ………. φορές

Λύση:

Η εξίσωση της ακτινικής επιτάχυνσης:

Αν η ακτινική επιτάχυνση (aR ₎ = 1, τότε η γραμμική ταχύτητα (v) = 1 και η ακτίνα (r) = 1:

Αν η ακτινική επιτάχυνση (aR ₎ = 2, τότε η γραμμική ταχύτητα (v) = 2 και η ακτίνα (r) = 2:

Αν η ακτινική επιτάχυνση γίνει 2 φορές, τότε η γραμμική ταχύτητα (v) γίνεται 2 φορές και η ακτίνα του κύκλου γίνεται 2 φορές.

1. Ε: Τι είναι η ακτινική επιτάχυνση και πώς σχετίζεται με την κυκλική κίνηση; A: Η ακτινική επιτάχυνση είναι ο ρυθμός μεταβολής της εφαπτομενικής ταχύτητας σε μια κυκλική κίνηση. Κατευθύνεται πάντα προς το κέντρο του κύκλου και το μέγεθός της δίνεται από a_r​=v²​,/r όπου $v$ είναι η εφαπτομενική ταχύτητα, και $r$ είναι η ακτίνα του κύκλου.
2. Ε: Γιατί η ακτινική επιτάχυνση ονομάζεται και κεντρομόλος επιτάχυνση; A: Η ακτινική επιτάχυνση ονομάζεται κεντρομόλος επιτάχυνση επειδή ο όρος «κεντρομόλος» σημαίνει «αναζήτηση κέντρου». Αυτή η επιτάχυνση κατευθύνεται προς το κέντρο της κυκλικής τροχιάς, περιγράφοντας τη φύση της δύναμης που απαιτείται για να διατηρηθεί ένα αντικείμενο σε κίνηση σε αυτήν την τροχιά.
3. Ε: Πώς αλλάζει η ακτινική επιτάχυνση αν η ακτίνα του κύκλου διπλασιαστεί ενώ η ταχύτητα παραμένει σταθερή; A: Αν η ακτίνα διπλασιαστεί και η ταχύτητα παραμείνει σταθερή, η ακτινική επιτάχυνση θα μειωθεί στο μισό, καθώς είναι αντιστρόφως ανάλογη με την ακτίνα.
4. Ε: Μπορεί να συμβεί ακτινική επιτάχυνση σε ευθύγραμμη κίνηση; Γιατί ή γιατί όχι; A: Όχι, η ακτινική επιτάχυνση αναφέρεται συγκεκριμένα στην επιτάχυνση σε κυκλική κίνηση. Δεν ισχύει για την ευθύγραμμη κίνηση επειδή δεν υπάρχει σταθερή αλλαγή στην κατεύθυνση προς ένα σταθερό κεντρικό σημείο.
5. Ε: Αν ένα αντικείμενο είναι ακίνητο σε κυκλική τροχιά, ποια θα είναι η ακτινική του επιτάχυνση; A: Αν ένα αντικείμενο είναι σε ηρεμία, η εφαπτομενική του ταχύτητα είναι μηδέν και κατά συνέπεια, η ακτινική του επιτάχυνση θα είναι επίσης μηδέν.
6. Ε: Πώς σχετίζεται η ακτινική (κεντρομόλος) επιτάχυνση με τη φυγόκεντρο δύναμη; A: Η κεντρομόλος επιτάχυνση είναι μια πραγματική επιτάχυνση προς το κέντρο μιας κυκλικής τροχιάς, ενώ η φυγόκεντρος δύναμη είναι μια φανταστική δύναμη που φαίνεται να δρα προς τα έξω όταν την βλέπουμε από ένα περιστρεφόμενο σύστημα αναφοράς. Είναι ίσες σε μέγεθος αλλά αντίθετες σε κατεύθυνση.
7. Ε: Τι συμβαίνει με την ακτινική επιτάχυνση εάν η ταχύτητα του αντικειμένου που κινείται σε κυκλική τροχιά διπλασιαστεί; A: Αν η ταχύτητα διπλασιαστεί, η ακτινική επιτάχυνση θα τετραπλασιαστεί. Η ακτινική επιτάχυνση είναι ανάλογη με το τετράγωνο της ταχύτητας, επομένως ο διπλασιασμός της ταχύτητας αυξάνει την επιτάχυνση κατά τέσσερις φορές.
8. Ε: Ποιο ρόλο παίζει η τριβή στην παροχή ακτινικής επιτάχυνσης για ένα αυτοκίνητο που στρίβει; A: Η τριβή μεταξύ των ελαστικών και του δρόμου παρέχει την κεντρομόλο δύναμη που απαιτείται για την ακτινική επιτάχυνση. Χωρίς επαρκή τριβή, το αυτοκίνητο δεν θα μπορούσε να αλλάξει κατεύθυνση και να διατηρήσει μια κυκλική τροχιά, και αντίθετα θα συνέχιζε σε ευθεία γραμμή.
9. Ε: Είναι δυνατόν η ακτινική επιτάχυνση να είναι αρνητική; Γιατί ή γιατί όχι; A: Η ακτινική επιτάχυνση κατευθύνεται πάντα προς το κέντρο του κύκλου, επομένως ορίζεται ως θετική προς αυτήν την κατεύθυνση. Δεν μπορεί να είναι αρνητική, καθώς η κατεύθυνση της ακτινικής επιτάχυνσης είναι εξ ορισμού προς το κέντρο του κύκλου.

10. Ε: Πώς συμβάλλει η βαρύτητα στην ακτινική επιτάχυνση στην περίπτωση ουράνιων αντικειμένων όπως οι πλανήτες που περιστρέφονται γύρω από τον ήλιο; Α: Στην περίπτωση πλανητών που περιστρέφονται γύρω από τον ήλιο, η βαρυτική δύναμη μεταξύ των δύο σωμάτων λειτουργεί ως κεντρομόλος δύναμη, παρέχοντας την ακτινική επιτάχυνση που απαιτείται για να διατηρηθεί ο πλανήτης στην κυκλική (ή σχεδόν κυκλική) τροχιά του. Η βαρυτική δύναμη διατηρεί τον πλανήτη να κινείται σε μια τροχιά γύρω από τον ήλιο, αντί να απομακρύνεται σε ευθεία γραμμή.