10. Dynamik: Objekt, das über eine Schnur und eine Rolle verbunden ist (Atwoodsche Maschine) – Probleme und Lösungen
1. Block A mit einer Masse von 5 kg liegt auf einer reibungsfreien, horizontalen Ebene. Block B mit einer Masse von 3 kg hängt an einem Ende eines Seils, das über eine Rolle mit Block A verbunden ist. Die Erdbeschleunigung beträgt 10 m/s² . Wie groß ist die Beschleunigung beider Blöcke?
Bekannt:
Masse des Blocks A (mA) = 5 kg
Masse des Blocks B (m B ) = 3 kg
Erdbeschleunigung (g) = 10 m/ s²
Gewicht des Blocks B (w B ) = m B g = (3)(10) = 30 Newton
Gewünscht: Beschleunigung beider Blöcke (a)
Lösung:
Die horizontale Ebene ist glatt, daher wirkt keine Reibungskraft. Die Kraft, die beide Blöcke beschleunigt, ist das Gewicht des Blocks B.
ΣF = ma
w B = (m A + m B ) a
30 = (5 + 3) a
30 = 8 a
a = 30 / 8
a = 3.75 m/ s²
2.
Basierend auf der obigen Abbildung, 
(1) Beschleunigung des Objekts = 0
(2) Der Gegenstand bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit
(3) Objekt in Ruhe
(4) Der Gegenstand bewegt sich, wenn das Gewicht des Gegenstands kleiner ist als die Kraft, die den Gegenstand zieht.
Lösung:
(1) Die Beschleunigung des Objekts ist gleich null.
Nettokraft:
∑ F = ma –> Beschleunigung (a) = 0
∑ F = 0
F₁ + F₂ – F₃ = 12 + 24 – 36 = 36 – 36 = 0 N
(2) Der Gegenstand bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit
Keine Beschleunigung bedeutet, dass sich das Objekt in Ruhe befindet oder sich mit konstanter Geschwindigkeit bewegt.
(3) Objekt in Ruhe
Keine resultierende Kraft bedeutet, dass sich das Objekt in Ruhe befindet.
(4) Der Gegenstand bewegt sich, wenn das Gewicht des Gegenstands kleiner ist als die Kraft, die den Gegenstand zieht.
Die Gewichtskraft wirkt in vertikaler Richtung, die Zugkraft hingegen in horizontaler Richtung.
Das Objekt bewegt sich in horizontaler Richtung, daher wirken nur horizontale Kräfte auf das Objekt.
3. Wenn der Gleitreibungskoeffizient zwischen dem Block A und der Tischoberfläche 0.1 beträgt und die Erdbeschleunigung 10 m/s² ist, wie groß ist dann die Kraft, die auf den Block A wirkt, sodass sich das System mit 2 m/s² nach links bewegt?
Bekannt:
Masse des Blocks A (mA) = 30 kg
Gewicht des Blocks A (w A ) = (30 kg)(10 m/s 2 ) = 300 kg m/s 2 oder 300 Newton
Masse des Blocks B (m B ) = 20 kg
Gewicht des Blocks B (w B ) = (20 kg)(10 m/s 2 ) = 200 kg m/s 2 oder 200 Newton
Erdbeschleunigung (g) = 10 m/ s²
Gleitreibungskoeffizient ( μk ) = 0.1
Beschleunigung des Systems (a) = 2 m/s² ( nach links)
Gleitreibungskraft (f k ) = μ k N = μ k w A = (0.1)(300) = 30 Newton
Gesucht: Die Größe der Kraft F
Lösung:
Newtons zweites Gesetz:
ΣF = ma
Objekt A bewegt sich nach links:
F – f k – w B = (m A + m B ) a
F – 30 – 200 = (30 + 20)(2)
F – 230 = (50)(2)
F – 230 = 100
F = 230 + 100
F = 330 Newton
4. Zwei Objekte, A = 2 kg und B = 6 kg, sind an einem Ende eines Seils über eine Rolle befestigt (siehe Abbildung unten). Wenn die Erdbeschleunigung 10 m/ s² beträgt , wie groß ist dann die Beschleunigung des Objekts B?
Bekannt:
Masse des Objekts A (mA) = 2 kg, mB = 6 kg, g = 10 m/s2
Gewicht des Objekts A (w A ) = (m A )(g) = (2)(10) = 20 N
Gewicht des Objekts B (w<sub> B</sub> ) = (m<sub> B</sub> )(g) = (6)(10) = 60 N
Gesucht: Beschleunigung des Objekts b (Systembeschleunigung).
Lösung:
w <sub>B </sub> > w<sub> A</sub> , sodass sich Objekt B nach unten und Objekt A nach oben bewegt.
ΣF = ma
w B – w A = (m A + m B ) a
60 – 20 = (2 + 6) a
40 = (8) a
a = 5 m/ s²
5. Zwei Objekte sind, wie in der Abbildung unten dargestellt, durch eine Schnur über eine reibungslose Rolle verbunden. Wenn m₁ = 1 kg, m₂ = 2 kg und die Erdbeschleunigung 10 m/ s² beträgt , wie groß ist dann die Seilkraft T?
Bekannt:
Masse des Objekts 1 (m1) = 1 kg
Masse des Objekts 2 (m 2 ) = 2 kg
Erdbeschleunigung (g) = 10 m/ s²
Gewicht des Objekts 1 (w 1 ) = m 1 g = (1 kg)(10 m/s 2 ) = 10 kg m/s 2 oder 10 Newton
Gewicht des Objekts 2 (w 2 ) = m 2 g = (2 kg)(10 m/s 2 ) = 20 kg m/s 2 oder 20 Newton
Gesucht: Die Zugkraft (T)?
Lösung:
w 2 > w 1 also bewegt sich m 2 nach unten , m 1 bewegt sich nach oben.
Das zweite Newtonsche Bewegungsgesetz :
ΣF = ma
w 2 – w 1 = (m 1 + m 2 ) a
20 – 10 = (1 + 2 ) a
10 = (3) a
a = 3.3 m/ s²
Die Beschleunigung des Systems beträgt 3.3 m/ s².
m 2 bewegt sich nach unten:
w² – T² = m² a
20 – T 2 = (2)(3.33)
20 – T 2 = 6.66
T 2 = 20 – 6.66
T 2 = 13.3 Newton
m 1 bewegt sich nach oben :
T 1 – w 1 = m 1 a
T 1 – 10 = (1)(3.3)
T 1 – 10 = 3.33
T 1 = 10 + 3.33
T 1 = 13.3 Newton
Die Zugkraft (T) beträgt 13.3 Newton.
6. Masse m₁ = 6 kg und Masse m₂ = 4 kg. Die horizontale Oberfläche ist reibungsfrei. Die Erdbeschleunigung beträgt 10 m/s² . Wie groß ist die Beschleunigung des Systems?
Bekannt:
Masse von m1 = 6 kg
Masse von m 2 = 4 kg
Erdbeschleunigung (g) = 10 m/ s²
Gewicht von w 1 = m 1 g = (6 kg)(10 m/s 2 ) = 60 kg m/s 2 oder 60 Newton
Gewicht von w² = m²g = (4 kg)(10 m/s² ) = 40 kg m/s² oder 40 Newton
Gesucht: Beschleunigung des Systems (a)
Lösung:
m 1 auf einer glatten horizontalen Ebene ohne Reibung, sodass das System durch das Gewicht des Blocks 2 beschleunigt wird.
Wende das zweite Newtonsche Gesetz an:
∑ F = ma
w 2 = (m 1 + m 2 ) a
40 N = (6 kg + 4 kg) a
40 N = (10 kg) a
a = 40 N / 10 kg
a = 4 m/ s²
7. Zwei Blöcke mit jeweils 2 kg Masse sind durch eine Schnur über eine Rolle verbunden (siehe Abbildung unten). Die horizontale Ebene und die Rolle sind reibungsfrei. Block B wird mit einer horizontalen Kraft von 40 Newton gezogen. Wie groß ist seine Beschleunigung? Die Erdbeschleunigung beträgt 10 m/ s².
Bekannt:
Masse von Block A (mA) = Masse des Blocks B (mB) = 2 kg
Erdbeschleunigung (g) = 10 m/ s²
Kraft F = 40 N
Gewicht des Objekts A (w A ) = mg = (2)(10) = 20 N
Gesucht: Beschleunigung des Systems (a) ?
Lösung:
Wende das zweite Newtonsche Gesetz an:
∑ F = ma
F – w A = (m A + m B ) a
40 – 20 = (2 + 2) a
20 = (4) a
a = 20 / 4
a = 5 m/ s²
8. Block A hat eine Masse von 2 kg und Block B eine Masse von 1 kg. Block B befindet sich anfangs in Ruhe und wird dann nach unten beschleunigt, bis er auf den Boden aufschlägt. Die Erdbeschleunigung beträgt 10 m/s² . Wie groß ist die Seilkraft?
Bekannt:
Masse des Blocks A (mA) = 2 kg
Masse des Blocks B (m B ) = 1 kg
Erdbeschleunigung (g) = 10 m/ s²
Gewicht des Blocks B (w B ) = m B g = (1)(10) = 10 Newton
Gesucht: Die Größe der Zugkraft (T)
Lösung:
Die Reibungskraft wird vernachlässigt.
Beschleunigung des Systems (a)
∑ F = ma
w B = (m A + m B ) a
10 = (2 + 1) a
10 = 3 a
a = 10/3
Die Zugkraft (T)
Die Zugkraft auf Block A:
∑ F = ma
T = m A a = (2)(10/3) = 20/3 = 6.7 Newton
Die Zugkraft auf Block B:
∑ F = ma
w B – T = m B a
10 – T = (1)(10/3)
10 – T = 3.3
T = 10 – 3.3 = 6.7 Newton
Die Zugkraft (T) = 6.7 Newton
9. Block A hat eine Masse von 2 kg und Block B eine Masse von 1 kg. Die Reibungskraft zwischen Block A und der horizontalen Ebene beträgt 2.5 Newton. Die Reibung an Rolle und Seil wird vernachlässigt. Wie groß ist die Beschleunigung beider Blöcke?
Bekannt:
Masse des Blocks A (mA) = 2 kg
Masse des Blocks B (m B ) = 1 kg
Reibungskraft zwischen Schloss a und der horizontalen Ebene (f kA ) = 2.5 Newton
Erdbeschleunigung (g) = 10 m/ s²
Gewicht des Blocks (w B ) = m B g = (1)(10) = 10 Newton
Gesucht: Beschleunigung beider Blöcke (a)
Lösung:
Wende das zweite Newtonsche Gesetz an:
∑ F = ma
w B – f k = (m A + m B ) a
10 – 2.5 = (2 + 1) a
7.5 = 3 a
a = 7.5 / 3
a = 2.5 m/ s²
10. Ein Block A mit einer Masse von 30 kg ruht auf einer horizontalen Ebene und ist über eine Rolle mit einem Block B mit einer Masse von 10 kg verbunden. Wie groß ist die Beschleunigung des Systems? Die Erdbeschleunigung beträgt 10 m/ s².
Bekannt:
Masse des Blocks A (mA) = 30 kg
Masse des Blocks B (m B ) = 10 kg
Erdbeschleunigung (g) = 10 m/ s²
Gewicht des Blocks B (w B ) = m B g = (10)(10) = 100 Newton
Gesucht: Beschleunigung des Systems (a)
Lösung:
∑ F = ma
w B = (m A + m B ) a
100 = (30 + 10) a
100 = 40 a
a = 100 / 40
a = 2.5 m/ s²
