Dot-produkt

Vektorer er ikke almindelige tal, så almindelig multiplikation kan ikke anvendes direkte på dem. Vi skal bruge vektormultiplikation. Der er to typer vektormultiplikation: prikmultiplikation og krydsmultiplikation. Prikmultiplikation kaldes også skalar multiplikation, fordi den producerer en skalar størrelse. Krydsmultiplikation kaldes også vektormultiplikation, fordi den producerer en vektorstørrelse. For eksempel er der to vektorer, nemlig A dan BSkalar multiplikation af vektorer A dan B angivet med AB KDa arenaen bruger punktnotation, kaldes denne multiplikation punktproduktVektormultiplikation af A dan B angivet med A x BFordi den bruger notation x, så kaldes denne multiplikation krydsmultiplikation.

For eksempel, givet vektoren A dan B som vist på billedet nedenfor. Prikproduktet mellem vektorer A dan B skrevet som AB (A titik B).

At definere punktproduktet af vektorer A dan B (AB), afbildet vektor A og vektorer Af ysom danner en vinkel θ. Dernæst tegner vi projektionen af ​​vektoren B i retning af vektoren ADenne projektion er en komponent af vektoren B som er parallel med vektoren A, som er samme størrelse som B kurv θ.

Således definerer vi AB som en stor vektor A ganget med vektorkomponenterne B som er parallel med AMatematisk kan vi skrive det som følger:

AB kurv θ er et almindeligt tal (skalart tal). Derfor kaldes prikproduktet også skalarproduktet. Hvad hvis prikproduktet mellem vektorer A dan B vendt til BA før vi definerer BA, først tegner vi projektionen af ​​vektoren A til vektorer B (se billedet nedenfor).

Baseret på dette billede kan vi definere BA som en stor vektor B ganget med vektorkomponenterne A som er parallel med BMatematisk kan vi skrive det som følger:

Dot produktresultat AB = AB kurv θ og resultatet af prikproduktet BA = BA kurv θ. Fordi AB kurv θ = BA kurv θ, så gælder det AB = BA

Nogle ting om punktmultiplikation, som du har brug for at vide:

1. Prikproduktet opfylder den kommutative lov.

AB = BA

2. Prikproduktet opfylder den distributive lov.

A. (B + C) = AB + AC

3. Hvis vektorerne A og B er vinkelrette på hinanden, så er prikproduktet AB = 0

Når vektoren A dan B vinkelret på hinanden, så er den dannede vinkel 90^oCos 90^o = 0. Således: AB = AB kurv teta = AB cos 90^o = 0. På den anden side, BA = BA kurv teta = BA cos 90^o = 0

4. Hvis vektor A og vektor B er i samme retning , så er AB = AB cos 0 ^o = AB

Når vektoren A dan B i samme retning, så er den dannede vinkel 0^oCos 0 = 1. Således, AB = AB kurv teta = AB cos 0^o = ABTværtimod BA = BA kurv teta = BA cos 0^o = BA

(Du bør ikke forveksles med AB dan BAStor AB = stor BAFor eksempel størrelsen af ​​vektoren A = 2. størrelsen af ​​vektoren B = 3. så AB = 2.3 = 6; dette er det samme som BA = 3.2 = 6.

^{5. En anden betingelse for to vektorer i samme retning, hvis} A = B ^, så får vi AA = A₂ eller BB = ^B₂

6. Hvis vektorerne A og B er i modsatte retninger (når to vektorer er i modsatte retninger, er den dannede vinkel 180º) , så er resultatet af multiplikationen AB = AB cos 180º = AB (-1) = -AB.

Cos 180º = -1.

Eksempel på problemer:

^Vektor A har en størrelsesorden på 4 enheder, og vektor B har en størrelsesorden på 3 enheder. Bestem punktproduktet af de to vektorer, hvis vinklerne dannet af de to vektorer er 60º, 90º og 180º^.

Diskussion

Da AB = BA , kan vi vælge at bruge en af ​​dem. For eksempel bruger vi AB

AB = AB cos theta

Størrelsen af ​​A = 4 enheder og størrelsen af ​​B = 3 enheder.