Hookes lov og elasticitet – problemer og løsninger

Hookes lov og elasticitet – problemer og løsninger

Ændringen i længden

1. En stang har en længde på L, trukket af en kraft på F. Forlængelsen er ∆L. Hvad er kraftens størrelse, hvis længdeændringen er 4∆L?

Kendt:

Kraft 1 (F1 ₎ = F

Ændringen i længde 1 (∆L1 ₎ = ∆L

Ændringen i længde 2 (∆L ₂ ) = 4 ∆L

Ønskes: Styrke 2 (F ₂ )

opløsning:

Ligningen i Hookes lov

k = F / ΔL

k = elasticitetskonstant, F = kraften af ​​F, ΔL = længdeændringen

k1 = _k2​

F1 _/ ∆L1 = _F2 / _∆L2​

F / ΔL = F2 _/ 4ΔL

F / 1 = F ₂ / 4

F = F2 _/ 4

F2 = _4F

2. Fjedrene er serieforbundet, som vist på figuren nedenfor. Fjeder 1 har en konstant på 200 N/m, fjeder 2 har en konstant på 200 N/m, og fjeder 3 har en konstant på 200 N/m. Objektets masse er 100 gram, og acceleration på grund af tyngdekraften er 10 m/s²Hvad er ændringen i længden af og ækvivalent forår.

Kendt:

Objektets masse (m) = 100 gram = 0.1 kg

k1 = k2 ₌ k3 _{= 200} N/m

w = mg = (0.1 kg)(10 m/s² ⁾ = 1 kg m/s² ⁼ 1 Newton

Ønsket: Ændringen i længden af ​​den ækvivalente fjeder.

opløsning:

Bestem den tilsvarende fjederkonstant:

Fjeder 2 (k² ₎ og fjeder 3 (k³ ₎ er parallelforbundet. Den ækvivalente fjederkonstant:

k _p = k ₂ + k ₃ = 200 + 200 = 400 Nm ⁻¹

Fjeder 1 (k1 ₎ og fjeder p (kP ₎ er serieforbundet. Den ækvivalente fjederkonstant:

1/k _s = 1/k _p + 1/k ₁ = 1/400 + 1/200 = 1/400 + 2/400 = 3/400

ks = 400/3 ^Nm ₋₁

Den ækvivalente fjederkonstant er 400/3 Nm ^-1

Bestem ændringen i længden af ​​den ækvivalente fjeder:

Ligningen for Hookes lov:

∆x = F / k = w / k

Ændringen i længden af ​​den ækvivalente fjeder:

∆x = w / k

∆x = 1 : 400/3 = 1 x 3/400 = 3/400 = 0.0075 m = 0.75 cm

Forårets konstant

3. Hvad er fjederkonstanten ifølge dataene i tabellen nedenfor.

opløsning:

Ligningen for Hookes lov:

k = F / Δx

Forårskonstant:

k = 0.98 / 0.0008 = 1.96 / 0.0016 = 2.94 / 0.0024 = 3.92 / 0.0032 = 1.225 N/m²

4. Tre fjedre er forbundet i serie og parallel som vist i figuren nedenfor. Konstanterne for fjederen er k1 ₌ k2 ₌ 3 Nm ⁻¹ og k3 ₌ 6 Nm ⁻¹ . Hvad er konstanten for den ækvivalente fjeder?

Kendt:

Konstant for fjeder 1 (k1 ₎ = konstant for fjeder 2 (k2 ₎ = 3 Nm ⁻¹

Fjederkonstant 3 (k3 ₎ = 6 Nm ⁻¹

Ønsket: konstant for den ækvivalente fjeder (k)

opløsning:

Fjeder 1 (k1 ₎ og fjeder 2 (k2 ₎ er parallelforbundet. Konstanten for den ækvivalente fjeder:

k _p = k ₁ + k ₂ = 3 + 3 = 6 Nm ⁻¹

Fjederen p (kP ₎ og fjederen 3 (k3 ₎ er serieforbundet. Konstanten for den ækvivalente fjeder:

1/k _s = 1/k _p + 1/k ₃ = 1/6 + 1/3 = 1/6 + 2/6 = 3/6

ks = 6/2 = 3 _Nm ⁻¹

Konstanten for fjederækvivalenten = 3 Nm ⁻¹.

5. En fjeder med længden L, trukket af vægten w. Hvad er konstanten for den ækvivalente fjeder ifølge dataene i tabellen nedenfor:

opløsning:

k = F / Δx

Forårskonstant:

k = 10 / 0.02 = 20 / 0.04 = 30 / 0.06 = 40 / 0.08 = 500 N/m²

6. Hvad er konstanten for den ækvivalente fjeder ifølge dataene i tabellen nedenfor:

opløsning:

k = F / Δx = w / Δx = mg / Δx

k = elasticitetskonstant, w = vægt, m = masse, g = tyngdeacceleration, Δx = længdeændring

Fjederkonstant:

k = 2 / 0.05 = 4 / 0.1 = 6 / 0.15 = 8 / 0.20 = 10 / 0.25 = 40 N/m

7. Hvis k1 ₌ 4k, hvad er så konstanten for den ækvivalente fjeder?

opløsning:

To fjedre er parallelforbundet. Konstanten for den ækvivalente fjeder:

k _p = k + k = 2k

To fjedre er forbundet i serie. Konstanten for den ækvivalente fjeder

1/k _s = 1/k _p + 1/k ₁ = 1 / 2k + 1 / 4k = 2 / 4k + 1 / 4k = 3 / 4k

ks ₌ 4k/3

8. Hvad er konstanten for den ækvivalente fjeder ifølge dataene i tabellen nedenfor:

opløsning:

Ligningen for Hookes lov:

k = F / ΔL

Forårskonstant:

k = 2 / 0.0050 = 3 / 0.0075 = 4 / 0.01 = 400 Nm ^-1

9. Den mindste konstant er…

Løsning

Ligningen for Hookes lov:

k = F / Δx

k = elasticitetskonstant, F = kraft, Δx = længdeændringen

Elasticitetskonstant:

k _A = F / Δx = 1 / 0.05 = 20 N/m

kB = F / Δx = 2 / 0.025 = 80 N/ _m

kC = F / Δx = 1 / 0.025 = 40 N/ _m

kD = F / Δx = 2 / 0.05 = 40 N/ _m

k _E = F / Δx = 2 / 0.25 = 8 N/m

10. Hvad er den største konstant ifølge dataene i tabellen nedenfor?

opløsning:

Ligningen for Hookes lov:

k = F / Δx

k _A = 7 / 0.035 = 200 Nm ^-1

kB = 8 / 0.025 = 320 _Nm ^-1

kC = 6 / 0.020 = 300 Nm ^- ₁

kD = 9 / 0.045 = 200 _Nm ^-1

k _E = 10 / 0.033 = 303 Nm ^-1

Den største konstant er 320 Nm ^-1.

11. Grafen nedenfor viser sammenhængen mellem ændringen i kraft (ΔF) og stigningen i længde (Δx). Hvad er grafen, der viser den mindste elasticitetskonstant?

Løsning

Ligningen for Hookes lov:

k = F / Δx

Δx = længdeændringen, F = kraft, k = elasticitetskonstant

Elasticitetskonstant:

k _A = F / Δx = 1 / 8 = 0.125

k _B = F / Δx = 8 / 3 = 2.7

k _C = F / Δx = 6 / 6 = 1

kD = F / Δx = 3 / 5 = _0.6

k _E = F / Δx = 2 / 4 = 0.5

12. Hvilken graf h har de største elastiske konstanter?

opløsning:

Elasticitetskonstant :​

k _A = F / Δx = 50 / 10 = 5

k _B = F / Δx = 50 / 0.1 = 500

k _C = F / Δx = 5 / 0.1 = 50

kD = F / Δx = 500 / 0.1 = ₅₀₀₀

k _E = F / Δx = 500 / 10 = 50

Forårets potentielle energi:

13. Grafen nedenfor viser forholdet mellem kraft og ændringen i fjederlængde. Hvad er fjederens potentielle energi ifølge grafen nedenfor?

Kendt:

F = 40 N

x = 0.08 meter

Ønskes : Forårets potentielle energi

opløsning:

Forårskonstant:

k = F / Δx = 40 / 0.08 = 500 N/m

Forårets potentielle energi:

PE = 1/2 kx ² = 1/2 (500)(0.08) = (250)(0.08) = 20 Joule

14. En 2 kg tung blok er fastgjort til fjederen. Hvis forøgelsen af ​​fjederens længde er 5 cm, og tyngdeaccelerationen er 10 m/s² ^, hvad er så fjederens potentielle energi?

Kendt:

Længdeforøgelsen (Δx) = 5 cm = 0.05 meter

Tyngdeacceleration (g) = 10 m/ ^s²

Blokkens masse (m) = 2 kg

Blokkens vægt (w) = mg = (2)(10) = 20 Newton

Ønskes: forårets potentielle energi

opløsning:

Elasticitetskonstanten:

k = w / Δx = 20 / 0.05 = 400 N/m

Forårets potentielle energi:

PE = ½ k Δx ² = ½ (400)(0.05) ² = (200)(0.0025)

PE = 0.5 joule

15. Ændringen i fjederens længde er 5 cm, når den trækkes med en kraft på 20 N. Hvad er fjederens potentielle energi, når ændringen i fjederens længde er 10 cm?

Kendt:

Ændringen i længde (Δx) = 5 cm = 0.05 meter

Kraft (F) = 20 Newton

Ønskes : Forårets potentielle energi

opløsning:

Forårets konstant:

k = F / Δx = 20 / 0.05 = 400 N/m

Fjederens potentielle energi når Δx = 10 cm = 0.1 m:

PE = ½ k Δx ² = ½ (400)(0.1) ² = (200)(0.01)

PE = 2 joule

Objektets vægt

16. Fire fjedre, hvor konstanten for hver fjeder er 800 N/m, forbundet i serie-parallel, som vist på figuren. En blok er fastgjort til fjederen. Ændringen i længde af alle fjedre er 5 cm. Hvad er vægten af ​​blokkene?

Kendt:

k1 = k2 ₌ k3 ₌ k4 _{= 800} Nm ⁻¹

Δx = 5 cm = 0.05 m

Ønskes: blokvægt (w)

opløsning:

Bestem konstanten for den ækvivalente fjeder

Forår 1 (k₁), fjeder 2 (k₂) og fjeder 3 (k₃) er parallelforbundet. Konstanten for den ækvivalente fjeder:

k _p = k1 ₊ k2 ₊ k3 ₌ 800 + 800 + 800 = 2400 Nm ⁻¹

Fjederen p (kP ₎ og fjederen 4 (k4 ₎ er serieforbundet. Konstanten for den ækvivalente fjeder:

1/k _s = 1/k _p + 1/k ₄ = 1/2400 + 1/800 = 1/2400 + 3/2400 = 4/2400

ks = 2400/4 = 600 _Nm ⁻¹

Konstanten for den ækvivalente fjeder er 600 Nm ^-1

Bestem objektets vægt:

Ligningen for Hookes lov:

F = kΔx eller w = kΔx

Objektets vægt:

w = (600 Nm ^-1 )(0.05 m) = 30 Newton

17. Fire fjedre er forbundet i serie og parallel. Konstanten for hver fjeder er 1600 N/m. En blok er fastgjort for enden af ​​fjederen, som vist på figuren. Længdeforøgelsen af ​​alle fjedre er 5 cm. Hvad er vægten af ​​blokkene?

Kendt:

k1 = k2 ₌ k3 ₌ k4 _{= 1600} Nm ⁻¹

Δx = 5 cm = 0.05 m

Ønsket: vægt af blok

opløsning:

Bestem konstanten for den ækvivalente fjeder

Forår 1 (k₁), fjeder 2 (k₂) og fjeder 3 (k₃) er parallelforbundet. Konstanten for den ækvivalente fjeder:

kP = k1 ₊ k2 ₊ k3 ₌ 1600 + 1600 + 1600 = 4800 _Nm ⁻¹

Fjederen p (kP ₎ og fjederen 4 (k4 ₎ er serieforbundet. Konstanten for den ækvivalente fjeder:

1/k _s = 1/k _p + 1/k ₄ = 1/4800 + 1/1600 = 1/4800 + 3/4800 = 4/4800

ks = 4800/4 = 1200 _Nm ⁻¹

Konstanten for den ækvivalente fjeder er 1200 Nm ^-1

Bestem objektets vægt:

Ligningen for Hookes lov:

F = kΔx eller w = kΔx

Objektets vægt:

w = (1200 Nm ^-1 )(0.05 m) = 60 Newton

1. Hvad er Hookes lov?
   • Svar: Hookes lov beskriver forholdet mellem den kraft, der påføres et elastisk objekt, og den resulterende deformation (normalt forlængelse eller kompression). Den siger specifikt, at den kraft, der kræves for at komprimere eller forlænge en fjeder, er direkte proportional med den afstand, den strækkes eller komprimeres, forudsat at elasticitetsgrænsen ikke overskrides.
2. Hvad betyder det, når vi siger, at et materiale har nået sin elasticitetsgrænse?
   • Svar: Når et materiale har nået sin elasticitetsgrænse, betyder det, at det ikke længere vil vende tilbage til sin oprindelige form eller størrelse, efter at den deformerende kraft er fjernet. Efter dette punkt opfører materialet sig plastisk og kan blive permanent deformeret.
3. Hvordan hænger fjederkonstanten (k) sammen med en fjeders stivhed?
   • Svar: Fjederkonstanten (k) er et mål for en fjeders stivhed. En større værdi af k indikerer en stivere fjeder, hvilket betyder, at der kræves mere kraft for at deformere den i en given mængde, mens en mindre k indikerer en mere eftergivende eller blødere fjeder.
4. Hvad er enhederne for fjederkonstanten i SI-systemet?
   • Svar: I SI-systemet er enhederne for fjederkonstanten (k) Newton pr. meter (N/m).
5. Hvorfor betragtes den adfærd, der beskrives af Hookes lov, som lineær?
   • Svar: Opførslen betragtes som lineær, fordi forholdet mellem den påførte kraft (F) og forskydningen (x) er en ret linje, med forholdet givet som $F=kx$, hvor k er en konstant for et givet materiale eller en givet fjeder.
6. Gælder Hookes lov kun for fjedre?
   • Svar: Nej, Hookes lov gælder for ethvert elastisk materiale, der deformeres lineært med den påførte kraft, op til dets elasticitetsgrænse. Mens fjedre er et almindeligt eksempel, kan andre materialer såsom gummibånd, metaller under små deformationer og nogle biologiske væv også udvise adfærd beskrevet af Hookes lov.
7. Hvad sker der, hvis et materiale strækkes ud over sin elasticitetsgrænse, men ikke nok til at det brister?
   • Svar: Hvis et materiale strækkes ud over sin elasticitetsgrænse, men ikke til det punkt, hvor det brækker, vil det undergå plastisk deformation. Det betyder, at når kraften fjernes, vil materialet ikke vende helt tilbage til sin oprindelige form, og der vil fortsat være en vis permanent deformation.
8. Hvordan hænger begreberne stress og belastning sammen med Hookes lov?
   • Svar: Spænding er den kraft, der påføres pr. arealenhed, og tøjning er den relative deformation af et materiale. Hookes lov, hvad angår spænding og tøjning, siger, at spændingen er direkte proportional med tøjningen, hvor proportionalitetskonstanten er materialets Youngs modul. Dette er en anden måde at udtrykke det lineære forhold mellem kraft og deformation, men for bulkmaterialer snarere end blot fjedre.
9. Hvad er Youngs modul, og hvordan hænger det sammen med elasticitet?
   • Svar: Youngs modul, normalt repræsenteret af bogstavet $E$, er et mål for et materiales stivhed i form af spænding eller kompression. Det beskriver materialets evne til at modstå deformation under en påført kraft. Et højere Youngs modul indikerer et stivere materiale, og det er defineret som forholdet mellem spænding og tøjning.
10. Kan alle materialer beskrives ved hjælp af Hookes lov?

• Svar: Nej, ikke alle materialer opfører sig i henhold til Hookes lov. Mange materialer, især dem der er ikke-lineære, viskoelastiske eller plastiske, udviser ikke en lineær sammenhæng mellem spænding og tøjning. Hookes lov er en idealiseret beskrivelse og er mest præcis for små deformationer af elastiske materialer.