Krydsmultiplikationsmateriale ved hjælp af enhedsvektorkomponenter
Vi kan beregne krydsproduktet direkte, hvis vi kender vektorernes komponenter. Fremgangsmåden er den samme som for prikproduktet . Først ganger vi enhedsvektorerne i , j og k . Vektorproduktet mellem de samme enhedsvektorer er nul.
i x i = j x j = k x k = 0
Ved at henvise til den tidligere afledte vektormultiplikationsligning (A x B = AB synd θ) og den antikommutative egenskab ved vektormultiplikation (A x B = - B x A), så får vi:
i x j = -j x i = k
j x k = -k x j = i
kxi = – ixk = j
Nu udtrykker vi vektorerne A og B som deres komponenter, dekomponerer deres produkt og bruger produktet af enhedsvektorerne.
A x B= (Axi + Ayj + Azk) x (Bxi + Byj + Bzk)
A x B = Axi x Bxi + Axi x Byj + Axi x Bzk +
Ayj x Bxi + Ayj x Byj + Ayj x Bzk +
Azk x Bxi + Azk x Byj + Azk x Bzk
A x B = AxBx (i x i) + AxBy (i x j) + Ax Bz (i x k) +
AyBx (j x i) + AyBy (j x j) + AyBz (j x k) +
AzBx (k x i) + AzBy (k x j) + AzBz (k x k)
Karena i x i = j x j = k x k = 0 dan i x j = -j x i = k, j x k = -k x j = i, k x i = -i x k = j, så:
A x B = AxBx (0) + AxBy (k) + Ax Bz (-j) +
AyBx (-k) + AyBy (0) + AyBz (i) +
AzBx (j) + AzBy (-i) + AzBz (0)
A x B = AxBy (k) + Ax Bz (-j) +
Ay B x ( -k ) + Ay B z ( i ) +
AzBx ( j ) + AzBy ( -i )
A x B = AxBy (k) + Ax Bz (-j) + AyBx (-k) + AyBz (i) + AzBx (j) + AzBy (-i)
A x B = (AyBz - AzBy)i + (AzBx - Ax Bz)j + (AxBy - AyBx )k
Hvis C = A x B , så er komponenterne i C som følger:
Cx = Ay Bz – Az By
Cy = AzBx – AxBz
Cz = A x B y – A y B x
