Παράδειγμα ερώτησης για τον προσδιορισμό της θέσης ενός αντικειμένου που κινείται σε μια παραβολή

3 παραδείγματα ερωτήσεων σχετικά με τον προσδιορισμό της θέσης ενός αντικειμένου που κινείται σε μια παραβολή

1. Η μπάλα πετάγεται προς τα πάνω υπό γωνία 60 μοιρών^o οριζόντια με αρχική ταχύτητα 12 m/s. Προσδιορίστε τη θέση του αντικειμένου αφού κινηθεί για 1 δευτερόλεπτο! Ενταση βαρύτητος = 10 m/s²
Συζήτηση
Είναι γνωστό ότι:
Γωνία (θ) = 60^o
Kecepatan αρχή (v)_o) = 12 m/s
Χρονικό διάστημα (t) = 1 δευτερόλεπτο
Επιτάχυνση λόγω βαρύτητας (g) = 10 m/s²
Ερωτηθείς: Θέση της μπάλας μετά από κίνηση 1 δευτερολέπτου
Απάντηση:
Αρχικά, υπολογίστε τις αρχικές συνιστώσες της ταχύτητας της μπάλας στην οριζόντια και κάθετη κατεύθυνση.
Αρχική ταχύτητα της μπάλας στην οριζόντια κατεύθυνση:
v_ox = v_o cos θ = (12 m/s)(cos 60^o) = (12 m/s)(0,5) = 6 m/s

Αρχική ταχύτητα της μπάλας στην κατακόρυφη κατεύθυνση:
v_oy = v_o sin θ = (12 m/s)(sin 60^o) = (12 m/s)(0,5√3) = 6√3 m/s

Η παραβολική κίνηση θεωρείται ως συνδυασμός οριζόντιας και κατακόρυφης κίνησης. Η οριζόντια κίνηση αναλύεται ως εξής: ομοιόμορφη γραμμική κίνηση, ενώ η κίνηση στην κατακόρυφη κατεύθυνση αναλύεται ως κατακόρυφη κίνηση προς τα πάνωΗ θέση ενός αντικειμένου στην οριζόντια κατεύθυνση υπολογίζεται όπως προσδιορίζοντας την απόσταση ενός αντικειμένου που κινείται σε ευθεία γραμμή με σταθερό ρυθμό, αντίστροφα η θέση ενός αντικειμένου στην κατακόρυφη κατεύθυνση υπολογίζεται όπως προσδιορίζοντας το ύψος ενός αντικειμένου που κινείται κατακόρυφα προς τα πάνω.

Θέση της μπάλας στην οριζόντια κατεύθυνση:
Είναι γνωστό ότι:
Η ταχύτητα της μπάλας στην οριζόντια κατεύθυνση (v_x) = 6 m/s
Στην ομοιόμορφη ευθύγραμμη κίνηση, η ταχύτητα του αντικειμένου είναι σταθερή, έτσι ώστε η αρχική ταχύτητα του αντικειμένου να είναι ίση με την ταχύτητα του αντικειμένου.
Χρονικό διάστημα (t) = 1 δευτερόλεπτο
Ερωτηθείς: Απόσταση αντικειμένων
Απάντηση:
Μια ταχύτητα 6 μέτρων ανά δευτερόλεπτο σημαίνει ότι η μπάλα κινείται 6 μέτρα κάθε δευτερόλεπτο. Η απόσταση που διανύει η μπάλα μετά από 1 δευτερόλεπτο είναι 6 μέτρα. Επομένως, η οριζόντια θέση της μπάλας είναι 6 μέτρα.

Θέση της μπάλας στην κατακόρυφη κατεύθυνση:
Για την επίλυση του προβλήματος της ανοδικής κατακόρυφης κίνησης, διανυσματική ποσότητα Το διάνυσμα του οποίου η κατεύθυνση είναι προς τα πάνω λαμβάνει θετικό πρόσημο, ενώ το διάνυσμα του οποίου η κατεύθυνση είναι προς τα κάτω λαμβάνει αρνητικό πρόσημο.
Είναι γνωστό ότι:
Αρχική ταχύτητα της μπάλας (v_o) = 6√3 m/s (θετικό επειδή η κατεύθυνση της αρχικής ταχύτητας είναι προς τα πάνω)
Χρονικό διάστημα (t) = 1 δευτερόλεπτο
Επιτάχυνση λόγω βαρύτητας (g) = -10 m/s² (αρνητική επειδή η βαρυτική επιτάχυνση είναι προς τα κάτω, προς το κέντρο της γης)
Ερωτηθείς: Το ύψος της μπάλας μετά από κίνηση 1 δευτερολέπτου (h)
Απάντηση:
Είναι γνωστό ότι v_o, t, g και ρώτησε το h, οπότε ο τύπος που χρησιμοποιείται είναι h = v_o t + 1/2 gt²
h = v_o t + 1/2 gt² = (6√3)(1) + 1/2 (-10)(1²) = 6√3 + (-5)(1) = 6√3 – 5 = 6(1,7) – 5 = 10,2 – 5 = 5,2 μέτρα.

Θέση της μπάλας μετά από κίνηση 1 δευτερολέπτου:
Η θέση της μπάλας στην οριζόντια κατεύθυνση (x) = 6 μέτρα
Η θέση της μπάλας στην κατακόρυφη κατεύθυνση (y) = 5,2 μέτρα
Έτσι, οι συντεταγμένες της θέσης της μπάλας είναι (x; y) = (6; 5,2)

2. Η σφαίρα εκτοξεύεται προς τα πάνω υπό γωνία 30°^o οριζόντια από ένα σημείο 20 μέτρα πάνω από το επίπεδο του εδάφους. Η αρχική ταχύτητα της σφαίρας είναι 50 m/s. Πόσο ψηλά θα φτάσει η σφαίρα αφού κινηθεί για 1 δευτερόλεπτο; Η επιτάχυνση λόγω της βαρύτητας είναι 10 m/s²
Συζήτηση
Είναι γνωστό ότι:
Γωνία (θ) = 30^o
Αρχικό ύψος της σφαίρας (h_o) = 20 μέτρα
Αρχική ταχύτητα της σφαίρας (v_o) = 50 m/s
Χρονικό διάστημα (t) = 1 δευτερόλεπτο
Επιτάχυνση λόγω βαρύτητας (g) = 10 m/s²
Ερωτηθείς: Ύψος σφαίρας
Απάντηση:
Αρχική ταχύτητα της σφαίρας στην κατακόρυφη κατεύθυνση:
Αρχικά, υπολογίστε την αρχική συνιστώσα της ταχύτητας της μπάλας στην κατακόρυφη κατεύθυνση.
v_oy = v_o sin θ = (50 m/s)(sin 30^o) = (50 m/s)(0,5) = 25 m/s

Ύψος σφαίρας:
Το ύψος της σφαίρας υπολογίζεται ως ο προσδιορισμός του ύψους σε μια ανοδική κατακόρυφη κίνηση.
Στην επίλυση προβλημάτων κατακόρυφης κίνησης προς τα πάνω, το διανυσματικό μέγεθος που κατευθύνεται προς τα πάνω λαμβάνει θετικό πρόσημο, ενώ το διανυσματικό μέγεθος που κατευθύνεται προς τα κάτω λαμβάνει αρνητικό πρόσημο.
Είναι γνωστό ότι:
Αρχική ταχύτητα της σφαίρας (v_o) = 25 m/s (θετικό επειδή η κατεύθυνση της αρχικής ταχύτητας είναι προς τα πάνω)
Χρονικό διάστημα (t) = 1 δευτερόλεπτο
Επιτάχυνση λόγω βαρύτητας (g) = -10 m/s² (αρνητική επειδή η κατεύθυνση της βαρυτικής επιτάχυνσης είναι προς τα κάτω, προς το κέντρο της γης)
Ερωτηθείς: Ύψος σφαίρας (h)
Απάντηση:
Είναι γνωστό ότι v_o, t, g και ρώτησε το h, οπότε ο τύπος που χρησιμοποιείται είναι h = v_o t + 1/2 gt²
h = v_o t + 1/2 gt² = (25)(1) + 1/2 (-10)(1²) = 25 + (-5)(1) = 25 – 5 = 20 μέτρα.
Το ύψος της σφαίρας μετά από κίνηση 1 δευτερολέπτου είναι 20 μέτρα πάνω από το σημείο που πυροδοτήθηκε η σφαίρα ή 40 μέτρα πάνω από το επίπεδο του εδάφους.

3. Μια μπίλια πετιέται οριζόντια προς τα δεξιά από ύψος 10 μέτρων με αρχική ταχύτητα 10 m/s. Προσδιορίστε τη θέση της μπίλιας αφού κινηθεί για 1 δευτερόλεπτο! Επιτάχυνση λόγω βαρύτητας = 10 m/s²
Συζήτηση
Είναι γνωστό ότι:
Αρχικό ύψος (h) = 10 μέτρα
Αρχική ταχύτητα (v_o) = 10 m/s
Χρονικό διάστημα (t) = 1 δευτερόλεπτο
Επιτάχυνση λόγω βαρύτητας (g) = 10 m/s²
Ερωτηθείς: Θέση της μπίλιας μετά από κίνηση 1 δευτερολέπτου
Απάντηση:
Η τροχιά του βόλου είναι όπως φαίνεται στην εικόνα. Εάν η τροχιά είναι παραβολική όπως φαίνεται στην εικόνα, η θέση του αντικειμένου στην κατακόρυφη κατεύθυνση προσδιορίζεται όπως υπολογίζοντας το ύψος σε ελεύθερη πτώση, ενώ η θέση του αντικειμένου στην οριζόντια κατεύθυνση προσδιορίζεται όπως υπολογίζοντας την απόσταση σε ομοιόμορφη ευθύγραμμη κίνηση.
Αρχικά, η μπίλια κινείται σε οριζόντια κατεύθυνση, έτσι ώστε η αρχική ταχύτητα της μπίλιας στην οριζόντια κατεύθυνση (v)_ox) είναι 10 m/s, ενώ η αρχική ταχύτητα του μαρμάρου στην κατακόρυφη κατεύθυνση (v_oy) είναι 0 m/s.

Θέση των μαρμάρων στην οριζόντια κατεύθυνση:
Είναι γνωστό ότι:
Η ταχύτητα του μαρμάρου στην οριζόντια κατεύθυνση (v_x) = 10 m/s
Στην ομοιόμορφη ευθύγραμμη κίνηση, η ταχύτητα του αντικειμένου είναι σταθερή, έτσι ώστε η αρχική ταχύτητα του αντικειμένου να είναι ίση με την ταχύτητα του αντικειμένου.
Χρονικό διάστημα (t) = 1 δευτερόλεπτο
Ερωτηθείς: Απόσταση αντικειμένων
Απάντηση:
Μια ταχύτητα 10 μέτρων ανά δευτερόλεπτο σημαίνει ότι η μπίλια κινείται 10 μέτρα κάθε δευτερόλεπτο. Η απόσταση που διανύει η μπίλια αφού κινηθεί για 1 δευτερόλεπτο είναι 10 μέτρα. Επομένως, η οριζόντια θέση της μπίλιας είναι 10 μέτρα.

Θέση των μαρμάρων στην κατακόρυφη κατεύθυνση:
Αναλύθηκε ως ελεύθερη κίνηση πτώσης.
Είναι γνωστό ότι:
Χρονικό διάστημα (t) = 1 δευτερόλεπτο
Επιτάχυνση λόγω βαρύτητας (g) = 10 m/s²
Ερωτηθείς: Το ύψος της μπίλιας μετά από κίνηση 1 δευτερολέπτου (h)
Απάντηση:
Δεδομένου του t, του g και ζητούμενου h, ο τύπος που χρησιμοποιείται είναι h = 1/2 gt²
h = 1/2 gt² = 1/2 (10)(1²) = (5)(1) = 5 μέτρα.
Μετά από 1 δευτερόλεπτο, η μπίλια πέφτει 5 μέτρα. Το ύψος της μπίλιας από το έδαφος είναι 10 μέτρα – 5 μέτρα = 5 μέτρα.

Θέση της μπίλιας μετά από κίνηση 1 δευτερολέπτου:
Η θέση του μαρμάρου στην οριζόντια κατεύθυνση (x) = 10 μέτρα
Η θέση του μαρμάρου στην κατακόρυφη κατεύθυνση (y) = 5 μέτρα
Έτσι, οι συντεταγμένες της θέσης του μάρμαρου είναι (x; y) = (10; 5)

[Αγγλικά: Επίλυση προβλημάτων κίνησης βλήματος – προσδιορισμός της θέσης ενός αντικειμένου]