1. Hookesches Gesetz für Federn
Wird die Feder nach rechts gezogen, dehnt sie sich und verlängert sich (Abbildung 1). Bei geringer Zugkraft ist die Längenzunahme (Δx) proportional zur Zugkraft (F). Das heißt, je größer die Zugkraft, desto größer die Länge der Feder. Die Zugkraft (F) und die Längenzunahme (Δx) sind konstant.
Die Feder wird nach rechts gezogen, wodurch sich ihre Länge um Δx vergrößert. Die Längenzunahme der Feder ist proportional zur Zugkraft.
Stellen Sie den Zusammenhang zwischen der Kraft (F) und der Zunahme der Federlänge (Δx) grafisch dar, wobei F proportional zu Δx ist. Der Vergleich von F mit Δx ist konstant.
Das Verhältnis der Kraft (F) zur Zunahme der Federlänge (Δx) wird durch die gleiche Steigung im Diagramm angegeben (Abbildung 2).
F / Δ x = k
F = k Δ x
k ist die Federkonstante bzw. der Elastizitätskoeffizient einer Feder. Dieser Zusammenhang wurde erstmals 1678 von Robert Hooke (1635–1703) beobachtet und ist daher als Hookesches Gesetz bekannt.
Wird die Elastizitätsgrenze einer Feder überschritten, kehrt sie nach dem Wegfall der Kraft nicht in ihre ursprüngliche Länge zurück. Das Hookesche Gesetz gilt nur für die Elastizitätsgrenze. Diese ist die maximale Kraft, die auf die Feder wirken kann, bevor sie sich dauerhaft verformt und ihre ursprüngliche Länge nicht mehr erreicht. Wird die Kraft weiter erhöht, wird die Feder beschädigt.
2. Hookesches Gesetz für nicht-federnde Systeme
Das Hookesche Gesetz gilt für alle festen Körper. Wirkt eine äußere Kraft auf einen festen Körper, so ändert sich seine Form. Diese Formänderungen werden mithilfe der Konzepte von Spannung und Dehnung beschrieben. Spannung beschreibt die Kraft, die eine Formänderung des Körpers verursacht. Dehnung beschreibt die Formänderung aufgrund von Spannung. Bei minimaler Spannung und Dehnung ist die Spannung proportional zur Dehnung. Das Verhältnis von Spannung zu Dehnung ist konstant; diese Konstante wird als Elastizitätsmodul bezeichnet.
Spannung / Dehnung = Elastizitätsmodul
Diese Beziehung wird auch Hookesches Gesetz genannt. Es besagt, dass Spannung und Dehnung proportional sind und das Verhältnis von Spannung zu Dehnung konstant ist. Übersteigt die auf einen Körper wirkende Kraft seine Elastizität, ist das Hookesche Gesetz nicht mehr anwendbar. Es gilt nur innerhalb der Grenzen der Elastizität.
Es gibt drei Arten von Elastizitätsmodulen: den Young-Modul, den Schermodul und den Kompressionsmodul.
2.1 Elastizitätsmodul
Wenn an beiden Enden eines Kabels, Drahtes oder Seils mit gleicher Stärke, aber entgegengesetzter Richtung gezogen wird, befindet sich das Kabel, der Draht oder das Seil unter Spannung. Beispiele aus dem Alltag hierfür sind die Seile von Kletterern, die Tragseile von Aufzügen, Gepäckleinen oder Container an Be- und Entladeanlagen von Schiffen usw. Spannkabel, -drähte oder -seile erfahren aufgrund der Zugspannung eine Dehnung. Die Zugspannung ist definiert als das Verhältnis der Zugfestigkeit (F) zur Querschnittsfläche (A) eines Objekts. Die Dehnung ist definiert als das Verhältnis der Längenzunahme (Δl) zur ursprünglichen Länge (l₀). Der Elastizitätsmodul (Young-Modul) ist das Verhältnis von Zugspannung zu Dehnung.
Zugspannung / Zugdehnung = Elastizitätsmodul
F/A : Δl/lo = Y
Bei geringer Zugbelastung kehrt der Gegenstand nach dem Wegfall der Kraft in seine ursprüngliche Länge zurück. Übersteigt die Zugbelastung die Elastizität des Gegenstands, kehrt er nach dem Wegfall der Kraft nicht in seine ursprüngliche Länge zurück. Steigt die Zugbelastung weiter an, bricht der Gegenstand.
2.2 Schubmodul
Legen Sie ein dickes Buch auf die Tischplatte. Legen Sie Ihre Hand auf die Buchoberfläche und schieben Sie diese nach vorn. Der Druck wirkt auf die Oberseite des Buches und ist parallel zur Buchoberfläche nach vorn gerichtet. Die Unterseite des Buches wird durch Haftreibung entgegen der Druckrichtung in Ruhe gehalten. Ursprünglich war das Buch quadratisch oder rechteckig; nach dem Schieben hat es die Form eines Parallelogramms angenommen. Diese Formänderung des Buches ist ein Beispiel für Scherverformung infolge von Scherkräften.
Der Scherdruck ist definiert als das Verhältnis der Kraft (F) zur verschobenen Fläche (A). Die Scherverformung ist definiert als das Verhältnis von Δx zur Höhe des Objekts (h). Das Verhältnis von Scherdruck zu Scherverformung wird als Schermodul bezeichnet.
Scherdruck/Scherverformung = Schermodul
F/A : Δx/h = Schubmodul
2.3 Kompressionsmodul
In einem Dokumentarfilm über den Zweiten Weltkrieg sind Kriegsszenen auf See mit U-Booten zu sehen. Um sich vor feindlichen U-Booten zu verstecken, taucht ein U-Boot der Marine einer Nation immer tiefer und erreicht fast den Meeresgrund. Überraschenderweise reißt die Wand des U-Boots, sodass Meerwasser eindringen kann. Der Riss entsteht durch den Druck des Meerwassers, der auf die Oberfläche des U-Boots wirkt. Der Meerwasserdruck ist proportional zur Wassertiefe. Je tiefer das U-Boot taucht, desto größer ist der Wasserdruck. Ist die Wandkonstruktion des U-Boots nicht stabil genug, reißt sie.
Die Geschichte eines U-Boots, das durch den Druck des Meerwassers auf seine gesamte Oberfläche Risse bekam, ist ein Beispiel für einen Körper, der aufgrund des Volumendrucks eine Volumenverformung erfährt. Der Volumendruck ist definiert als das Verhältnis der auf die gesamte Oberfläche des Körpers wirkenden Gesamtkraft (F) zur Oberfläche (A) des Körpers. Die Volumenverformung ist definiert als das Verhältnis der Volumenreduktion (-ΔV) zum ursprünglichen Volumen (V₀) eines Körpers. Das Verhältnis von Druck zu Volumenverformung wird als Kompressionsmodul bezeichnet.
Volumendruck / Volumendehnung = Kompressionsmodul
– ΔF/A : ΔV/V o = Kompressionsmodul
Feste und flüssige Objekte besitzen einen Kompressionsmodul, aber nur feste Objekte besitzen einen Elastizitätsmodul und einen Schermodul.
