Fluiddynamik – problemer og løsninger

Fluiddynamik – problemer og løsninger

Torricellis sætning

1. En beholder fyldt med vand, og der er et hul , som vist på figuren nedenfor. Hvis tyngdeaccelerationen er 10 ms ^-2 , hvad er så vandets hastighed gennem hullet?

Kendt:

Højde (h) = 85 cm – 40 cm = 45 cm = 0.45 meter

Tyngdeacceleration (g) = 10 m/ ^s²

Ønsket: Vandets hastighed (v)

opløsning:

Torricellis sætning siger, at vandet forlader hullet med samme hastighed som et objekt, der falder frit fra samme højde. Højde (h) = 85 cm – 40 cm = 45 cm = 0.45 meter

Vandets hastighed beregnes ved hjælp af ligningen for frit fald :

vt² = ^2gh_​

v _t ² = 2 gh = 2(10)(0.45) = 9

vt = √9 = 3 m/ _s

2. En beholder fyldt med vand, og der er et hul, som vist på figuren nedenfor. Hvis tyngdeaccelerationen er 10 ms ^-2 , hvad er så vandets hastighed gennem hullet?

Kendt:

Højde (h) = 1.5 m – 0.25 m = 1.25 meter

Tyngdeacceleration (g) = 10 m/ ^s²

Ønsket: Vandets hastighed (v)

opløsning:

v _t ² = 2 gh = 2(10)(1.25) = 25

vt = √25 = 5 m/ _s

3. En beholder fyldt med vand, og der er et hul, som vist på figuren nedenfor. Hvis tyngdeaccelerationen er 10 ms ^-2 , hvad er så vandets hastighed gennem hullet?

Kendt:

Højde (h) = 1 m – 0.20 m = 0.8 meter

Tyngdeacceleration (g) = 10 m/ ^s²

Ønsket: Vandets hastighed (v)

opløsning:

v _t ² = 2 gh = 2(10)(0.8) = 16

vt = √16 = 4 m/ _s

4. En beholder fyldt med vand, og der er et hul, som vist på figuren nedenfor. Hvis tyngdeaccelerationen er 10 ms ^-2 , hvad er så vandets hastighed gennem hullet?

Kendt:

Højde (h) = 20 cm = 0.2 meter

Tyngdeacceleration (g) = 10 m/ ^s²

Ønsket: Vandets hastighed (v)

opløsning:

5. En beholder fyldt med vand, og der er to huller , som vist på figuren nedenfor. Hvad er forholdet mellem x ₁ og x ₂?

Løsning

Tidsinterval for vandets frie fald fra hul 1:

h = 1/2 ved ²

0.8 = 1/2 (10) ^t²

0.8 = 5 ^t²

t2 = 0.8 / 5 = ^0.16

t = 0.4 sekunder

Tidsinterval for vandets frie fald fra hul 2:

h = 1/2 ved ²

0.5 = 1/2 (10) ^t²

0.5 = 5 ^t²

t2 = 0.5 / 5 = ^0.1

t = √0.1 sekund

Den vandrette afstand (x):

x ₁ = v ₁ t ₁ = (2)(0.4) = 0.8 meter

x² = v² _t² = (√10 ₎ (√0.1) = (10)(0.1) = 1 _meter

Forholdet mellem _x₁ og _x₂ :

x _{1 :} x ₂ = 0.8 : 1 = 8 : 10 = 4 : 5

Kontinuitetsligningen

6. Vand strømmer gennem et rør med varierende diameter, A til B og derefter til C. Forholdet mellem A og C er 8:3. Hvis vandets hastighed i rør A er v, hvad er så vandets hastighed i rør C?

Kendt:

Areal af A (A_A) = 8

Areal af C (A _C ) = 3

Vandets hastighed i rør A (v _A ) = v

Ønsket: Vandets hastighed i rør C (v _C )

opløsning:

Kontinuitetsligningen:

A _A v _A = A _C v _C

8 V = 3 V _C

v _C = 8/3 v

7. Hvis vandets hastighed i et rør med en diameter på 12 cm er 10 cm/s, hvad er så vandets hastighed i et rør med en diameter på 8 cm?

Kendt:

Diameter 1 (d² ₎ = 12 cm, radius 1 ( _r² ) = 6 cm

Diameter 2 (d² ₎ = 8 cm, radius 2 ( _r² ) = 4 cm

Vandets hastighed 1 (v ₁ ) = 10 cm/s

Ønskes: Vandets hastighed 2 (v ₂ )

opløsning:

Område 1 (A ₁ ) = π r ² = π 6 ² = 36π cm ²

Område 2 (A ₂ ) = π r ² = π 4 ² = 16π cm ²

Kontinuitetsligningen:

A ₁ mod ₁ = A ₂ mod ₂

(36π)(10) = (16π) v ₂

(36)(10) = (16) mod ₂

360 = (16) mod ₂

v2 = _360/16

v² = 22.5 cm/ _s

8. Vand strømmer gennem et rør med varierende diameter, som vist på figuren nedenfor. Hvis areal 1 (A1 ₎ = 8 cm2 ^, A2 ₌ 2 cm2 ^og vandets hastighed i rør 2 = v2 ₌ 2 m/s, hvad er så vandets hastighed i rør 1 = _v1?

Kendt:

Område 1 (A₁) = 8 cm²

Areal 2 (A2 ₎ = 2 ^cm2

Vandets hastighed i rør 2 (v2 ₎ = 2 m/s

Ønskes: vandets hastighed i rør 1 (v ₁ )

opløsning:

Kontinuitetsligningen:

A ₁ mod ₁ = A ₂ mod ₂

8 mod ₁ = (2)(2)

8 mod ₁ = 4

v ₁ = 4 / 8 = 0.5 m/s

9. Hvis diameteren af ​​det større rør er 2 gange diameteren af ​​det mindre rør, hvad er så væskens hastighed ved det mindre rør?

Kendt:

Diameteren af ​​det større rør (d₁) = 2

Radius af det større rør (r1 ₎ = ½ d1 ₌ ½ (2) = 1

Arealet af det større rør ( A ₁ ) = π r ₁ ² = π (1) ² = π (1) = π

Diameteren af ​​det mindre rør (d² ₎ = 1

Radius af det mindre rør (r² ₎ = ½ d² ₌ ½ (1) = ½

Arealet af det mindre rør ( A ₂ ) = π r ₂ ² = π (1/2) ² = π (1/4) = ¼ π

Væskens hastighed ved det større rør ( _v1 ) = 4 m/s

Ønsket: Væskens hastighed ved det mindre rør ( v ₂ )

opløsning:

Kontinuitetsligningen:

A ₁ mod ₁ = A ₂ mod ₂

π₁ = ¼ π ( _v₂ )

4 = ¼ ( _v2 )

v² = 8 m/ _s

Bernoullis princip og ligninger

10. Vand pumpes med en 120 kP kompressor , der kommer ind i det nederste rør (1) og strømmer opad med en hastighed på 1 m/ s. Tyngdeaccelerationen er 10 m/ s , og vanddensiteten er 1000 kg/m ^-3 . Hvad er vandtrykket på det øvre rør (II ).

Kendt:

Radius af det nederste rør (r₁) = 12 cm

Radius af det nederste rør (r² ₎ = 6 cm

Vandtryk i det nederste rør (p1 ₎ = 120 kPa = 120,000 Pascal

Vandets hastighed i det nederste rør (v1 ₎ = 1 ms ^-1

Højden på det nederste rør (h1 ₎ = 0 m

Højden på det øvre rør (h² ₎ = 2 m

Tyngdeacceleration (g) = 10 ms ^-2

Vandets densitet = 1000 ^kg.m⁻³

Ønskes: Vandtryk i rør 2 (s. ₂ )

opløsning:

Vandets hastighed i rør 2 beregnes med kontinuitetsligningen:

Vandtrykket i rør 2 beregnes ved hjælp af Bernoulli-ligningen:

11. Et stort rør 5 meter over jorden og et lille rør 1 meter over jorden. Vandets hastighed i et stort rør er 36 km/t med et tryk på 9.1 x 10 ⁵ Pa, mens trykket i det lille rør er 2.10 ⁵ Pa. Hvad er vandets hastighed i det lille rør? Vanddensitet = 10 ³ kg/m ³

Kendt:

Vandtrykket i det store rør (p₁) = 9.1 x 10⁵ Pascal = 910,000 Pascal

Vandtryk i det lille rør (p² ₎ = 2 x ¹⁰⁵ Pascal = 200,000 Pascal

Vandhastighed i det store rør (v1 ₎ = 36 km/t = 36(1000)/(3600) = 36000/3600 = 10 m/s

Højden på det store rør (h1 ₎ = -4 meter

Højden på det lille rør (h² ₎ = 0 meter

Tyngdeacceleration (g) = 10 ms ^-2

Vandets densitet = 1000 kg/ ^m³

Ønskes: Vandets hastighed i det lille rør (v ₂ )

opløsning:

Vandets hastighed i det lille rør (v² ₎ beregnes ved hjælp af Bernoulli-ligningen:

12. Rør med en radius på 15 cm forbundet med et andet rør med en radius på 5 cm. Begge er i vandret position. Vandstrømmens hastighed i det store rør er 1 m/s ved et tryk på ¹⁰⁵ N/ m2 . Hvad er vandtrykket på det lille rør (1 g cm ^-3 )^?

Kendt:

Radius af det store rør (r1 ₎ = 15 cm = 0.15 m

Radius af det lille rør (r² ₎ = 5 cm = 0.05 m

Vandtrykket i det store rør (p1 ^{) =} ₁₀₅ Nm⁻² ⁼ 100.000 Nm⁻²

Vandets hastighed i det store rør (v1 ₎ = 1 ms ^-1

Tyngdeacceleration (g) = 10 ms ^-2

Vanddensitet = 1 gr cm⁻³ ⁼ 1000 kg ^m⁻³

Højdeforskel (Δh) = 0.

Ønskes: Tryk i det lille rør (s. ₂ )

opløsning:

Vandets hastighed i rør 2 beregnes ved hjælp af kontinuitetsligningen:

Vandtrykket i det lille rør (p² ₎ beregnes ved hjælp af Bernoulli-ligningen:

1. Hvad er fluiddynamik?
   • Svar: Væskedynamik er den gren af ​​fysikken, der studerer bevægelsen af ​​væsker (væsker og gasser) og de kræfter, der virker på dem. Den omfatter de principper og ligninger, der beskriver, hvordan væsker strømmer, interagerer med faste grænser og påvirker hinanden.
2. Hvad er forskellen mellem laminar og turbulent strømning?
   • Svar: Laminar strømning er karakteriseret ved glatte, parallelle lag af væske, der bevæger sig i ordnede baner. Turbulent strømning er derimod kaotisk med hvirvler, hvirvler og hurtige udsving. Turbulens forekommer generelt ved høje hastigheder eller i uregelmæssigt formede kanaler.
3. Hvordan er viskositetsbegrebet vigtigt i fluiddynamik?
   • Svar: Viskositet måler en væskes modstand mod forskydning eller strømning. Højviskose væsker (som honning) modstår strømning mere end lavviskose væsker (som vand). I væskedynamik spiller viskositet en afgørende rolle i bestemmelsen af ​​​​væskestrømning, energiafledning og modstandskræfter.
4. Hvad er Bernoullis princip?
   • Svar: Bernoullis princip siger, at i en jævn strømning forbliver summen af ​​trykenergi, kinetisk energi og potentiel energi pr. volumenhed konstant. Specifikt, hvor væskehastigheden er høj, er trykket lavt, og omvendt.
5. Hvordan hænger løftprincippet i aerodynamik sammen med fluiddynamik?
   • Svar: Løftet på en flyvinge kan forklares ved hjælp af Bernoullis princip og Newtons tredje lov. Når luft strømmer hen over vingen, bevæger den sig hurtigere hen over den buede øvre overflade end bunden, hvilket skaber en trykforskel. Denne trykforskel, kombineret med den nedadgående afbøjning af luft fra vingen, resulterer i en opadgående kraft eller løft.
6. Hvad er kontinuitetsligningen i fluiddynamik?
   • Svar: Kontinuitetsligningen angiver, at produktet af tværsnitsarealet (A) af en strømning og dens hastighed (v) forbliver konstant langs en strømlinjeform i en jævn strømning. Matematisk set, A₁​v_1​=A₂​v₂​Hvor A_1​ og A₂​ er tværsnitsarealer og v₁​ og v_2​ er hastighederne på to punkter langs strømlinjen.
7. Hvilken rolle spiller Reynolds-tallet i fluiddynamik?
   • Svar: Reynolds-tallet er en dimensionsløs størrelse, der hjælper med at forudsige strømningsregimet (laminar, transitionel eller turbulent) i fluiddynamik. Det er defineret som forholdet mellem inertielle kræfter og viskose kræfter og afhænger af faktorer som fluidhastighed, karakteristisk længde og fluidegenskaber.
8. Hvordan virker trækkraften på objekter, der bevæger sig i en væske?
   • Svar: Modstandskraften modvirker et objekts bevægelse gennem en væske. Den opstår på grund af væskens viskøse modstand og trykforskellene omkring objektet. Størrelsen og arten af ​​modstanden afhænger af faktorer som objektets form, ruhed, hastighed og væskens egenskaber.
9. Hvad er Venturi-effekten?
   • Svar: Venturi-effekten refererer til det fald i væsketryk, der opstår, når en væske strømmer gennem en indsnævret del af et rør. Når væskens hastighed stiger i den indsnævrede del (på grund af bevarelse af masse), falder dens tryk i henhold til Bernoullis princip.
10. Hvorfor øges hastigheden på væske, når den strømmer gennem en smal del af et rør eller en kanal?

• Svar: Denne adfærd kan forklares ved princippet om bevarelse af masse. I en jævn strømning skal den mængde væske, der kommer ind i en sektion af et rør, være lig med den mængde, der kommer ud. Hvis røret er smalt, skal væsken øge hastigheden for at tillade det samme volumen at passere igennem på en given tid.