Punktmultiplikationsmateriale ved hjælp af enhedsvektorkomponenter
Vi kan beregne skalarproduktet direkte, hvis vi kender x-, y- og z-komponenterne af vektorerne A og B (de kendte vektorer).
For at udføre et prikprodukt på denne måde udfører vi først et prikprodukt af enhedsvektorerne, derefter udtrykker vi vektorerne A og B i deres komponenter, dekomponerer produktet og bruger produktet af enhedsvektorerne.
Enhedsvektorerne i , j og k er vinkelrette på hinanden, hvilket gør beregningerne nemmere. Ved at bruge den skalære multiplikationsligning, der er udledt ovenfor ( AB = AB cos theta ), får vi:
i . i = j . j = k . k = (1)(1) cos 0 = 1
i.j = i.k = j.k = (1)(1) cos 90 o = 0
Nu udtrykker vi vektorerne A og B som deres komponenter, dekomponerer deres produkt og bruger produktet af enhedsvektorerne.
A . B = Axi . Bxi + Axi . Byj + Axi . Bzk +
Ayj . Bxi + Ayj . Byj + Ayj . Bzk +
Azk . Bxi + Azk . Byj + Azk . Bzk
A . B = AxBx (i . i) + AxBy (i . j) + Ax Bz (i . k) +
AyBx (j . i) + AyBy (j . j) + AyBz (j . k) +
AzBx (k . i) + AzBy (k . j) + AzBz (k . k)
Karena i . i = j . j = k . k = 1 og i . j = i . k = j . k = 0, så:
A . B = AxBx (1) + AxBy (0) + Ax Bz (0) +
AyBx (0) + AyBy (1) + AyBz (0) +
AzBx (0) + AzBy (0) + AzBz (1)
A. B = A x B x ( 1) + 0 + 0 +
0 + Ay By (1) + 0 +
0 + 0 + A z B z (1)
A . B = AxBx + AyBy + AzBz
Baseret på resultaterne af denne beregning kan det konkluderes, at skalarproduktet eller prikproduktet af to vektorer er summen af produkterne af deres lignende komponenter.
Eksempelspørgsmål 1:
Stor vektor A dan B er henholdsvis 5 og 4, som vist på billedet nedenfor. Den dannede vinkel er 90oTæl det punktprodukt begge vektorer.
Diskussion
Før vi beregner punktproduktet af vektorerne A og B, skal vi først kende komponenterne i den anden vektor.
A x = (5) cos 0 o = (5) (1) = 5
A y = (5) sin 0 o = (5) (0) = 0
A z = 0
B x = (4) cos 90 o = (4) (0) = 0
B y = (4) sin 90 o = (4) (1) = 4
Bz = 0
Vektor A har kun vektorkomponenter på x-aksen, og vektor B har kun vektorkomponenter på y-aksen. Z-komponenten er nul, fordi vektorerne A og B er i xy-planen.
Nu beregner vi prikproduktet mellem vektorerne A og B ved hjælp af prikproduktligningen med komponentvektorer:
A. B = Ax Bx + AyBy + AzBz
A. B = (5) (0) + (0) (4) + 0
A. B = 0 + 0 + 0
A. B = 0
Lad os sammenligne det med den første metode
AB = AB cos theta
AB = (4)(5) cos 90
AB = (4) (5) (0)
AB = 0
Resultatet er det samme.
Eksempelspørgsmål 2:
Stor vektor A dan B er henholdsvis 5 og 4, som vist på billedet nedenfor. Beregn punktprodukt begge vektorer, hvis den dannede vinkel er 30o
Diskussion
Før vi beregner punktproduktet af vektorerne A og B, skal vi først kende komponenterne i den anden vektor.
z-komponenten er nul, fordi vektorerne A og B er i xy-planen.
Nu beregner vi prikproduktet mellem vektorerne A og B ved hjælp af prikproduktligningen med komponentvektorer:
Sammenlign med den første metode.
