Projektilbewegung

Artikel über die Wurfparabel und Beispielaufgaben mit Lösungen

Anfangsgeschwindigkeit (v_ound die Komponente der Anfangsgeschwindigkeit (v_ox und v_oy)

Ein Objekt, dessen parabolische Bewegung stets eine Anfangsgeschwindigkeit besitzt. Da die parabolische Bewegung eine Kombination aus horizontalen und vertikalen Bewegungen ist, besitzt auch die Anfangsgeschwindigkeit horizontale und vertikale Komponenten.

Bewegt sich das Objekt parabolisch wie in den Abbildungen 1 und 3, so werden die Anfangsgeschwindigkeit in horizontaler Richtung (v _ox ) und die Anfangsgeschwindigkeit in vertikaler Richtung (v _oy ) mit folgender Gleichung berechnet:

v _ox = v _o cos θ

v _oy = v _o sin θ

Bewegt sich das Objekt parabolisch wie in Abbildung 2 dargestellt, dann gilt v _o = v _ox (v _oy = 0).

Geschwindigkeit (v_x und v_y) und Position (x und y)

Die Geschwindigkeit in horizontaler und vertikaler Richtung in einem bestimmten Zeitintervall wird mithilfe der folgenden Gleichung berechnet:

v _x = v _ox = konstant ( gleichförmige lineare Bewegung )

v _y = v _oy + gt oder v _y ² = v _oy ² + 2 gh (freier Fall)

Die Position von Objekten in horizontaler (x) und vertikaler (y) Richtung zu einem bestimmten Zeitpunkt wird mithilfe der folgenden Gleichung berechnet:

x = v _ox t

y = v _oy t + 1⁄2 gt ²

Resultierende aus Geschwindigkeit (v) und Position (h)

Die resultierende Geschwindigkeit in einem bestimmten Zeitintervall wird mithilfe der folgenden Gleichung berechnet:

Die Richtung von Objekten in einem bestimmten Zeitintervall wird mithilfe der folgenden Gleichung berechnet:

Hinweis:

1. Die horizontale Komponente der parabolischen Bewegung wird als gleichförmige geradlinige Bewegung betrachtet, daher ist vox = vx immer konstant.

2. Die vertikale Komponente einer Parabelbewegung wird als freie Fallbewegung betrachtet. Bewegt sich ein Objekt parabolisch, wie in Abbildung 1 und 3 dargestellt, ist die vertikale Geschwindigkeitskomponente im höchsten Punkt null (v _{_y} = 0). Wirft man eine Murmel senkrecht nach oben, befindet sie sich im höchsten Punkt kurz in Ruhe (v _{_y} = 0), bevor sie wieder nach unten fällt. Daher ist die Geschwindigkeit des Objekts im höchsten Punkt der Parabelbewegung gleich v _{_x} = v_{_ox .}

3. Bewegt sich das Objekt parabolisch wie in Abbildung 2 dargestellt, so wird die vertikale Komponente der parabolischen Bewegung als freie Fallbewegung betrachtet. Bewegt sich das Objekt parabolisch wie in den Abbildungen 1 und 3 dargestellt, so wird die vertikale Komponente der parabolischen Bewegung als aufwärts gerichtete vertikale Bewegung betrachtet.

Beispielaufgaben:

1. Eine Kugel wird horizontal mit einer Anfangsgeschwindigkeit von 20 m/s abgefeuert. Die Waffe befindet sich 5 Meter über dem Boden. Bestimmen Sie:

(a) Zeit in der Luft

b) die maximale Höhe

c) der horizontale Abstand

d) die Geschwindigkeit des Geschosses beim Aufprall auf den Boden

Lösung:

Die Bewegung in horizontaler Richtung wird wie die gleichförmige lineare Bewegung analysiert, während die Bewegung in vertikaler Richtung wie der freie Fall analysiert wird.

Bekannt:

v _{_ox} = 20 m/s, v_{_oy} = 0 m/s, h = 5 m, g = 9.8 m/ ^s²

a) Zeit in der Luft

Die Lösung besteht darin, das Zeitintervall (t) in der freien Fallbewegung zu bestimmen.

Bekannt: v _{_oy} = 0 m/s, h = 5 m, g = 9.8 m/ ^s²

Gesucht: t

b) Die maximale Höhe

Maximale Höhe = h = 5 Meter.

c) Horizontaler Abstand (d)

Die Lösung ähnelt der Bestimmung der zurückgelegten Strecke bei einer gleichförmigen linearen Bewegung.

Bekannt: v _{_ox} = 20 m/s, t = 1 Sekunde

Gesucht: d

d = vt

d = (20 m/s)(1 s) = 20 m

d) Geschwindigkeit beim Aufprall der Kugel auf den Boden

v _tx = v _ox = 20 m/s

v _ty = ?

Zuerst berechnen wir die Endgeschwindigkeit in vertikaler Richtung (vty). Die Lösung entspricht der Bestimmung der Endgeschwindigkeit im freien Fall.

Bekannt: v _{_oy} = 0, g = 9.8 m/s² ^, t = 1 s

Gesucht: v _ty

v _t = v _o + gt —> vo = 0

v _t = gt

v _t = (9.8 m/s ² )(1 s)

v _t = 9.8 m/s

Die Geschwindigkeit einer Kugel beim Aufprall auf den Boden:

Richtung des Geschosses:

Da v _tx in Richtung der positiven x-Achse (nach rechts) und v _ty in Richtung der negativen y-Achse (nach unten) zeigt,

Die Richtung der Kugel beim Aufprall auf den Boden beträgt -26.1 ^° zur positiven x-Achse (siehe Abbildung unten).

2. Die Kanone feuerte ein Geschoss unter einem Winkel von 30 ^° zur Horizontalen mit einer Geschwindigkeit von 60 m/s ab. Bestimmen Sie:

(a) die maximale Höhe

b) die Geschwindigkeit des Geschosses bei maximaler Höhe

(c) Zeit in der Luft

d) die horizontale Entfernung

(e) die Geschwindigkeit der Kugel beim Aufprall auf den Boden. Angenommen, der Boden ist eben. 🙂

Lösung:

Die Bewegung in horizontaler Richtung wird wie eine gleichförmige lineare Bewegung analysiert, die Bewegung in vertikaler Richtung wird wie eine vertikale Aufwärtsbewegung analysiert.

Bekannt: v _o = 60 m/s, theta = 30 ^o.

Ausgehend von bekannten Daten berechnen wir zunächst die vertikale (v _oy ) und horizontale (v _ox ) Komponente der Anfangsgeschwindigkeit (v _o ).

a) Die maximale Höhe (h)

Die Lösung ist vergleichbar mit der Bestimmung der maximalen Höhe bei der vertikalen Aufwärtsbewegung.

Bekannt:

v _ox = v _o cos θ = (60)(cos 30) = (60)(0.87) = 52 m/s

v _oy = v _o sin θ = (60)(sin 30) = (60)(0.5) = 30 m/s

a) Maximale Höhe (h)

Die Lösung ist vergleichbar mit der Bestimmung der maximalen Höhe bei der vertikalen Aufwärtsbewegung.

Bekannt:

v _oy = 30 m/s (Dies ist die Anfangsgeschwindigkeit des Geschosses)

v _ty = 0 m/s (Am höchsten Punkt beträgt die vertikale Geschwindigkeit der Kugel 0 m/s. Dies ist die Endgeschwindigkeit.)

g = – 9.8 m/ ^s²

Gesucht: h

v _t ² = v _o ² + 2 gh

0 ² = 30 ² + 2 (-9.8) h

0 = 900 – 19.6 h

900 = 19.6 h

h = 900 / 19.6

h = 45.9 Meter

Die maximale Höhe, die das Geschoss erreichte, betrug 45.9 Meter.

b) Die Geschwindigkeit bei maximaler Höhe

Im maximalen Höhenbereich beträgt die Geschwindigkeit in vertikaler Richtung 0 m/s. Dort existiert nur noch eine Geschwindigkeit in horizontaler Richtung. Diese horizontale Geschwindigkeit entspricht der Anfangsgeschwindigkeit in horizontaler Richtung, also 52.2 m/s. Die Richtung der horizontalen Geschwindigkeit ist stets konstant, d. h. sie verläuft entlang der positiven x-Achse (wenn die Bewegung des Objekts im obigen Diagramm dargestellt ist).

c) Zeit in der Luft

Die Lösung ist vergleichbar mit der Bestimmung des Zeitintervalls (t) in der Diskussion über die vertikale Aufwärtsbewegung.

Bekannt:

v _oy = 30 m/s (Dies ist die Anfangsgeschwindigkeit des Geschosses in vertikaler Richtung)

g = – 9.8 m/ ^s²

h = 0 m (wenn die Kugel zum Boden zurückkehrt, ist die Verschiebung der Kugel in vertikaler Richtung = 0 m)

Gesucht: t

h = v _o t + ½ gt ²

0 = (30) t + ½ (-9.8 m/s ² ) t ²

0 = (30) t – 4.9 t ²

(30) t = 4.9 t ²

30 = 4.9 t

t = 30 / 4.9

t = 6.12 Sekunden

Zeit in der Luft = 6.12 Sekunden

d) Horizontaler Abstand (d)

Die Lösung ist vergleichbar mit der Bestimmung der Strecke (d) bei einer gleichförmigen linearen Bewegung.

Bekannt:

v _{_ox} = 52.2 m/s

t = 6.12 Sekunden

Gesucht: d

d = vt = (52.2 m/s)(6.12 Sekunden) = 319.5 m

e) Geschwindigkeit beim Aufprall der Kugel auf den Boden

v _tx = v _ox = 52.2 m/s

v _ty = ?

Zunächst berechnen wir die Endgeschwindigkeit in vertikaler Richtung (v _{_ty} ). Die Lösung besteht darin, die Endgeschwindigkeit der vertikalen Aufwärtsbewegung zu bestimmen.

Gesucht: v _{_oy} = 30 m/s, g = -9.8 m/s² ^, t = 6.12 Sekunden

Gesucht: v _ty

v _ty = v _oy + gt

v _ty = (30) + (-9.8)(6.12)

v _ty = (30) – (60)

v _ty = -30 m/s

Ein negatives Vorzeichen bedeutet, dass die Endgeschwindigkeit nach unten gerichtet ist. Beachten Sie, dass die Anfangsgeschwindigkeit in vertikaler Richtung gleich der Endgeschwindigkeit in vertikaler Richtung ist.

Die Geschwindigkeit der Kugel beim Aufprall auf den Boden:

Die Richtung des Geschosses:

Da v _tx in Richtung der positiven x-Achse (nach rechts) und vty in Richtung der negativen y-Achse (nach unten) zeigt,

Die Richtung der Geschwindigkeit des Geschosses beim Aufprall auf den Boden beträgt -30 ^° um die positive x-Achse (siehe Abbildung unten).

3. Ein Ball wird von der Kante eines 50 Meter hohen Gebäudes mit einer Anfangsgeschwindigkeit von 10 m/s geworfen. Wenn der Ball in einem Winkel von 30° zur Horizontalen geworfen wird, bestimmen Sie:

(a) das Zeitintervall, in dem der Ball den Boden erreicht.

b) die Geschwindigkeit des Balls beim Aufprall auf den Boden

c) Die horizontale Entfernung, die der Ball erreichen kann, wird von der Kante des Gebäudes aus gemessen.

d) die maximale Höhe, die der Ball erreicht

Lösung:

Zuerst berechnen wir die vertikale Komponente (v _oy ) und die horizontale Komponente (v _ox ) der Anfangsgeschwindigkeit (v _o ).

v _{_ox} = v _{_o} cos 30 ^° = (10 m/s)(0.87) = 8.7 m/s

v _oy = v _o sin 30 ^o = (10 m/s)(0.5) = 5 m/s

a) Zeitintervall, bis der Ball den Boden erreicht

Die Lösung ähnelt der Bestimmung des Zeitintervalls (t) einer vertikalen Aufwärtsbewegung. Der Betrag des nach oben gerichteten Vektors wird als positiv, der Betrag des nach unten gerichteten Vektors als negativ gewählt. Die Position des Balls beim Abwurf dient als Referenzpunkt. h ist negativ, da die Bodenoberfläche unterhalb des Referenzpunkts liegt; g ist negativ, da die Erdbeschleunigung nach unten gerichtet ist.

Bekannt:

v _oy = 5 m/s, h = – 5 m, g = – 9.8 m/ ^s²

Gesucht: t

h = v _o t + ½ gt ²

-5 = 5 t + ½ (-9.8) t ²

-5 = 5 t – 4.9 t ²

-4.9t² + ^5t + 5 = 0

Verwenden Sie die quadratische Formel:

Flugzeit = Zeitintervall vom Abwurf bis zum Aufprall auf dem Boden = 1.64 Sekunden.

b) Geschwindigkeit des Balls beim Auftreffen auf die Bodenoberfläche

v _tx = v _ox = v _x = 8.7 m/s

v _ty = ?

Zuerst berechnen wir die Endgeschwindigkeit in vertikaler Richtung (v _{_ty} ). Die Lösung entspricht der Bestimmung der Endgeschwindigkeit bei der vertikalen Aufwärtsbewegung.

Bekannt: v _{_oy} = 5 m/s, g = -9.8 m/s² ^, t = 1.64 Sekunden

Gesucht: v _ty

v _ty = v _oy + gt

v _ty = 5 + (-9.8)(1.64)

v _ty = 5 – 16

v _ty = -11 m/s

Das negative Vorzeichen bedeutet, dass die Richtung der Endgeschwindigkeit nach unten zeigt.

Die Geschwindigkeit der Kugel beim Aufprall auf den Boden:

Die Richtung der Geschwindigkeit des Geschosses entspricht der Richtung seiner Bewegung beim Aufprall auf den Boden:

Die Geschwindigkeit der Kugel beim Aufprall auf den Boden:

Da vtx in Richtung der positiven x-Achse (nach rechts) und vty in Richtung der negativen y-Achse (nach unten) verläuft,

Die Richtung der Kugel beim Aufprall auf den Boden beträgt -52° um die positive x-Achse (siehe Abbildung unten).

c) Die horizontale Entfernung, die der Ball erreichen kann, wird von der Kante des Gebäudes aus gemessen.

Die Lösung ist vergleichbar mit der Bestimmung der zurückgelegten Strecke (d) bei einer gleichförmigen linearen Bewegung.

Bekannt: t = 1.64 Sekunden, v _x = 8.7 m/s

Gesucht: d

d = vt = (8.7 m/s)(1.64 s) = 14.3 m

d) Die maximale Höhe, die der Ball erreicht.

Bekannt: v _oy = 5 m/s, v _ty = 0 m/s ( vertikale Geschwindigkeitskomponente am höchsten Punkt = 0 m/s), g = -9.8 m/ ^s².

Gesucht: h

v _ty ² = v _oy ² + 2 gh

0 m/s = (5 m/s) ^² + 2(-9.8 m/s² ⁾ (h)

0 m/s = 25 (m/s) ² + (-19.6 m/s ² )(h)

25 (m/s) ^² = -19.6 m/s² (h)

h = 25 (m/s) ^² : -19.6 m/s² ⁼ 1.3 Meter

Die maximale Höhe, die der Ball erreicht, beträgt 1.3 Meter über dem Dach des Gebäudes = 1.3 m + 50 m = 51.3 Meter über der Erdoberfläche.