Torricellis sætning – problemer og løsninger

Torricellis sætning – problemer og løsninger

1. Et rør med en højde på 100 cm fyldt med vand. Et hul Q er placeret 10 cm over jorden. Hvad er den vandrette afstand (x)?

Kendt:

Afstand mellem hullet og vandoverfladen (t) = 100 cm – 10 cm = 90 cm = 0.9 m

Acceleration på grund af tyngdekraften (g) = 10 m/s²

Ønskede: Afstand på x

opløsning:

Vandets strømningshastighed ved hullet

v = hastighed, g = acceleration på grund af tyngdekraften, h = afstanden mellem hullet og vandoverfladen

Vandets strømningshastighed ved hullet:

Tid i luften

Vandets bevægelse fra hullet til jorden er projektil bevægelseProjektilbevægelsen kan forstås ved at analysere de vandrette og lodrette komponenter af bevægelsen separat. X-bevægelsen sker med en konstant hastighed, og y-bevægelsen sker med en konstant tyngdeacceleration.

I dette problem, vertikal bevægelse analyseret som frit fald.

Beregn tiden i luft ved hjælp af ligningen for frit fald bevægelse.

Kendt:

Hullets højde (y) = 10 cm = 0.1 m

Tyngdeacceleration (g) = 10 m/s²

Ønskes: Tidsinterval (t)

opløsning:

y = 1/2 gt²

0.1 = 1/2 (10) tons²

0.1 = 5 t²

t² = 0.1 / 5

t² = 0.02

t = √0.02 sekunder

Den vandrette afstand (x):

Kendt:

Den oprindelige hastighed (v_o = v_ox) = 3√2 m/s

Tid i luft (t) = √0.02 sekunder

Ønskes: Den vandrette afstand (x)

opløsning:

v = x / t

x = vt = (3√2)(√0.02) = (3)(1.41)(0.14) = 0.59 = 0.6 meter

2. En tank med vand og en højde på 1 meter. Ved punkt P er der et hul. Hvad er vandets strømningshastighed ved hullet? Tyngdeaccelerationen er 10 m/s².

Kendt:

Afstand mellem hullet og vandoverfladen (t) = 100 cm – 80 cm = 20 cm = 0.2 m

Tyngdeacceleration (g) = 10 m/s²

Ønskede: Vandstrømningshastighed ved hullet (v)

opløsning:

Vandets strømningshastighed ved hullet:

3. En store-badekar indeholder vand, og der er en vandhane som vist på billedet nedenfor. Hvis g = 10 ms^-2, så er vandhastigheden ud af vandhanen…

Kendt:

Højde (h) = 85 cm – 40 cm = 45 cm = 0.45 meter

Tyngdeacceleration (g) = 10 m/s²

Ønskede: Vandets hastighed (v)

opløsning:

TOrricellis sætning siger, at vandets hastighed gennem et hul, der er langt h fra vandoverfladen, er lig med hastighed på frit faldING vand fra en højde af h.

Vandhastigheden beregnes ved hjælp af formlen for frit falda v_t² = 2 gh

v_t² = 2 gh = 2(10)(0.45) = 9

v_t = √9 = 3 m/s

4. A badekar fyldt med vand, og der er et hul på en væg (se figur nedenfor). Vandets hastighed, der kommer ud af hullet, er… (g = 10 ms^-2)

Kendt:

Højde (h) = 1.5 m – 0.25 m = 1.25 meter

Tyngdeacceleration (g) = 10 m/s²

Ønskes: Svandets hastighed (V)

opløsning:

v_t² = 2 gh = 2(10)(1.25) = 25

v_t = √25 = 5 m/s

5. En tank med vand op til 1 meters dybde (g = 10 ms^-2) og på væggen er der et lækagehul (se figur nedenfor). Vandets hastighed, der kommer ud af hullet, er...

Kendt:

Højde (h) = 1 m – 0.20 m = 0.8 meter

Tyngdeacceleration (g) = 10 m/s²

Ønskes: Svandets hastighed (V)

opløsning:

v_t² = 2 gh = 2(10)(0.8) = 16

v_t = √16 = 4 m/s

1. Hvad beskriver Torricellis sætning?
   • Svar: Torricellis sætning relaterer hastigheden af ​​væske, der strømmer ud af en åbning, til højden af ​​væskesøjlen over åbningen, under antagelse af en stabil, uviskos (ingen viskositet) og inkompressibel strømning.
2. Hvordan udtrykkes Torricellis sætning matematisk?
   • Svar: Sætningen udtrykkes som v=√2gh​Hvor $v$ er udstrømningshastigheden, $g$ er tyngdeaccelerationen, og $h$ er højden af ​​væskesøjlen over åbningen.
3. Under hvilke antagelser blev Torricellis sætning udledt?
   • Svar: Sætningen antager, at væsken er inkompressibel og ikke-viskøs, at strømmen er stabil, og at der ikke tilføres eller tages yderligere energi fra væsken.
4. Hvis en beholder har to huller i forskellige dybder, hvordan vil hastighederne af væskerne, der kommer ud af hullerne, så være i forhold til hinanden?
   • Svar: Væsken, der kommer ud af hullet tættere på bunden, vil have en højere hastighed end væsken fra det højereliggende hul. Dette skyldes, at trykket (og dermed den potentielle energi) er større på dybere dybder.
5. Hvorfor afhænger udstrømningshastigheden ikke af beholderens form eller tværsnitsareal?
   • Svar: Torricellis sætning tager kun højde for den potentielle energi, der skyldes væskesøjlens højde over åbningen. Beholderens form ændrer ikke denne højde, så udstrømningshastigheden forbliver den samme.
6. Hvordan adskiller den faktiske hastighed af væsken, der strømmer ud af en åbning, sig fra forudsigelsen lavet af Torricellis sætning i virkelige situationer?
   • Svar: I virkelige situationer kan faktorer som væskeviskositet, turbulens og åbningens form påvirke den faktiske hastighed, hvilket ofte gør den mindre end hvad Torricellis sætning forudsiger.
7. Hvad er forholdet mellem Torricellis sætning og energibevarelse?
   • Svar: Torricellis sætning er afledt af bevarelsen af ​​mekanisk energi. Den sætter lighedstegn mellem den potentielle energi ved væskens overflade og den kinetiske energi ved åbningen.
8. Hvis der er en åbning helt øverst i en væskefyldt beholder, hvordan beskriver Torricellis sætning så udstrømningshastigheden?
   • Svar: Højden $h$ over åbningen ville være nul, så ifølge Torricellis sætning ville udstrømningshastigheden være nul.
9. Hvordan påvirker tilstedeværelsen af ​​atmosfærisk tryk forudsigelserne i Torricellis sætning?
   • Svar: Torricellis sætning antager, at beholderen er åben mod atmosfæren, og at det atmosfæriske tryk derfor virker ligeligt på tværs af væskens overflade. Dette tryk udlignes, når man tager højde for trykforskellen på tværs af væskens højde, så sætningen forbliver gyldig.
10. Hvad sker der med udstrømningshastigheden, når væsken i beholderen falder?

• Svar: Efterhånden som væskeniveauet falder, øges højden $h$ over åbningen aftager. Ifølge Torricellis sætning ville udstrømningshastigheden aftage, når v=√2gh​.

Disse spørgsmål og svar udforsker grundlaget, implikationerne og anvendelserne af Torricellis sætning inden for fluiddynamik.