Zu den physikalischen Größen bei der Kreisbewegung gehören Winkelverschiebung, Winkelgeschwindigkeit und Winkelbeschleunigung.
1. Winkelverschiebung (θ)
Die Verschiebung bei einer Kreisbewegung wird als Winkelverschiebung bezeichnet. Winkelverschiebungen sind vektorielle Größen und besitzen daher einen Betrag und eine Richtung. Die Richtung der Winkelverschiebung wird üblicherweise im Uhrzeigersinn (im Uhrzeigersinn oder gegen den Uhrzeigersinn) angegeben.
Es gibt drei Einheiten für die Winkelverschiebung. Erstens: Grad (o). Ein Kreisumfang entspricht 360°.oZweitens: Umdrehung. Ein Kreisumfang entspricht einer Umdrehung. Drittens: Bogenmaß. Betrachten Sie die Abbildung unten. Bewegt sich ein Objekt auf einem Kreis, dann ist r der Radius des Kreises und x die Länge der Kreisbahn, die das Objekt beschreibt, gleich dem Umfang des Kreises.
Ein Kreisumfang entspricht 2π Radiant.
Beispielaufgabe 1:
1 Umdrehung = 360 ° . ½ Umdrehung = …. Rad?
Lösung:
1 Umdrehung = 360 o = 2 π rad = 2(3.14) rad = 6.28 rad
1/2 Umdrehung = 180 ° = 1/2 (6.28 rad) = 3.14 rad
Beispielaufgabe 2:
1 rad = …… o ? 1 o = … rad ?
Lösung:
180 ° = π rad = 3.14 rad
2. Winkelgeschwindigkeit (ω)
a. Mittlere Winkelgeschwindigkeit
Beispielaufgabe 3:
Ein Rad dreht sich im Uhrzeigersinn, dreht sich 2 Sekunden lang um 180 ° und anschließend 1 Sekunde lang um 90 ° . Wie groß ist die mittlere Winkelgeschwindigkeit und in welche Richtung dreht sie sich?
Lösung:
Die Richtung der mittleren Winkelgeschwindigkeit entspricht der Drehrichtung im Uhrzeigersinn.
9 o /s = … rad/s ?
Beispielaufgabe 4:
Ein Rad dreht sich im Uhrzeigersinn und vollführt dabei eine Drehung von 360 ° für 4 Sekunden. Anschließend dreht es sich entgegen dem Uhrzeigersinn und vollführt dabei eine Drehung von 180 ° für 2 Sekunden. Wie groß ist die mittlere Winkelgeschwindigkeit?
Lösung:
Die Richtung der mittleren Winkelgeschwindigkeit entspricht der Drehrichtung im Uhrzeigersinn.
3 o /s = … rad/s?
b. Momentane Winkelgeschwindigkeit
Die momentane Winkelgeschwindigkeit wird oft einfach als Winkelgeschwindigkeit bezeichnet. Wenn nur von Winkelgeschwindigkeit die Rede ist, ist die momentane Winkelgeschwindigkeit gemeint. Der Betrag der momentanen Winkelgeschwindigkeit entspricht dem Betrag der Winkelgeschwindigkeit in einem sehr kurzen Zeitintervall. Mathematisch ausgedrückt:
Wenn wir bei der linearen Bewegung den Betrag der Geschwindigkeit durch die Winkelgeschwindigkeit ersetzen können, so können wir bei der Kreisbewegung den Betrag der Winkelgeschwindigkeit durch die Winkelgeschwindigkeit ersetzen.
3. Winkelbeschleunigung (A)
a. Mittlere Winkelbeschleunigung
Beispielaufgabe 5:
Eine Windmühle befand sich anfangs in Ruhe und wurde vom Wind angetrieben, wodurch sie sich im Uhrzeigersinn drehte. Nach 2 Sekunden beträgt ihre Winkelgeschwindigkeit 90 ° /s. Wie groß ist die mittlere Winkelgeschwindigkeit?
Lösung:
Im Durchschnitt ändert sich die Winkelgeschwindigkeit der Windmühle jede Sekunde um 45°/Sekunde = … rad/s pro Sekunde?
b. Momentane Winkelbeschleunigung
Die momentane Winkelbeschleunigung wird oft einfach als Winkelbeschleunigung abgekürzt. Sie ist die Änderung der Winkelgeschwindigkeit innerhalb eines sehr kurzen Zeitintervalls. Mathematisch ausgedrückt:
Lineare Größen bei der Kreisbewegung
Lineare Größen sind Größen einer geradlinigen Bewegung, wie beispielsweise Verschiebung (Strecke), Geschwindigkeit (Tempo) und Beschleunigung. Die Größen einer Kreisbewegung hingegen werden als Winkelgrößen bezeichnet.
1. Verschiebung
Betrachten wir einen sich drehenden Gegenstand, wie ein Rad, einen Ventilator, eine Windmühle oder eine Uhr. Dreht sich ein Gegenstand wie ein Ventilator, rotieren alle Teile des Ventilators gemeinsam. Macht der Ventilator eine Umdrehung (360 ° ), so vollführen alle Teile des Ventilators, sowohl die am Rand als auch die in der Nähe der Achse, ebenfalls eine Umdrehung von 360 ° . Eine Umdrehung bzw. 360 ° entspricht der Winkelverschiebung, die alle Teile des Ventilators, sowohl die am Rand als auch die in der Nähe der Achse, ausführen.
Wenn der Ventilator eine Umdrehung vollführt, bewegen sich der Ventilatorrand und der Ventilatorrand nahe der Drehachse um eine Kreisbahn (2). Bei einem Radius des Ventilators von 20 cm beträgt der Abstand zwischen Ventilatorrand und Drehachse ebenfalls 20 cm. Beispielsweise beträgt der Abstand zwischen der Achse und einem achsennahen Ventilatorrand 1 cm. Bei einer Umdrehung legt der Ventilatorrand eine kreisförmige Strecke von (2)(3.14)(20 cm) = 125.6 cm zurück.
Während sich der Punkt in der Nähe der Achse kreisförmig um (2)(3.14)(1 cm) = 6.28 cm bewegt, beträgt die Verschiebung des Fächerrandes 125.6 cm.
6.28 cm ist die Größe der Verschiebung eines Punktes nahe der Drehachse. Je kleiner r, desto kleiner die Verschiebung. Der Zusammenhang zwischen Verschiebung (d) und Winkelverschiebung (θ) wird durch die Gleichung ausgedrückt:
θ = d / r
d = r θ
d = Verschiebung (Meter), r = Radius oder Abstand von der Drehachse (Meter), θ = Winkelverschiebung (Radiant)
Beispielaufgabe 6:
Eine CD mit einem Radius von 5 cm rotiert um einen Winkel von 90°. Wie groß ist die Verschiebung eines Punktes, der 2 cm von der Rotationsachse entfernt ist?
Lösung:
r = Abstand von der Drehachse = 2 cm = 0.02 m
θ = 90 ° = 1.57 rad (muss in Radiant angegeben werden)
d = (0.02 m)(1.57 rad) = 0.03 m.
Die Winkelverschiebung hat keine Einheit im internationalen Einheitensystem und keine Dimension (ihre Dimension ist 1), daher kann bei der obigen Berechnung einfach die Einheit Radiant aus den Berechnungsergebnissen entfernt werden.
2. Geschwindigkeit
Ein Ventilator oder jedes andere rotierende Objekt benötigt natürlich ein bestimmtes Zeitintervall, um sich zu drehen. Wenn sich der Ventilator im Uhrzeigersinn dreht und eine Umdrehung (360 ° ) in 1 Sekunde benötigt,
Dann beträgt die Winkelgeschwindigkeit aller Teile des Ventilators 1 Umdrehung/s = 360 ° /s = 6.28 rad/s und die Richtung der Winkelgeschwindigkeit ist die gleiche wie die Richtung des Stundenzeigers.
Beträgt der Radius des Ventilators 20 cm, so bewegt sich der Ventilatorrand kreisförmig mit einer Geschwindigkeit von 2 × 3.14 × 20 cm / 1 Sekunde = 125.6 cm/s = 1.256 m/s. Der Punkt, der 1 cm (0.01 m) von der Drehachse entfernt ist, bewegt sich mit einer Geschwindigkeit von 2 × 3.14 × 1 cm / 1 Sekunde = 6.28 cm/s = 0.0628 m/s. Je kleiner r, desto kleiner die Geschwindigkeit. Bei einer Kreisbewegung wird die Geschwindigkeit oft als Tangentialgeschwindigkeit bezeichnet.
Der Zusammenhang zwischen Geschwindigkeit (v) und Winkelgeschwindigkeit (ω) wird durch die Gleichung ausgedrückt:
v = Geschwindigkeit (m/s), r = Radius oder Abstand von der Drehachse (m), ω = Winkelgeschwindigkeit (rad/s)
Beispielaufgabe 7:
Die Geschwindigkeit der zweiten Nadel beträgt 6.28 rad/Minute = 6.28 rad / 60 Sekunden = 0.1 rad/s. Wie groß ist die Geschwindigkeit eines Punktes, der 2 cm (0.02 m) von der Drehachse entfernt ist?
Lösung:
ω = 0.1 rad/s, r = 0.02 m
v = r
ω = (0.02 m)(0.1 rad/s) = 0.002 m/s
Radiant aus den Berechnungsergebnissen eliminieren.
3. Beschleunigung
Ein Punkt, der sich auf einer Kreisbahn bewegt, erfährt eine Beschleunigung, wenn sich Betrag und Richtung seiner Geschwindigkeit ändern. Daher gibt es zwei Arten von Beschleunigung bei einer Kreisbewegung: die Zentripetalbeschleunigung (a<sub> c</sub> ), auch Radialbeschleunigung (a<sub> r</sub> ) genannt. Die Zentripetalbeschleunigung entsteht durch Richtungsänderungen der Geschwindigkeit. Ihre Richtung zeigt stets zum Kreismittelpunkt.
Die Größe der Zentripetalbeschleunigung beträgt:
a c = Zentripetalbeschleunigung (m/s² ) , r = Radius oder Abstand von der Drehachse (m), v = Geschwindigkeit (m/s), ω = Winkelgeschwindigkeit (rad/s)
Zweitens, die Tangentialbeschleunigung (a<sub> t</sub> ). Tangentialbeschleunigung entsteht durch Änderungen des Betrags der Geschwindigkeit. Betrachten wir einen Punkt am Rand eines rotierenden Ventilators. Befindet sich der Ventilator zunächst in Ruhe, so befindet sich auch der Punkt am Rand des Ventilators in Ruhe (v = 0). Dreht sich der Ventilator eine Sekunde später mit einer Winkelgeschwindigkeit von 1 Umdrehung/s = 360 ° /s = 6.28 rad/s, so bewegt sich der Punkt am Rand des Ventilators mit einer Geschwindigkeit von 1.2 m/s auf einer Kreisbahn.
Dann erfährt der Punkt am Rand des Ventilatorwindes eine Tangentialbeschleunigung von 1.2 m/s pro Sekunde = 1.2 m/ s².
Der Zusammenhang zwischen der Tangentialbeschleunigung (a t ) und der Winkelbeschleunigung ( α ) wird durch die Gleichung ausgedrückt:
a t = Tangentialbeschleunigung (m/s² ) , r = Radius oder Abstand von der Drehachse (m), α = Winkelbeschleunigung (rad/ s² )
Zusammenhang zwischen Periode (T) und Frequenz (f) mit Geschwindigkeit und Winkelgeschwindigkeit
Die Periodendauer gibt das Zeitintervall an, das ein Objekt für eine Umdrehung benötigt, während die Frequenz die Anzahl der Umdrehungen pro Sekunde angibt. Der Zusammenhang zwischen Periodendauer und Frequenz wird durch die Gleichung f = 1/T ausgedrückt.
Die Einheit des Internationalen Einheitensystems (SI) für die Periodendauer ist Sekunde, die Einheit des Internationalen Einheitensystems für die Frequenz ist 1/Sekunde (= Hertz). Geschwindigkeit (v) und Winkelgeschwindigkeit (ω) kreisförmig bewegter Teilchen lassen sich durch Periodendauern oder Frequenzen ausdrücken.
Die Geschwindigkeit (v) des sich kreisförmig bewegenden Teilchens wird durch die Gleichung ausgedrückt:
Die Größe der Winkelgeschwindigkeit (ω) der sich kreisförmig bewegenden Partikel wird durch die Gleichung ausgedrückt:
