Kinetische Gastheorie und erster Hauptsatz der Thermodynamik – Aufgaben und Lösungen

Kinetische Gastheorie und erster Hauptsatz der Thermodynamik – Aufgaben und Lösungen

1. Ideale Gase befinden sich in einem Behälter mit einem Volumen von 4 Litern und einem Druck von 3 atm (1 atm = 10⁵ ^Nm² ) . Die idealen Gase werden bei konstantem Druck von 27 ^° C auf 87 ^° C erwärmt. Die Wärmekapazität des Gases beträgt 9 J/ ^K . Wie groß ist das Endvolumen der Gase und wie groß ist die Änderung ihrer inneren Energie^?

Lösung

Isobarer Prozess (konstanter Druck)

Bekannt:

Das Anfangsvolumen des Gases (V ₁ ) = 4 Liter

Die Anfangstemperatur des Gases (T₁ ₎ beträgt 27 ^° C + 273 = 300 K.

Die Endtemperatur des Gases (T₂ ₎ beträgt 87 ^° C + 273 = 360 K.

^{Der Druck des Gases (} P) = 3 atm = 3 x ^10⁵ Nm⁻²

Die Wärmekapazität des Gases (C) = 9 JK ^-1

Gesucht: Das Endvolumen des Gases (V ₂ ) und die Änderung der inneren Energie des Gases (ΔU)

Lösung:

Bestimmen Sie das Endvolumen mithilfe der Gleichung des Gesetzes von Charles (isobarer Prozess oder konstanter Druck):

Die Volumenänderung:

1 Liter = 0.001 ^m³

Anfangsvolumen (V ₁ ) = 4 (0.001 m ³ ) = 0.004 m ³

Endvolumen (V ₂ ) = 4.8 (0.001 m ³ ) = 0.0048 m ³

Die Volumenänderung (ΔV) = V ₂ – V ₁ = 0.0048 m ³ – 0.004 m ³ = 0.008 m ³.

Die Temperaturänderung:

Die Temperaturänderung (ΔT) = T₂ _– T₁ ₌ 360 K – 300 K = 60 K

Bestimmen Sie die Änderung der inneren Energie (ΔU) des idealen Gases mithilfe der Gleichung des ersten Hauptsatzes der Thermodynamik.

ΔU = Q – W

ΔU = Änderung der inneren Energie, Q = Wärme, W = Arbeit

Bestimmen Sie die Arbeit (W) bei konstantem Druck:

W = P ΔV = (3 x 10 ⁵ )(0.0008) = (3 x 10 ¹ )(8) = (30)(8) = 240 Joule

Bestimmen Sie die Wärmemenge (Q) mithilfe der Gleichung für die Wärmekapazität (C):

C = Q / ΔT

Q = (C)(ΔT) = (9)(60) = 540 Joule

Bestimmen Sie die Änderung der inneren Energie:

ΔU = Q – W = 540 Joule – 240 Joule = 300 Joule.

2. In einem Behälter befinden sich 6 Liter eines idealen Gases bei 2 atm (1 atm = 10⁵ ^Nm³ ) ^. Das Gas wird bei konstantem Druck von 27 ^° C auf 77 ^° C erwärmt. Die Wärmekapazität des Gases beträgt 5 J/ ^K . Wie groß sind das Endvolumen und die Änderung der inneren Energie des Gases?

Lösung:

Isobarer Prozess (konstanter Druck)

Bekannt:

Das Anfangsvolumen der idealen Gase (V₁ ₎ beträgt 6 Liter.

Die Anfangstemperatur der idealen Gase (T₁ ₎ beträgt 27 ^° C + 273 = 300 K.

Die Endtemperatur der idealen Gase (T₂ ₎ = 77 ^° C + 273 = 350 K

Der Druck des idealen Gases (P) = 2 atm = 2 ^{x 10⁵} Nm⁻²

Die Wärmekapazität von Gasen (C) = 5 JK ^-1

Gesucht: Das Endvolumen des Gases (V ₂ ) und die Änderung der inneren Energie des Gases (ΔU)

Lösung:

Bestimmen Sie das Endvolumen des Gases mithilfe der Gleichung des Gesetzes von Charles (isobarer Prozess oder konstanter Druck):

Die Volumenänderung:

1 Liter = 0.001 ^m³

Das Anfangsvolumen (V ₁ ) = 6 (0.001 m ³ ) = 0.006 m ³

Das Endvolumen (V ₂ ) = 7 (0.001 m ³ ) = 0.007 m ³

Die Volumenänderung (ΔV) = V₂ _– V₁ ₌ 0.007 m³ ^– 0.006 m³ ⁼ 0.001 ^m³

Die Temperaturänderung:

Die Temperaturänderung (ΔT) = T₂ _– T₁ ₌ 350 K – 300 K = 50 K

Bestimmen Sie die Änderung der inneren Energie (ΔU) der idealen Gase mithilfe der Gleichung des ersten Hauptsatzes der Thermodynamik.

ΔU = Q – W

ΔU = Änderung der inneren Energie, Q = Wärme, W = Arbeit

Bestimmen Sie die Arbeit (W) bei konstantem Druck:

W = P ΔV = (2 x 10 ⁵ )(0.001) = (2 x 10 ² )(1) = (200)(1) = 200 Joule

Bestimmen Sie die Wärmemenge (Q) mithilfe der Gleichung für die Wärmekapazität (C):

C = Q / ΔT

Q = (C)(ΔT) = (5)(50) = 250 Joule

Bestimmen Sie die Änderung der inneren Energie:

ΔU = Q – W = 250 Joule – 200 Joule = 50 Joule.

1. Was sind die Hauptannahmen der kinetischen Gastheorie?
   • Antworten: Die kinetische Gastheorie geht von folgenden Annahmen aus: (a) Gase bestehen aus einer großen Anzahl winziger Teilchen, die sich in ständiger, ungeordneter Bewegung befinden; (b) diese Teilchen sind im Verhältnis zu ihrer Größe weit voneinander entfernt; (c) Stöße zwischen Gasteilchen oder zwischen einem Teilchen und den Wänden seines Behälters sind elastisch (d. h. es geht keine kinetische Energie verloren); (d) es gibt keine intermolekularen Kräfte zwischen den Gasteilchen; und (e) die durchschnittliche kinetische Energie der Gasteilchen ist direkt proportional zur absoluten Temperatur des Gases.
2. Wie hängt die durchschnittliche kinetische Energie von Gasteilchen mit der Temperatur des Gases zusammen?
   • Antworten: Die mittlere kinetische Energie von Gasteilchen ist direkt proportional zur absoluten Temperatur (in Kelvin) des Gases. Mit steigender Temperatur nimmt auch die mittlere kinetische Energie der Teilchen zu.
3. Welche Bedeutung hat der absolute Nullpunkt für die Molekularbewegung?
   • Antworten: Der absolute Nullpunkt (0 Kelvin) ist theoretisch die Temperatur, bei der jegliche Molekularbewegung aufhört. Er stellt die niedrigste mögliche Temperatur dar, bei der nichts kälter sein kann und keine Wärmeenergie mehr in einem Stoff vorhanden ist.
4. Wie lautet der erste Hauptsatz der Thermodynamik in Bezug auf innere Energie, Wärme und Arbeit?
   • Antworten: Der erste Hauptsatz der Thermodynamik besagt, dass die Änderung der inneren Energie eines Systems gleich der dem System zugeführten Wärme abzüglich der vom System an seiner Umgebung verrichteten Arbeit ist: ΔU = Q – W.
5. Was geschieht bei einem isochoren Prozess mit der Arbeit, die vom oder am System verrichtet wird?
   • Antworten: Bei einem isochoren Prozess bleibt das Volumen konstant. Daher wird keine Arbeit vom oder am System verrichtet, da die Arbeit in solchen Fällen durch die Druck-Volumen-Arbeit gegeben ist, die null wäre, wenn sich das Volumen nicht ändert.
6. Was bedeutet es, wenn wir sagen, dass ein Gas „ideal“ ist?
   • Antworten: Ein „ideales“ Gas ist ein Gas, das unter allen Temperatur- und Druckbedingungen dem idealen Gasgesetz (PV = nRT) folgt. Das bedeutet auch, dass es die Postulate der kinetischen Gastheorie perfekt erfüllt, ohne intermolekulare Kräfte und mit vollkommen elastischen Stößen.
7. Inwiefern weichen reale Gase vom Verhalten idealer Gase ab?
   • Antworten: Reale Gase weichen bei hohen Drücken und niedrigen Temperaturen vom idealen Verhalten ab. Dies ist auf intermolekulare Kräfte und die endliche Größe der Gasteilchen zurückzuführen. Die Abweichungen werden durch die Van-der-Waals-Gleichung und ähnliche Gleichungen beschrieben.

8. Warum kann der erste Hauptsatz der Thermodynamik als Erhaltungssatz betrachtet werden?

   • Antworten: Der erste Hauptsatz der Thermodynamik kann als Erhaltungssatz betrachtet werden, da er besagt, dass Energie weder erzeugt noch vernichtet, sondern nur von einer Form in eine andere umgewandelt werden kann. Dies spiegelt das Prinzip der Energieerhaltung wider.