System Rhifau Real
Mae'r system rhifau real yn un o'r cysyniadau mwyaf sylfaenol mewn mathemateg, a ddefnyddir i fynegi bron pob maint rydyn ni'n dod ar ei draws ym mywyd beunyddiol, o hyd a màs i dymheredd i gyflymder ac amser. Rhifau real yw'r sylfaen ar gyfer gwahanol ganghennau o fathemateg fel algebra, geometreg, calcwlws ac ystadegau, a nhw hefyd yw prif iaith gwyddoniaeth a pheirianneg. Mae deall y system rhifau real yn golygu deall sut mae rhifau'n cael eu dosbarthu, sut maen nhw'n perthyn i'w gilydd, a sut mae eu priodweddau'n ein galluogi i gyflawni cyfrifiadau a modelau'n gyson.
Deall Rhifau Real
Rhifau real yw'r set o'r holl rifau y gellir eu rhoi ar linell rif. Mae hyn yn cynnwys rhifau rhesymegol ac afresymegol. Yn reddfol, mae rhifau real yn cynnwys yr holl rifau y gellir eu mynegi fel "gwerth" maint parhaus, er enghraifft, gall hyd bwrdd fod yn 1 metr, 1,5 metr, neu hyd yn oed 1,414213 metr.
Fel arfer, mae'r set o rifau real yn cael ei dynodi gan y symbol ℝ. Mae gan bob rhif real safle unigryw ar y llinell rif, boed yn negatif, sero, neu bositif.
Dosbarthu Rhifau yn y System Rhifau Real
Nid yw'r system rhifau real yn bodoli ar ei phen ei hun. Mae'n estyniad o system rhifau symlach. Er mwyn ei deall, mae angen i ni edrych ar ddosbarthiad y rhifau sy'n ei ffurfio.
1. Rhifau Naturiol
Fel arfer, dynodir rhifau naturiol gan ℕ. Defnyddir y rhifau hyn i gyfrif gwrthrychau ac maent yn cynnwys yn gyffredinol:
1, 2, 3, 4, 5, …
Mewn rhai diffiniadau, mae 0 hefyd wedi'i gynnwys yn y rhifau naturiol, ond mewn ymarfer addysgol, gwneir gwahaniaeth yn aml rhwng rhifau cyfan a rhifau naturiol.
2. Rhifau Cyfan
Mae rhifau cyfan yn cynnwys rhifau naturiol ynghyd â sero:
0, 1, 2, 3, 4, …
Mae rhifau cyfan yn ddefnyddiol pan fydd angen i ni fynegi “dim byd” (sero) mewn cyd-destun cyfrif.
3. Rhifau cyfan
Dynodir cyfanrifau gan ℤ ac maent yn cynnwys rhifau cyfan a'u negatifau:
…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …
Mae cyfanrifau'n bwysig ar gyfer mynegi sefyllfaoedd sy'n cynnwys cyfeiriadau neu werthoedd "islaw sero," fel tymereddau islaw rhewbwynt, dyled, neu uchderau islaw lefel y môr.
4. Rhifau Rhesymegol
Dynodir rhifau rhesymegol gan ℚ. Mae'r rhif hwn yn rhif y gellir ei ysgrifennu ar ffurf ffracsiwn:
\[
\frac{p}{q}
\]
gyda chyfanrifau \(p\) a \(q\), a \(q \neq 0\).
Enghreifftiau o rifau rhesymegol:
– \(\frac{1}{2} = 0,5\)
– \(\frac{3}{4} = 0,75\)
– \(-\frac{7}{5} = -1,4\)
– Gellir ysgrifennu 2 fel \(\frac{2}{1}\)
Nodwedd bwysig o rifau rhesymegol yw bod eu ffurf ddegol yn terfynu neu'n ailadrodd. Er enghraifft:
– 0,25 o stopiau
– 0,333… ailadroddiadau
5. Rhifau Afresymol
Rhifau afresymol yw rhifau real na ellir eu mynegi ar y ffurf \(\frac{p}{q}\) lle mae \(p\) a \(q\) yn gyfanrifau. Nid yw'r ffurf ddegol yn stopio ac nid yw'n ailadrodd.
Enghreifftiau o rifau afresymol:
– \(\sqrt{2} = 1,41421356…\)
– \(\pi = 3,14159265…\)
– \(e = 2,7182818…\)
Mae rhifau afresymol yn ymddangos yn aml mewn geometreg (e.e., gwreiddyn sgwâr croeslin) a dadansoddiad mathemategol.
6. Rhifau Real
Mae rhifau real yn gyfuniad o rifau rhesymegol ac afresymol:
\[
\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup (\text{afresymol})
\]
Hynny yw, mae pob rhif y gellir ei gynrychioli ar linell rif yn rhifau real.
Llinell Rhif a'r Cysyniad o Ddwysedd
Un o'r ffyrdd gorau o ddeall rhifau real yw drwy'r llinell rif. Ar y llinell hon, mae pob pwynt yn cynrychioli rhif real. Yn ddiddorol, rhwng unrhyw ddau rif real, mae rhif real arall bob amser. Er enghraifft, rhwng 1 a 2 mae 1,5; rhwng 1,5 a 2 mae 1,75; ac yn y blaen am gyfnod amhenodol.
Gelwir y priodwedd hon yn ddwysedd. Mae rhifau rhesymegol ac afresymegol yr un mor ddwys ar y llinell rif: rhwng unrhyw ddau rif real, mae nifer anfeidraidd o rifau rhesymegol a nifer anfeidraidd o rifau afresymegol.
Gweithrediadau Sylfaenol ar Rhifau Real
Mae rhifau real yn cefnogi'r gweithrediadau mathemategol sylfaenol canlynol:
1. Adio: \(a + b\)
2. Tynnu: \(a – b\)
3. Lluosi: \(a \times b\)
4. Rhaniad: \(a \div b\), gyda'r amod \(b \neq 0\)
Mae gan y gweithrediadau hyn briodweddau pwysig fel:
– Cymudol: \(a + b = b + a\), \(ab = ba\)
– Cysylltiol : \((a + b) + c = a + (b + c)\)
– Dosbarthol: \(a(b + c) = ab + ac\)
– Mae ganddo hunaniaeth: 0 ar gyfer adio, 1 ar gyfer lluosi
– Mae ganddo wrthdro: \(-a\) ar gyfer adio, \(\frac{1}{a}\) ar gyfer lluosi (ar gyfer \(a \neq 0\))
Mae'r priodweddau hyn yn gwneud y rhifau real yn sefydlog iawn fel system ar gyfer cyfrifo.
Trefn a Gwerth Absoliwt
Mae gan rifau real berthynas drefn hefyd. Gallwn gymharu dau rif real gyda'r arwydd canlynol:
– Mae \(<\) yn llai - Mae \(>\) yn fwy
– Mae \(\le\) yn llai na neu'n hafal i
– Mae \(\ge\) yn fwy na neu'n hafal i
Yn ogystal, mae'r cysyniad o werth absoliwt sy'n nodi pellter rhif o sero:
\[
|a| =
\begin{achosion}
a, a \text{os } a \ge 0 \\
-a, & \text{os } a < 0 \end{cases} \] Er enghraifft, \(|-5| = 5\) a \(|3| = 3\).
