Momen inersia

Trägheitsmomentmaterial

Es gibt zwei Objekte, eines mit kleiner und das andere mit größerer Masse. Welches Objekt lässt sich leichter bewegen, wenn man es mit der gleichen Kraft anstößt? Objekte mit kleinerer Masse lassen sich leichter bewegen als solche mit größerer Masse. Die Größe der Masse eines Objekts bestimmt also die Größe seiner Beschleunigung bei Krafteinwirkung. Wenn bei geradliniger Bewegung die Masse eines Objekts darüber entscheidet, ob es leicht oder schwer zu bewegen (beschleunigen) ist, so bestimmt bei Drehbewegung das Trägheitsmoment, ob es leicht oder schwer zu bewegen ist.

Partikel
Betrachten wir ein rotierendes Teilchen. Auf ein Teilchen der Masse m wirkt eine Kraft F, die es um die Rotationsachse O rotieren lässt. Das Teilchen befindet sich im Abstand r von der Rotationsachse. Anfangs ruht das Teilchen (v = 0). Nach der Einwirkung der Kraft F rotiert das Teilchen mit einer bestimmten Geschwindigkeit und erfährt dabei eine Tangentialbeschleunigung (a tan).
Der Zusammenhang zwischen Kraft (F), Masse (m) und Tangentialbeschleunigung (a tan) eines Teilchens wird durch die Gleichung ausgedrückt:
Das Teilchen rotiert und erfährt dabei eine Winkelbeschleunigung. Der Zusammenhang zwischen Tangentialbeschleunigung und Winkelbeschleunigung wird durch die Gleichung ausgedrückt:
Ersetzen Sie die Tangentialbeschleunigung (a tan) in Gleichung 3 durch die Tangentialbeschleunigung (a tan) in Gleichung 4.
Multipliziere die linke und rechte Seite mit r:
r F ist das Kraftmoment und mr² ist das Trägheitsmoment des Teilchens I). Gleichung 5 beschreibt den Zusammenhang zwischen dem Kraftmoment, dem Trägheitsmoment und der Winkelbeschleunigung eines rotierenden Teilchens. Gleichung 5 ist das zweite Newtonsche Gesetz für ein rotierendes Teilchen.
I ist das Produkt aus der Masse des Teilchens (m) und dem Quadrat des Abstands des Teilchens von der Drehachse (r).²).
Information :
I = Trägheitsmoment des Teilchens, m = Masse des Teilchens, r = Abstand zwischen Teilchen und Drehachse
Mit Gleichung 6 lässt sich das Trägheitsmoment eines rotierenden Partikels bestimmen.
Damit Sie die Ausführungen zum Trägheitsmoment von Partikeln besser verstehen können, bitte Studieren Sie Beispiele für Probleme mit dem Trägheitsmoment von Partikeln.

Homogener starrer Körper
Ein starrer Körper besteht aus vielen, im gesamten Körper verteilten Partikeln. Das Moment eines starren Körpers ist die Summe aller Momente der einzelnen Partikel, aus denen der starre Körper besteht.
Um das Drehmoment I eines starren Körpers zu bestimmen, betrachtet man ihn während der Rotation, da die Lage der Rotationsachse den Wert des Drehmoments beeinflusst. Neben der Lage der Rotationsachse hängt das Drehmoment I eines Teilchens auch von seiner Masse (m) und dem Quadrat seines Abstands von der Rotationsachse (r) ab.²Die Masse aller Teilchen, aus denen ein Objekt besteht, entspricht der Masse des Objekts selbst. Das Problem besteht darin, dass der Abstand jedes Teilchens von der Rotationsachse variiert.
Betrachten wir die Herleitung der Formel für einen dünnen Ring mit Radius R und Masse M. Liegt die Drehachse im Mittelpunkt des Rings, so befinden sich alle Teilchen des Rings im Abstand r von der Drehachse. Das Moment I des dünnen Rings entspricht der Summe der Momente aller Teilchen des Rings.
Jedes Teilchen, aus dem der dünne Ring besteht, befindet sich im Abstand r von der Rotationsachse, so dass r₁ = r₂ = r₃ = r = R.
Formel für einen dünnen Ring:
I = MR²
Information :
I = Trägheitsmoment des dünnen Rings, M = Masse des dünnen Rings, R = Radius des dünnen Rings
Was passiert, wenn sich die Rotationsachse nicht im Mittelpunkt des Rings befindet? Wenn sich die Rotationsachse nicht im Mittelpunkt des Rings befindet, kann die Formel für den dünnen Ring nicht mit der oben beschriebenen Methode hergeleitet werden, da der Abstand jedes Partikels von der Rotationsachse variiert.

Formel für einen homogenen starren Körper
Nachfolgend sind Formeln für verschiedene homogene starre Körper aufgeführt.

Beispiel für eine Frage

1. Fragen der nationalen SMA/MA-Prüfung 2017

Beachten Sie die folgende Tabelle!

Die Objekte P, Q und R sind durch einen masselosen Stab verbunden. Der Betrag des Trägheitsmoments des Systems bezüglich einer Achse, die senkrecht zur Ebene durch die Achse des Objekts P verläuft, beträgt…

Diskussion

Es ist bekannt:

Gefragt: Trägheitsmoment des Systems

Antwort:

Trägheitsmoment des Objekts Q:

I _Q = mr ² = (0,5)(10 ² ) = (0,5)(100) = 50 kg m ²

Trägheitsmoment des Objekts R:

I _R = mr ² = (3)(6 ² ) = (3)(36) = 108 kg m ²

Trägheitsmoment des Objekts P:

Die Rotationsachse verläuft durch die Achse des Objekts P, sodass r = 0.

Trägheitsmoment des Systems:

I = 50 kg m ² + 108 kg m ²

I = 158 kg m ²