Rhifau Cyfan a'u Priodweddau
Mae cyfanrifau yn un o'r cysyniadau mwyaf sylfaenol mewn mathemateg, ond maent yn chwarae rhan arwyddocaol ym mywyd bob dydd. Pan fyddwn yn cyfrif eitemau, yn pennu tymereddau is-sero, yn cyfrifo nifer y lloriau mewn islawr, neu'n cofnodi elw a cholled mewn busnes, rydym mewn gwirionedd yn delio â chyfanrifau. Bydd deall cyfanrifau a'u priodweddau yn ei gwneud hi'n haws dysgu rhifyddeg, algebra, a hyd yn oed cysyniadau mathemategol lefel uwch.
Diffiniad o Gyfanrifau
Y cyfanrifau yw'r set o rifau sy'n cynnwys y cyfanrifau negatif, sero, a'r cyfanrifau positif. Y symbol a ddefnyddir yn aml i gynrychioli'r set o gyfanrifau yw Z (sy'n deillio o'r gair Almaeneg Zahlen, sy'n golygu "rhifau"). Yn gyffredinol, gellir ysgrifennu cyfanrifau fel:
…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …
Yn wahanol i rifau cyfan sydd ond yn cynnwys 0 a rhifau positif, mae rhifau cyfan yn cynnwys rhifau negatif felly maent yn fwy cyflawn wrth ddisgrifio gwahanol sefyllfaoedd.
Enghreifftiau o Gyfanrifau mewn Bywyd Bob Dydd
Mae cyfanrifau wedi'u cysylltu'n agos â gweithgaredd dynol. Mae rhai enghreifftiau o'u defnydd yn cynnwys:
1. Tymheredd yr aer: Mae tymheredd o -5°C yn dynodi bod y tymheredd yn 5 gradd islaw sero.
2. Uchder: Gall uchder o -20 metr olygu safle 20 metr islaw lefel y môr.
3. Cyllid: Mae balans o -50.000 yn dynodi dyled neu ddiffyg o 50.000.
4. Llawr yr adeilad: Defnyddir llawr -1 neu -2 fel arfer ar gyfer yr islawr.
5. Sgôr gêm: Mewn rhai gemau, gall y sgôr gynyddu neu ostwng, gan gynnwys rhifau positif a negatif.
O'r enghreifftiau hyn gellir gweld bod cyfanrifau yn ein helpu i fynegi cyflyrau “mwy na”, “llai na”, neu “yn hafal” gyda sero fel pwynt cyfeirio.
Llinell Rhif Cyfan
I ddeall rhifau cyfan, rydym yn aml yn defnyddio llinell rif. Llinell syth yw llinell rif sy'n gosod rhifau mewn safleoedd penodol:
– Mae rhifau positif i'r dde o sero.
– Mae rhifau negatif i'r chwith o sero.
– Po bellaf i'r dde yw'r gwerth, y mwyaf ydyw.
– Po bellaf i'r chwith, y lleiaf yw'r gwerth.
Gyda llinell rif, gallwn gymharu rhifau cyfan yn hawdd. Er enghraifft, mae -2 yn fwy na -5 oherwydd bod -2 ymhellach i'r dde na -5.
Priodweddau Cyfanrifau
Mae gan gyfanrifau sawl priodwedd bwysig mewn gweithrediadau mathemategol. Mae'r priodweddau hyn yn ddefnyddiol iawn pan fyddwn yn cynnal cyfrifiadau, yn symleiddio mynegiadau algebraidd, neu'n profi cysyniadau.
1. Natur Gaeedig (Cau)
Mae'r set o gyfanrifau ar gau o dan rai gweithrediadau, sy'n golygu os ydym yn perfformio'r gweithrediadau hynny ar gyfanrifau, bydd y canlyniad yn dal i fod yn gyfanrif.
– Adio: Os yw a a b yn gyfanrifau, yna mae a + b hefyd yn gyfanrif.
Enghraifft: -3 + 7 = 4
– Tynnu: Os yw a a b yn gyfanrifau, yna mae a − b hefyd yn gyfanrif.
Enghraifft: 5 − 12 = -7
– Lluosi: Os yw a a b yn gyfanrifau, yna mae a × b hefyd yn gyfanrif.
Enghraifft: (-4) × 6 = -24
Fodd bynnag, nid yw cyfanrifau bob amser yn gaeedig yn erbyn rhannu, oherwydd gall canlyniad rhannu fod yn ffracsiwn.
Enghraifft: 1 ÷ 2 = 1/2 (nid rhif cyfan).
2. Eiddo Cymudol (Cyfnewid)
Mae'r priodwedd gymudol yn golygu y gellir cyfnewid trefn rhifau heb newid y canlyniad.
– Adio: a + b = b + a
Enghraifft: 2 + (-5) = (-5) + 2 = -3
– Lluosi: a × b = b × a
Enghraifft: (-3) × 4 = 4 × (-3) = -12
Mae'n bwysig cofio nad yw tynnu a rhannu yn gymudol.
Enghraifft: 7 − 2 ≠ 2 − 7.
3. Priodweddau Cysylltiol (Grwpio)
Mae'r priodwedd gysylltiol yn golygu nad yw'r ffordd y mae rhifau'n cael eu grwpio mewn gweithrediad yn newid y canlyniad.
– Adio: (a + b) + c = a + (b + c)
Enghraifft: (1 + 2) + 3 = 1 + (2 + 3) = 6
– Lluosi: (a × b) × c = a × (b × c)
Enghraifft: (2 × 3) × 4 = 2 × (3 × 4) = 24
Yn union fel y priodwedd gymudol, nid yw'r priodwedd gysylltiedig yn berthnasol i dynnu a rhannu chwaith.
4. Priodweddau Dosbarthol (Llediad)
Mae'r priodwedd ddosbarthol yn cysylltu gweithrediadau lluosi ag adio neu dynnu:
– a × (b + c) = (a × b) + (a × c)
Enghraifft: 3 × (2 + 5) = (3 × 2) + (3 × 5) = 6 + 15 = 21
– a × (b − c) = (a × b) − (a × c)
Enghraifft: 4 × (10 − 3) = 40 − 12 = 28
Mae'r priodwedd hon yn bwysig iawn wrth symleiddio ffurfiau algebraidd a datrys hafaliadau.
5. Elfennau Hunaniaeth (Hunaniaethau Adio a Lluosi)
Rhif yw hunaniaeth nad yw'n newid gwerth rhif arall pan gaiff ei weithredu.
– Yr hunaniaeth ychwanegol yw 0: a + 0 = a
Enghraifft: -9 + 0 = -9
– Mae'r unfathiant lluosi yn 1: a × 1 = a
Enghraifft: 8 × 1 = 8
Mae hunaniaethau yn ein helpu i ddeall y cysyniad niwtral mewn gweithrediadau mathemategol.
6. Elfennau Gwrthdro (Rhifau Cyferbyniol)
Mae gan bob cyfanrif wrthdro ychwanegol, sef gwrthwyneb rhif sydd, wrth ei adio at ei gilydd, yn arwain at 0.
– Gwrthdro a yw -a, felly: a + (-a) = 0
Enghraifft: 6 + (-6) = 0, a -4 + 4 = 0
Fodd bynnag, nid oes gan bob cyfanrif wrthdro mewn lluosi. Er enghraifft, gwrthdro lluosog 2 yw 1/2, nad yw'n gyfanrif.
7. Arwyddion Cadarnhaol a Negyddol mewn Gweithrediad
Mewn cyfanrifau, mae arwyddion positif a negatif yn rhoi rheolau arbennig mewn lluosi a rhannu:
– (+) × (+) = (+)
– (+) × (-) = (-)
– (-) × (+) = (-)
– (-) × (-) = (+)
Enghraifft:
– 3 × (-2) = -6
– (-5) × (-4) = 20
Ar gyfer adio a thynnu, rydym yn aml yn defnyddio'r cysyniad o linell rif neu'r rheol:
– Mae adio rhifau negatif yr un peth â “thynnu”.
– Mae tynnu rhif negatif yr un peth ag “adio”.
Enghraifft:
– 7 + (-3) = 4
– 5 − (-2) = 7
Casgliad
Mae cyfanrifau yn set o rifau sy'n cynnwys rhifau negatif, sero, a rhifau positif. Mae'r rhifau hyn yn bwysig iawn oherwydd gallant ddisgrifio amrywiol amodau mewn bywyd, fel tymereddau is-sero, colledion ariannol, neu leoliadau islaw lefel y môr. Mae gan gyfanrifau hefyd briodweddau sylfaenol fel bod yn gaeedig (ar gyfer adio, tynnu, a lluosi), cymudol, cysylltiol, dosbarthol, unfathiant, a gwrthdro ychwanegol. Drwy ddeall priodweddau cyfanrifau, byddwn yn perfformio cyfrifiadau yn haws, yn symleiddio gweithrediadau, ac yn dysgu pynciau mathemategol dilynol fel algebra, hafaliadau, a systemau rhif eraill.
Os ydych chi eisiau, gallaf wneud fersiwn o'r erthygl hon ar gyfer lefel ysgol elfennol/ganol (symlach) neu fersiwn fwy ffurfiol fel papur cyflawn gyda chwestiynau ymarfer a thrafodaethau.
