Beispielaufgaben zum Drehimpuls

7 Beispiele für Drehimpulsprobleme

Drehimpuls

1. Ein Objekt hat Trägheitsmoment 2 kg m² und dreht sich um eine feste Achse mit Winkelgeschwindigkeit 1 rad/s. Wie viel? Drehimpuls dieses Objekt?
Diskussion
Es ist bekannt, dass:
Trägheitsmoment (I) = 2 kg m²
Winkelgeschwindigkeit (ω) = 1 rad/s
Gefragt: Drehimpuls (L)
Antwort:
Formel für den Drehimpuls:
L = I ω
Beschreibung: L = Drehimpuls (kg m)²/s), I = Trägheitsmoment (kg m²), ω = Winkelgeschwindigkeit (rad/s)
Drehimpuls:
L = I ω = (2)(1) = 2 kg m²/s

2. Eine massive Scheibenrolle hat eine Masse von 2 kg und einen Radius von 0,1 Metern. Wenn sich die Rolle mit einer konstanten Winkelgeschwindigkeit von 2 rad/s um ihre Achse dreht, wie groß ist dann ihr Drehimpuls?
Diskussion
Es ist bekannt, dass:
Masse der massiven Scheibenrolle (m) = 2 Kilogramm
Radius der Vollscheibenrolle (r) = 0,1 Meter
Winkelgeschwindigkeit (ω) = 2 Radiant/Sekunde
Gefragt: Drehimpuls der Rolle
Antwort:
Die Formel für das Trägheitsmoment einer massiven Scheibe, die sich um eine Achse dreht, wie in der Abbildung gezeigt:
I = 1/2 mr²
Beschreibung: I = Trägheitsmoment (kg m)²), m = Masse (kg), r = Radius (Meter)
Trägheitsmoment einer Vollscheibe:
I = 1/2 (2)(0,1)² = (1)(0,01) = 0,01 kg m²

Drehimpuls:
L = I ω = (0,01)(2) = 0,02 kg m²/s

3. Eine massive Kugel mit einer Masse von 2 kg und einem Radius von 0,2 m rotiert um ihre Achse mit einer Winkelgeschwindigkeit von 4 rad/s. Bestimmen Sie den Drehimpuls der massiven Kugel!
Diskussion
Es ist bekannt, dass:
Masse einer massiven Kugel (m) = 2 Kilogramm
Radius einer Vollkugel (r) = 0,2 Meter
Winkelgeschwindigkeit (ω) = 4 Radiant/Sekunde
Gefragt: Drehimpuls einer Vollkugel
Antwort:
Die Formel für das Trägheitsmoment einer Vollkugel, die sich um eine Achse dreht, wie in der Abbildung gezeigt:
I = (2/5) Herr²
Beschreibung: I = Trägheitsmoment (kg m)²), m = Masse (kg), r = Radius (Meter)
Trägheitsmoment einer Vollkugel:
I = (2/5)(2)(0,2)² = (4/5)(0,04) = 0,032 kg m²

Drehimpuls einer Vollkugel:
L = I ω = (0,032)(4) = 0,128 kg m²/s

4. Ein Objekt mit einer Masse von 1 kg bewegt sich mit einer konstanten Winkelgeschwindigkeit von 2 rad/s auf einer Kreisbahn. Bestimmen Sie den Drehimpuls, wenn der Radius der Bahn des Teilchens 10 cm beträgt.
Diskussion
Es ist bekannt, dass:
Masse des Objekts (m) = 1 Kilogramm
Radius einer Vollkugel (r) = 10 cm = 10/100 = 0,1 Meter
Winkelgeschwindigkeit (ω) = 2 Radiant/Sekunde
Gefragt: Drehimpuls
Antwort:
Die Formel für das Trägheitsmoment eines Teilchens:
Ich = Herr² = (1)(0,1)² = (1)(0,01) = 0,01 kg m²

Drehimpuls:
L = I ω = (0,01)(2) = 0,02 kg m²/s

Gesetz der Drehimpulserhaltung

5. Eine homogene, massive Zylinderscheibe rotiert anfänglich mit einer Winkelgeschwindigkeit von 5 rad/s um ihre Achse. Die Ebene der Scheibe ist parallel zur Horizontalen. Die Masse und der Radius der Scheibe betragen 2 kg bzw. 0,2 m. Wird ein Ring mit einer Masse von 0,1 kg und einem Radius von 0,2 m auf die Scheibe gelegt, wobei der Mittelpunkt des Rings direkt über dem Mittelpunkt der Scheibe liegt, rotieren Scheibe und Ring gemeinsam mit einer Winkelgeschwindigkeit von …
Diskussion
Es ist bekannt, dass:
Masse des Vollzylinders (m₁) = 2 Kilogramm
Radius eines Vollzylinders (r₁) = 0,2 Meter
Winkelgeschwindigkeit eines Vollzylinders (ω₁) = 5 rad/s
Ringmasse (m₂) = 0,1 Kilogramm
Ringradius (r)₂) = 0,2 Meter
Gefragt: Winkelgeschwindigkeit von Zylindern und Ringen
Antwort:
Trägheitsmoment eines Vollzylinders: I = 1/2 m₁ r₁² = 1⁄2 (2)(0,2)² = (1)(0,04) = 0,04 kg m²
Trägheitsmoment des Rings: I = mr² = (0,1)(0,2)² = (0,1)(0,04) = 0,004 kg m²
Trägheitsmoment eines Vollzylinders und eines Rings (I) = 0,04 + 0,004 = 0,044 kg m²

Anfangsdrehimpuls (L₁) = Enddrehimpuls (L₂)
I₁ ω₁ = Ich₂ ω₂
(0,04)(5) = (0,044)(ω₂)
(0,2) = (0,044)(ω₂)
ω₂ = 0,2: 0,044
ω₂ = 4,5 rad / s

6. Eine Balletttänzerin dreht sich mit ausgestreckten Armen (150 cm Länge) und einer Winkelgeschwindigkeit von 10 rad/s. Anschließend beugt sie die Arme am Ellbogen auf eine Länge von 75 cm vor. Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit am Ende der Drehung?
Diskussion
Es ist bekannt, dass:
Radius 1 (r₁) = 150 cm = 1,5 Meter
Radius 2 (r₂) = 75 cm = 0,75 Meter
Winkelgeschwindigkeit 1 (ω₁) = 10 rad/s
Gefragt: Winkelgeschwindigkeit 2 (ω₂)
Antwort:
Anfangsträgheitsmoment: I₁ = Herr₁² = (m)(1,5)² = 2,25 m
Endgültiges Trägheitsmoment: I₂ = Herr₂² = (m)(0,75)² = 0,5625 m

Anfangsdrehimpuls (L₁) = Enddrehimpuls (L₂)
I₁ ω₁ = Ich₂ ω₂
(2,25 m)(10) = (0,5625 m)(ω₂)
22,5 m = (0,5625 m)(ω₂)
22,5 = (0,5625)(ω₂)
ω₂ = 22,5 / 0,5625
ω₂ = 40 rad / s

7. Eine homogene, massive zylindrische Scheibe rotiert anfänglich um ihre Achse mit einer Winkelgeschwindigkeit von 4 rad/s.^-1Die Masse und der Radius der Scheibe betragen 1 kg bzw. 0,5 m. Wird ein Ring mit einer Masse von 0,2 kg und einem Radius von 0,1 m auf die Scheibe gelegt, wobei sich der Mittelpunkt des Rings genau über dem Mittelpunkt der massiven Zylinderscheibe befindet, so rotieren die Zylinderscheibe und der Ring gemeinsam mit der Winkelgeschwindigkeit …
A. 1 rad/s
B. 2 rad/s
C. 3 rad/s
D. 4 rad/s
E. 5 rad/s

Diskussion :

Trägheitsmoment Vollzylinder: I = ½ mr² = ½ (1 kg)(0,5 m)² = (0,5)(0,25) = 0,125 kg m²
Trägheitsmoment des Rings: I = mr² = (0,2 kg)(0,1 m)² = (0,2)(0,01) = 0,002 kg m²

Anfangsdrehimpuls (L ₁ ) = Enddrehimpuls (L ₂ )

I ₁ ω ₁ = I ₂ ω ₂

(0,125 kg m ² )(4 rad/s) = (0,125 kg m ² + 0,002 kg m ² )(ω ₂ )

(0,5) = (0,127)(ω ₂ )

ω ₂ = 0,5 : 0,127

ω ₂ = 4 rad/s

Die richtige Antwort ist D.