Artikel om kontinuitetsligningen
Prøv at åbne vandhanen langsomt, mens du er opmærksom på hastigheden af vandet, der kommer ud af vandhanens mund. Sammenlign nu, hvor vandets strømningshastighed er hurtigst, når vandhanens mund er lukket, eller ej? Hvorfor er det sådan? For at forstå dette, skal du studere kontinuitetsligningen.
Streamline
I en konstant strøm er hastigheden af hver væskepartikel i et punkt, f.eks. punkt A, altid den samme. Når de passerer punkt B, kan hastigheden af væskepartiklerne ændre sig. Men når de ankommer til punkt B, strømmer de væskepartikler, der følger bagfra, med samme hastighed som de væskepartikler, der går forud for det. Ligeledes når de ankommer til punkt C og så videre. Strømningslinjen er en kurve, der forbinder punkterne A, B og C.
Flowrør
Vi kan beskrive hver strømlinje gennem hvert punkt i væskestrømmen. Hvis vi opfatter en konstant væskestrøm, danner nogle strømlinjer, der passerer en bestemt vinkel på det imaginære overfladeareal, et strømningsrør. Ingen væskepartikler skærer hinanden, men er altid parallelle, og strømningsrøret vil ligne et rør, hvis form stadig er den samme. Væske, der kommer ind i den ene ende af røret, vil komme ud af røret i den anden ende.
[irp]
Debit
Udløbet angiver volumenet af en væske, der strømmer gennem et bestemt tværsnit i et bestemt tidsinterval. Matematisk kan det angives:
Udledning = Væskevolumen / tidsinterval
Q = V/t
For at øge din forståelse bruger vi et eksempel. For eksempel strømmer væske gennem et rør. Rør er normalt cylindriske og har et bestemt tværsnitsareal. Røret har også en længde.
Når væsken strømmer i røret så langt som L, er væskevolumenet i røret V = AL (V = væskevolumen, A = tværsnitsareal og L = rørlængde). Fordi så længe væsken strømmer i et rør langs L, har den brug for et bestemt tidsinterval, kan vi sige, at væskemængden er:
Fordi v = s / t = L / t —> L = vt, ændres ovenstående ligning til:
Når væsken strømmer gennem et rør med et bestemt tværsnitsareal og en bestemt længde i en bestemt periode, er mængden af væskeudstrømning (Q) således lig med tværsnitsarealet (A) ganget med væskens strømningshastighed (v).
Kontinuitetsligningen
Gennemgå væskestrømmen i et rør med en anden diameter, som vist på figuren nedenfor.
Dette billede viser væskestrømmen fra venstre mod højre (væske strømmer fra et rør med stor diameter til et rør med lille diameter). Den stiplede linje er strømlinet.
A1 = tværsnitsareal af rør med stor diameter, A2 = tværsnitsareal af lille diameter, v1 = væskestrømningshastighed i et rør med stor diameter, v2 = væskestrømningshastighed i et rør med lille diameter, L = væskens tilbagelagte afstand.
I en jævn strøm er hastigheden af strømmen af væskepartikler på et punkt lig med hastigheden af strømmen af andre væskepartikler, der passerer gennem dette punkt. Væskestrømmen skærer heller ikke hinanden (linjerne er parallelle). Derfor skal massen af væske, der kommer ind i den ene ende af røret, være lig med massen af væske, der kommer ud i den anden ende. Hvis væsken har en bestemt masse, der kommer til røret med en stor diameter, vil væsken komme ud på et rør med lille diameter og samme masse.
Overvej nu figuren af røret ovenfor. Gennemgå røret med stor diameter og røret med lille diameter.
I løbet af et bestemt tidsinterval strømmer nogle væsker gennem rørsektionen med stor diameter (A1 ) så langt som L1 ( L1 = v1t ) . Væskevolumenet er V1 = A1 L1 = A1v1t . I samme tidsinterval strømmer andre væsker gennem rørsektionen med lille diameter (A2 ) så langt som L2 ( L2 = v2t ) . Væskevolumenet er V2 = A2 L2 = A2v2t.
[irp]
Kontinuitetsligningen for inkompressible væsker
I inkompressible væsker er væskens densitet altid den samme på hvert punkt, den passerer. Væskemassen, der strømmer i et rør med et tværsnitsareal på A1 (stor rørdiameter) i et bestemt tidsinterval, er:
Ligeledes er massen af væske, der strømmer i et rør med et tværsnitsareal på A2 ( lille rørdiameter) i løbet af et bestemt tidsinterval:
I en jævn strøm er massen af den indkommende væske den samme som massen af den udgående væske, så:
m1 = m2
ρ A 1 v 1 t = ρ A 2 v 2 t
A 1 mod 1 = A 2 mod 2
Så ligningen for kontinuitetsligningen i inkompressible væsker:
A1 v 1 = A2 v 2 — Ligning 1
A1 = tværsnitsareal 1, A2 = tværsnitsareal 2, v1 = væskestrømningshastighed i sektion 1, v2 = væskestrømningshastighed i sektion 2, Av = volumenstrømningshastighed (V / t) = udløb.
Ligning 1 viser, at udløbet altid er det samme på hvert punkt langs røret eller strømningsrøret. Når rørets tværsnit falder, øges væskestrømningshastigheden, hvorimod når rørets tværsnit bliver stort, bliver væskestrømningshastigheden lille.
[irp]
Når en del af vandhanens mund er lukket, bliver vandstrømmen tungere end når en del af vandhanens mund ikke er lukket. Det skyldes, at vandhanens tværsnitsareal bliver lille, når en del af vandhanens mund er lukket, så vandgennemstrømningshastigheden øges. Men det er vigtigt at vide, at væskegennemstrømningshastigheden eller udstrømningen altid er den samme på hvert punkt langs vandstrømmen, uanset om en del af vandhanens mund er lukket eller ej. Så hvad ændrer væskens gennemstrømningshastighed?
Hvad så med vandgennemstrømningen i floden? Den dybe flodsektion har et større tværsnit end den lavvandede del af floden, så vandgennemstrømningshastigheden i den dybe flod er mindre end vandgennemstrømningshastigheden i den lavvandede del af floden.
Kontinuitetsligningen for kompressible væsker
For komprimeret væske er væskens densitet ikke altid den samme. Med andre ord ændrer væskens densitet sig, når den komprimeres. Hvis væsken ikke komprimeres, fjernes væskens densitet fra ligningen, så i dette tilfælde er væskens densitet inkluderet i ligningen. Med henvisning til den tidligere udledte ligning, lad os udlede ligningen for den komprimerede væske.
Massen af den væske, der kommer ind, er lig med massen af den væske, der kommer ud, så:
m1 = m2
ρ A 1 v 1 t = ρ A 2 v 2 t
Intervallet for væskestrømningen er det samme, så det kan elimineres. Ligningerne ændres til:
ρ A 1 v 1 = ρ A 2 v 2 → ligning 2
Dette er ligningen for den komprimerede væske. Forskellen ligger i væskens densitet. Hvis væsken komprimeres, ændres densiteten. Omvendt, hvis væsken ikke komprimeres, er densiteten altid den samme, så den kan fjernes fra ligningen.
Eksempel på problem 1:
Vand strømmer gennem et rør med en diameter på 10 cm med en hastighed på 2 m/s. Hvad er vandafledningen?
Kendt:
Rørdiameter = 10 cm
Rørets radius (r) = 5 cm = 0.05 m
Vandets hastighed (v) = 2 m/s
Ønskes: Debet
opløsning:
Q = A v
Q = (πr² ) (2 m/s)
Q = (3.14)(0.05 m) ² (2 m/s)
Q = (3.14)(0.0025 m² ) (2 m/s)
Q = 0.0157 m³ / s
[irp]
Eksempel på problem 2:
Et rør med en diameter på 20 cm er forbundet med et andet rør med en diameter på 10 cm. Hvis vandets hastighed i et rør med en diameter på 20 cm er 4 m/s, hvad er så vandets hastighed i et rør med en diameter på 10 cm?
Kendt:
Diameter 1 = 20 cm (r1 = 10 cm = 0.1 m)
v² = 4 m/ s
Diameter 2 = 10 cm (r2 = 5 cm = 0.05 m)
Ønskes: v 1
Svar:
Q 1 = Q 2
A 1 mod 1 = A 2 mod 2
(π r 12 ) (4 m/s) = (π r 22 ) (v 2 )
(0.1 m) ² (4 m/s) = (0.05 m) ² ( v² )
(0.01 m² ) (4 m/s) = (0.0025 m² ) ( v² )
(0.04 m³ / s) = (0.0025 m² ) ( v² )
v² = 16 m/ s
[irp]
