Artikel über die Anwendung des ersten Hauptsatzes der Thermodynamik auf verschiedene thermodynamische Prozesse
Wir haben bereits den ersten Hauptsatz der Thermodynamik besprochen und die von einem System verrichtete Arbeit analysiert . Diesmal betrachten wir einige Anwendungen des ersten Hauptsatzes der Thermodynamik in vier thermodynamischen Prozessen. Diese vier Prozesse sind isotherm, isochor, isobar und adiabatisch. Die Begriffe stammen aus dem Griechischen.
Isothermer Prozess (konstante Temperatur)
Zunächst betrachten wir die Anwendung des ersten Hauptsatzes der Thermodynamik auf einen isothermen Prozess. Bei einem isothermen Prozess bleibt die Temperatur des Systems konstant. Das System, das wir theoretisch analysieren, ist ein ideales Gas. Die Temperatur eines idealen Gases ist direkt proportional zu seiner inneren Energie (U = 3/2 nRT). Da T konstant bleibt, bleibt auch U konstant. Daher lautet die Gleichung des ersten Hauptsatzes der Thermodynamik, angewendet auf einen isothermen Prozess:
Aus diesen Ergebnissen kann geschlossen werden, dass bei einem isothermen Prozess (konstanter Temperatur) die dem System zugeführte Wärme (Q) vom System zur Verrichtung von Arbeit (W) genutzt wird.
Die Änderungen des Systemdrucks und des Systemvolumens in einem isothermen Prozess sind in der folgenden Grafik dargestellt:
Anfangs beträgt das Systemvolumen V.1 (kleines Volumen) und Systemdruck = P1 (Hoher Druck). Um die Systemtemperatur konstant zu halten, dehnt sich das System nach der Wärmezufuhr aus und verrichtet Arbeit an der Umgebung. Dabei ändert sich das Volumen des Systems auf V.2 (Das Systemvolumen erhöht sich) und der Systemdruck ändert sich auf P2 (Der Systemdruck sinkt). Der Graph ist gekrümmt, da sich der Systemdruck während des Prozesses nicht regelmäßig ändert. Die vom System verrichtete Arbeit entspricht der schattierten Fläche.
Adiabatischer Prozess
Bei einem adiabatischen Prozess wird dem System keine Wärme zugeführt oder abgegeben (Q = 0). Adiabatische Prozesse können in geschlossenen, gut isolierten Systemen ablaufen. In einem gut isolierten, geschlossenen System fließt üblicherweise keine Wärme nach Belieben in das System hinein oder aus ihm heraus. Adiabatische Prozesse können aber auch in geschlossenen, nicht isolierten Systemen stattfinden.
In diesem Fall muss der Prozess sehr schnell ablaufen, damit keine Wärme in das System hinein- oder aus ihm herausfließen kann. Angewendet auf einen adiabatischen Prozess, ändert sich die Gleichung des ersten Hauptsatzes der Thermodynamik in folgende Form:
Wird das System schnell komprimiert (Arbeit wird am System verrichtet), ist die Arbeit negativ. Da W negativ ist, ist U positiv (die Energie im System nimmt zu). Umgekehrt gilt: Expandiert das System schnell (es verrichtet Arbeit), ist W positiv. Da W positiv ist, ist U negativ (die Energie im System nimmt ab). Die Energie im System (ideales Gas) ist direkt proportional zur Temperatur (U = 3/2 nRT). Steigt die Energie im System, steigt auch die Temperatur. Umgekehrt sinkt die Temperatur, wenn die Energie im System abnimmt.
Die Änderungen des Systemdrucks und des Systemvolumens in einem adiabatischen Prozess sind in der folgenden Grafik dargestellt:
Wird das System schnell komprimiert (Arbeit wird am System verrichtet), ist die Arbeit negativ. Da W negativ ist, ist U positiv (die Energie im System nimmt zu). Umgekehrt gilt: Expandiert das System schnell (es verrichtet Arbeit), ist W positiv. Da W positiv ist, ist U negativ (die Energie im System nimmt ab). Die Energie im System (ideales Gas) ist direkt proportional zur Temperatur (U = 3/2 nRT). Steigt die Energie im System, steigt auch die Temperatur. Umgekehrt sinkt die Temperatur, wenn die Energie im System abnimmt.
Die Änderungen des Systemdrucks und des Systemvolumens in einem adiabatischen Prozess sind in der folgenden Grafik dargestellt:
Die adiabatische Kurve in diesem Diagramm (Kurven 1–2) verläuft steiler als die isotherme Kurve (Kurven 1–3). Dieser Unterschied in der Steilheit zeigt an, dass bei gleicher Volumenzunahme der Systemdruck im adiabatischen Prozess stärker abnimmt als im isothermen Prozess. Der stärkere Druckabfall im adiabatischen Prozess ist darauf zurückzuführen, dass bei der adiabatischen Expansion auch die Systemtemperatur sinkt. Da Temperatur und Druck direkt proportional zueinander sind, sinkt der Systemdruck mit der Systemtemperatur. Im Gegensatz dazu bleibt die Systemtemperatur in einem isothermen Prozess konstant. Daher hat die Temperatur im isothermen Prozess keinen Einfluss auf den Druckabfall.
Ein Beispiel für einen Prozess, der sich einer adiabatischen Kompression annähert, findet sich in Verbrennungsmotoren wie Diesel- und Benzinmotoren. In einem Dieselmotor wird Luft in einen Zylinder gesaugt und mithilfe eines Kolbens rasch verdichtet (dabei wird Arbeit an der Luft verrichtet). Der adiabatische Kompressionsprozess (Volumenverringerung) ist in Kurve 2-1 dargestellt. Da die Luft rasch adiabatisch komprimiert wird, steigt ihre Temperatur schnell an. Gleichzeitig wird Dieselkraftstoff über eine Einspritzdüse in den Zylinder eingespritzt, und das Gemisch entzündet sich sofort (Verbrennung). In einem Benzinmotor wird das Luft-Benzin-Gemisch ebenfalls in den Zylinder gesaugt und mithilfe eines Kolbens rasch verdichtet. Da die Kompression rasch adiabatisch erfolgt, steigt auch hier die Temperatur des Gemisches schnell an. Gleichzeitig erzeugt die Zündkerze einen Zündfunken, der die Verbrennung auslöst.
isochorer Prozess (konstantes Volumen)
Bei einem isochoren Prozess bleibt das Volumen des Systems konstant. Da das Volumen des Systems konstant bleibt, kann das System keine Arbeit an der Umgebung verrichten. Ebenso kann die Umgebung keine Arbeit am System verrichten. Angewendet auf einen isochoren Prozess lautet die Gleichung des ersten Hauptsatzes der Thermodynamik:
Aus diesen Ergebnissen können wir schließen, dass bei einem isochoren Prozess (konstantes Volumen) die dem System zugeführte Wärme (Q) dazu genutzt wird, die innere Energie des Systems zu erhöhen.
Die Änderungen des Systemdrucks und des Systemvolumens in einem isochoren Prozess sind in der folgenden Grafik dargestellt:
Anfangs herrscht im System der Druck p₁ ( niedriger Druck). Durch die Wärmezufuhr erhöht sich die innere Energie des Systems. Da die innere Energie zunimmt, steigt auch die Temperatur des Systems (ideales Gas) (U = 3/2 nRT). Die Temperatur ist direkt proportional zum Druck. Steigt also die Systemtemperatur, steigt auch der Systemdruck (p₂ ) . Da das Systemvolumen konstant bleibt, wird keine Arbeit verrichtet (keine schattierte Fläche).
Wie bereits erwähnt, kann in einem isochoren Prozess das System keine Arbeit an der Umgebung verrichten. Ebenso kann die Umgebung keine Arbeit am System verrichten. Dies liegt daran, dass in einem isochoren Prozess das Volumen des Systems konstant bleibt, sich also nicht ändert. Bestimmte Arten von Arbeit sind jedoch nicht mit Volumenänderungen verbunden. Daher kann auch bei konstantem Systemvolumen Arbeit am System verrichtet werden. Beispielsweise befinden sich ein Ventilator und eine Batterie in einem geschlossenen Behälter. Der Ventilator kann sich mithilfe der von der Batterie gelieferten Energie drehen. In diesem Fall bilden Ventilator, Batterie und die Luft im Behälter ein System.
Wenn sich der Ventilator dreht, verrichtet er Arbeit an der Luft im Behälter. Gleichzeitig wird die kinetische Energie des Ventilators in Energie der Luft umgewandelt. Die elektrische Energie in der Batterie verringert sich naturgemäß, da sie in Luftenergie umgewandelt wurde. Dieses Beispiel zeigt, dass auch in einem isochoren Prozess (konstantes Volumen) Arbeit am System verrichtet werden kann (Arbeit, die keine Volumenänderung beinhaltet).
Isobarer Prozess (konstanter Druck)
In einem isobaren Prozess wird der Systemdruck konstant gehalten. Da der Druck konstant ist, sind die Änderungen der inneren Energie (ΔU), der Wärme (Q) und der Arbeit (W) in einem isobaren Prozess niemals null. Somit bleibt der erste Hauptsatz der Thermodynamik gültig.
ΔU = Q − W
Die Änderungen des Gasdrucks und des Gasvolumens im isobaren Prozess sind in der folgenden Grafik dargestellt:
Anfangs beträgt das Systemvolumen V1 ( kleines Volumen). Da der Druck konstant gehalten wird, dehnt sich das System nach Wärmezufuhr aus und verrichtet Arbeit an der Umgebung. Nach der Verrichtung dieser Arbeit ändert sich das Systemvolumen auf V2 (es vergrößert sich). Die vom System verrichtete Arbeit (W) entspricht der schattierten Fläche.
Beispielfrage 1:
Die Kurven 1 und 2 in den beiden untenstehenden Diagrammen zeigen die adiabatische und isotherme Gasexpansion (Volumenzunahme). Bei welchem Prozess ist die vom Gas verrichtete Arbeit geringer?
Die vom Gas in einem adiabatischen Prozess verrichtete Arbeit ist geringer als die vom Gas in einem isothermen Prozess verrichtete Arbeit. Die schattierte Fläche entspricht der vom Gas während der Expansion (Volumenzunahme) verrichteten Arbeit. Die schattierte Fläche in einem adiabatischen Prozess ist kleiner als die schattierte Fläche in einem isothermen Prozess.
Beispielfrage 2:
Im folgenden Diagramm sind thermodynamische Prozesse dargestellt. Kurven a-b und d-c = isochore Prozesse (konstantes Volumen). Kurven b-c und a-d = isobare Prozesse (konstanter Druck). Im Prozess a-b werden dem System 600 Joule Wärme (Q) zugeführt. Im Prozess b-c werden dem System 800 Joule Wärme (Q) zugeführt. Bestimmen Sie:
a) Änderungen der inneren Energie in den Prozessen a-b
b) Änderungen der inneren Energie im a-b-c-Prozess
c) Insgesamt zugeführte Wärme im a-d-c-Prozess
P 1 = 2 x 10 5 Pa = 2 x 10 5 N/m 2
P 2 = 4 x 10 5 Pa = 4 x 10 5 N/m 2
V₁ = 2 Liter = 2 dm³ = 2 × 10⁻³ m³
V² = 4 Liter = 2 dm³ = 4 × 10⁻³ m³
Diskussion
a) Änderungen der inneren Energie in den Prozessen a-b
Im a-b-Prozess werden dem System 600 J Wärme zugeführt. Der a-b-Prozess ist ein isochorer Prozess (konstantes Volumen). Bei einem isochoren Prozess erhöht die Wärmezufuhr lediglich die innere Energie des Systems. Die Änderung der inneren Energie des Systems nach der Wärmezufuhr beträgt somit:
ΔU = Q
ΔU = 600 J
b) Änderungen der inneren Energie im a-b-c-Prozess
Prozess a-b = isochorer Prozess (konstantes Volumen). Im Prozess a-b werden 600 J Wärme zugeführt.
Da das Volumen konstant ist, wird vom System keine Arbeit verrichtet.
Prozess b‐c = isobarer Prozess (konstanter Druck). Im Prozess b‐c werden dem System 800 Joule Wärme (Q) zugeführt. In einem isobaren Prozess kann das System Arbeit verrichten. Die vom System im Prozess b‐c (isobarer Prozess) verrichtete Arbeit beträgt:
W = P (V₂ ‒ V₁ ) ‐‐‐ konstanter Druck
W = P 2 (V 2 ‒ V 1 )
W = 4 x 10 5 N/m 2 (4 x 10 ‐3 m 3 ‐ 2 x 10 ‐3 m 3 )
W = 4 x 10 5 N/m 2 (2 x 10 ‐3 m 3 )
W = 8 x 10² Joule
W = 800 Joule
Die dem System im a‐b‐c‐Prozess zugeführte Gesamtwärme beträgt:
Gesamt-Q = Q ab + Q bc
Q gesamt = 600 J + 800 J
Q gesamt = 1400 Joule
Die vom System im a-b-c-Prozess insgesamt geleistete Arbeit beträgt:
Gesamtgewicht = W ab + W bc
W gesamt = 0 + W bc
Gesamt-W = 0 + 800 Joule
Gesamt-W = 800 Joule
Die Energieänderung im System im a-b-c-Prozess beträgt:
ΔU = Q − W
ΔU = 1400 J − 800 J
ΔU = 600 J
Änderung der inneren Energie im Prozess a-b-c = 600 J
c) Insgesamt zugeführte Wärme im a-d-c-Prozess
Die dem System insgesamt zugeführte Wärmemenge kann mithilfe der folgenden Gleichung ermittelt werden:
ΔU = Q − W
Q = ΔU + W
Die gesamte zugeführte Wärme im a-d-c-Prozess entspricht der Änderung der inneren Energie im a-d-c-Prozess plus der gesamten im a-d-c-Prozess verrichteten Arbeit.
Wärme und Arbeit spielen beim Energieaustausch zwischen dem System und seiner Umgebung eine Rolle, während Änderungen der inneren Energie aus diesem Energieaustausch resultieren. Daher sind Änderungen der inneren Energie unabhängig vom Energieaustauschprozess. Wärme und Arbeit hingegen hängen stark vom Prozess ab. Bei einem isochoren Prozess (konstantes Volumen) erfolgt der Energieaustausch ausschließlich in Form von Wärme, nicht aber von Arbeit. Bei einem isobaren Prozess (konstanter Druck) umfasst der Energieaustausch sowohl Wärme als auch Arbeit. Obwohl Änderungen der inneren Energie prozessunabhängig sind, hängen sie vom Anfangs- und Endzustand des Systems ab. Sind Anfangs- und Endzustand gleich, ist auch die Änderung der inneren Energie stets gleich, selbst wenn die beteiligten Prozesse unterschiedlich sind.
Der Anfangs- und Endzustand des a-b-c-Prozesses im obigen Diagramm entsprechen dem Anfangs- und Endzustand des a-d-c-Prozesses. Daher beträgt die Änderung der inneren Energie im a-d-c-Prozess 600 J.
Die gesamte im a-d-c-Prozess geleistete Arbeit (W) entspricht der Summe der im a-d-Prozess geleisteten Arbeit und der im d-c-Prozess geleisteten Arbeit.
Der a-d-Prozess ist ein isobarer Prozess (konstanter Druck), der d-c-Prozess hingegen ein isochorer Prozess (konstantes Volumen). Da das Volumen konstant ist, wird im d-c-Prozess keine Arbeit verrichtet. Zunächst berechnen wir die im a-d-Prozess verrichtete Arbeit.
W ad = P (V 2 ‒ V 1 )
W ad = P 1 (V 2 ‒ V 1 )
W ad = 2 x 10 5 N/m 2 (4 x 10 ‐3 m 3 ‐ 2 x 10 ‐3 m 3 )
W ad = 2 x 10 5 N/m 2 (2 x 10 ‐3 m 3 )
W ad = 4 x 10 2 Joule
W ad = 400 Joule
Gesamt-W = W im Prozess a‐d + W im Prozess d‐c
Gesamt-W = 400 Joule + 0
Gesamt-W = 400 Joule
Die dem a-d-c-Prozess zugeführte Wärmemenge beträgt somit:
Q = ΔU + W
Q = 600 J + 400 J
Q = 1000 J
Beispielfrage 3:
1 Liter Wasser verdampft bei einem Druck von 1 atm und wird dabei zu 1671 Litern Wasserdampf erhitzt. Bestimmen Sie die Änderung der inneren Energie und die vom Wasser beim Verdampfen verrichtete Arbeit… (Verdampfungswärme von Wasser = L V = 22,6 × 10⁵ J /kg)
Diskussion
Dichte von Wasser = 1000 kg/ m³
L V = 22,6 x 10 5 J/Kg
P = 1 atm = 1,013 × 10⁵ Pa = 1,013 × 10⁵ N/ m²
V 1 = 1 Liter = 1 dm 3 = 1 x 10 ‐3 m 3 (Volumen von Wasser)
V 2 = 1671 Liter = 1671 dm 3 = 1671 x 10 ‐3 m 3 (Dampfvolumen)
a) Änderungen der inneren Energie
Änderung der inneren Energie = Zugeführte Wärmemenge des Wassers – Arbeit, die das Wasser beim Verdampfen verrichtet. Zuerst berechnen wir die dem Wasser zugeführte Wärmemenge (Q)...
Q = mL V
Masse (m) des Wassers?
Dichte von Wasser = Masse des Wassers / Volumen des Wassers
Masse des Wassers (m) = (Dichte des Wassers)(Volumen des Wassers)
Masse des Wassers (m) = (1000 kg/m 3 )(1 x 10 ‐3 m 3 )
Masse des Wassers (m) = (1000 kg/m 3 )(0,001 m 3 )
Masse des Wassers (m) = 1 kg
Q = (1 kg)(22,6 x 10 5 J/kg)
Q = 22,6 x 10 5 J
Berechnen Sie die Arbeit (W), die das Wasser beim Verdampfen verrichtet. Wasser siedet bei konstantem Druck (isobarer Prozess).
W = p (V 2 – V 1 )
W = 1,013 x 10⁵ N /m² ( 1671 x 10⁻³ m³ – 1 x 10⁻³ m³ )
W = 1,013 x 10⁵ N / m² ( 1670 x 10⁻³ m³ )
W = 1691,71 x 10² Joule
W = 1,7 x 10⁵ Joule
Energieumwandlungen im Wasser:
ΔU = Q − W
ΔU = 22,6 x 10 5 J − 1,7 x 10 5 J
ΔU = 20,9 x 10⁵ J
ΔU = 21 x 10 5 J
Die dem Wasser zugeführten 21 × 10⁵ J Wärme werden genutzt, um dessen innere Energie zu erhöhen (und damit die Anziehungskräfte zwischen den Molekülen zu überwinden, die das Wasser flüssig halten). Anders ausgedrückt: 21 × 10⁵ J werden benötigt, um das Wasser in Dampf umzuwandeln. Sobald das Wasser verdampft ist, werden die verbleibenden 1,7 × 10⁵ J für weitere Arbeit verwendet.
Beispielfrage 4:
Ein Mol Gas in einem Zylinder expandiert schnell und adiabatisch. Die Anfangstemperatur des Gases beträgt 1000 K. Nach der Expansion sinkt die Temperatur des Gases auf 500 K. Bestimmen Sie die vom Gas verrichtete Arbeit.
Die Gasexpansion erfolgt adiabatisch. Bei einem adiabatischen Prozess wird dem System keine Wärme zugeführt oder entzogen. Daher entspricht die vom Gas verrichtete Arbeit der Änderung seiner inneren Energie. Mathematisch lässt sich dies wie folgt ausdrücken:
ΔU = Q − W oder W = Q − ΔU → Q = 0
W = 0 − ΔU
W = − ΔU
Wir können die Änderung der inneren Energie eines Gases mithilfe der idealen Gasgleichung für die innere Energie berechnen:
ΔU = U Ende – U Anfang
ΔU = 3/2 nR (Endtemperatur – Anfangstemperatur)
ΔU = 3/2 (1 mol)(8,315 J/mol.K)(500 K – 1000 K)
ΔU = 3/2 (1 mol)(8,315 J/mol.K)(‐500 K)
ΔU = ‐6236,25 J
Die vom Gas verrichtete Arbeit beträgt somit:
W = − ΔU
W = − ( − 6236 , 25 J )
W = 6236 , 25 J
