Ffordd Gyflym i Ddatrys Problemau Cyfres
Mae cwestiynau dilyniant (dilyniannau rhif) yn fath cyffredin o gwestiwn mewn arholiadau mynediad ysgol, profion dewis swyddi, a hyd yn oed profion gallu sylfaenol. Mae'r syniad yn syml: gofynnir i chi ddod o hyd i batrwm mewn cyfres o rifau, yna pennu'r rhif nesaf (neu'r rhif coll). Er y gallent ymddangos yn gymhleth, gellir datrys dilyniannau'n gyflym mewn gwirionedd os oes gennych "fap" clir o gamau. Mae'r erthygl hon yn trafod sut i ddatrys problemau dilyniant yn gyflym gan ddefnyddio strategaethau ymarferol, y mathau mwyaf cyffredin o batrymau, ac awgrymiadau i osgoi patrymau ffug.
1. Deall pwrpas y broblem gyfres
Yn ei hanfod, mae cwestiynau cyfres yn profi eich gallu i adnabod perthnasoedd rhwng rhifau. Gall y perthnasoedd hyn gynnwys adio, tynnu, lluosi, rhannu, cyfuniadau o weithrediadau, a hyd yn oed patrymau neu grwpiau sy'n seiliedig ar safle.
Fel arfer mae'r cwestiynau ar y ffurf:
– Penderfynwch y rhif nesaf: 2, 4, 8, 16, …
– Penderfynwch ar y rhifau coll: 3, 6, __, 24, 48
– Dewiswch yr ateb mwyaf priodol o’r opsiynau sydd ar gael.
Yr allwedd gyflym yw: peidiwch â dyfalu ar hap. Defnyddiwch y camau systematig canlynol.
2. Camau cyflym (dull cyffredinol) i ddatrys y gyfres
Dyma ddilyniant o ffyrdd effeithiol o feddwl a ddefnyddir yn aml mewn profion:
1) Gwiriwch y gwahaniaeth (gwahaniaeth) rhwng y rhifau
Cyfrifwch y gwahaniaethau olynol: a2–a1, a3–a2, ac yn y blaen. Mae llawer o gyfresi syml yn defnyddio gwahaniaethau cyson (dilyniannau rhifyddeg) neu wahaniaethau sy'n ffurfio patrwm.
2) Gwiriwch y gymhareb (rhannu)
Os nad yw'r gwahaniaethau'n daclus, ceisiwch rannu: a2/a1, a3/a2, ac ati. Mae hyn yn helpu i ddod o hyd i ddilyniannau geometrig neu batrymau lluosi.
3) Gwiriwch y patrwm cymysg (dau gam/bob yn ail)
Mae cyfresi yn aml yn defnyddio patrwm bob yn ail: adio, lluosi, adio, lluosi. Neu mae dwy gyfres yn bob yn ail (mae odrifau'n ffurfio un patrwm, mae eilrifau'n ffurfio un arall).
4) Gwiriwch batrwm yr ail lefel (gwahaniaeth gwahaniaeth)
Os yw'r gwahaniaeth yn newid yn rheolaidd, cyfrifwch wahaniaeth y gwahaniaethau. Mae hyn yn aml yn digwydd mewn cyfresi cwadratig neu batrymau cynyddol fesul cam.
5) Gwiriwch batrymau arbennig: sgwâr, ciwbig, cysefin, Fibonacci, ffactorial
Mae llawer o brofion yn dangos patrymau “eiconig”. Os yw’r rhifau’n edrych yn gyfarwydd (1, 4, 9, 16…) yna mae’n debyg ei fod yn sgwâr.
6) Patrymau gwirio yn seiliedig ar ddigidau
Weithiau nid yw'r patrwm yn y gwerth, ond yn y digid: swm y digidau, gwrthdroad, adio digidau, neu luosrif o 9/11.
Gyda'r dilyniant hwn, ni fyddwch yn gwastraffu unrhyw amser. Mae angen i chi ei ymarfer nes iddo ddod yn awtomatig.
3. Y patrymau cyfres sy'n digwydd amlaf a'r ffordd gyflymaf o'u gwneud
A. Cyfres rifyddol (gwahaniaeth gyson)
Enghraifft: 5, 9, 13, 17, …
Y gwahaniaeth: +4, +4, +4.
Felly'r rhif nesaf: 21.
Tric cyflym: unwaith i chi ddod o hyd i'r un gwahaniaeth ddwywaith yn olynol, parhewch â'r patrwm hwnnw.
B. Cyfres geometrig (cymhareb gyson)
Enghraifft: 3, 6, 12, 24, …
Y gymhareb: ×2, ×2, ×2.
Nesaf: 48.
Awgrym cyflym: os yw'r rhifau'n cynyddu neu'n lleihau'n gyflym, amheuwch luosi/rhannu.
C. Cyfres gwahaniaeth graddol (gwahaniaeth cynyddol rheolaidd)
Enghraifft: 2, 5, 9, 14, 20, …
Gwahaniaeth: +3, +4, +5, +6.
Gwahaniaeth nesaf +7 → 27.
Awgrym cyflym: os yw'r gwahaniaeth "yn mynd i fyny fesul un", mae'n arwydd o batrwm haenog.
D. Cyfresi cwadratig a chiwbig
– Sgwariau: 1, 4, 9, 16, 25, … (n²)
– Ciwbig: 1, 8, 27, 64, … (n³)
Tric cyflym: cofiwch y sgwariau 1–15 a'r ciwbiau 1–10. Mae hyn yn cyflymu'r adnabod o eiliadau.
E. Cyfres Fibonacci a'i hamrywiadau
Fibonacci Clasurol: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …
Pob rhif = swm y ddau rif blaenorol.
Amrywiadau sy'n digwydd yn aml:
2, 3, 5, 8, 13, 21, … (gan ddechrau o 2 a 3).
Tric cyflym: gwiriwch a yw a(n) = a(n-1) + a(n-2). Os yw'n ffitio mewn 2–3 cam, dyna'r ateb fel arfer.
F. Cyfres rhifau cysefin
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, …
Tric cyflym: cofio rhifau cysefin hyd at 50. Mae llawer o broblemau'n stopio yn yr ystod honno.
G. Cyfres ffactoraidd
1, 2, 6, 24, 120, … (1!, 2!, 3!, 4!, 5!)
Tric cyflym: gweld a yw'r lluosiadau'n adio i fyny: ×2, ×3, ×4, ×5.
H. Patrwm bob yn ail (dau weithrediad)
Enghraifft: 2, 6, 7, 21, 22, 66, …
Patrwm: ×3, +1, ×3, +1, ×3 …
Nesaf: 67.
Tric cyflym: os nad oes un patrwm, ceisiwch wahanu'r gweithrediadau "lluosi ac adio" bob yn ail.
I. Dau gyfres bob yn ail (mae gan odrifau ac eilrifau batrymau gwahanol)
Enghraifft: 1, 4, 2, 8, 3, 12, 4, …
Rhifau safle od: 1, 2, 3, 4 (cynnydd +1)
Rhifau safle eilrif: 4, 8, 12 (cynnydd +4)
Nesaf (safle cyfartal): 16.
Tric cyflym: rhannu'n ddwy res: (1af, 3ydd, 5ed,…) ac (2il, 4ydd, 6ed,…).
J. Patrymau seiliedig ar ddigidau
Enghraifft: 10, 11, 13, 17, 25, …
Weithiau'r patrwm yw swm y digidau, neu'r "rhif nesaf = rhif blaenorol + swm ei ddigidau".
Er enghraifft, y rheol: a(n+1) = a(n) + (swm digidau a(n)).
Tric cyflym: os yw'r rhifau'n edrych yn "rhyfedd" ac nad ydyn nhw'n ffitio yn y gwahaniaeth/cymhareb, gwiriwch y digidau.
4. Technegau i osgoi trapiau patrwm ffug
Mewn profion, mae'r rhai sy'n cymryd profion yn aml yn darparu dilyniannau sy'n "ymddangos" fel eu bod yn ffitio patrymau lluosog. Sut i osgoi hyn:
1) Profwch y patrwm ar o leiaf 3 thrawsnewidiad
Peidiwch â bod yn fodlon ag un gêm yn unig. Gwnewch yn siŵr eich bod yn paru sawl pâr o rifau.
2) Dewiswch y patrwm symlaf a mwyaf cyson.
Os oes dau bosibilrwydd, fel arfer yr un a ddewisir yw'r patrwm nad yw'n rhy gymhleth ac sy'n berthnasol i bob rhif.
3) Rhowch sylw i'r opsiynau ateb
Mewn cwestiynau amlddewis, gallwch weithiau brofi un o'r patrymau ac yna gweld a yw'r canlyniad yn ymddangos yn yr opsiynau. Os nad yw, mae'r patrwm yn anghywir.
5. Enghreifftiau ymarfer byr (ffordd gyflym)
1) 7, 14, 28, 56, …
Gwiriwch y gymhareb: ×2 yna → nesaf 112.
2) 3, 8, 15, 24, 35, …
Gwahaniaeth: +5, +7, +9, +11 (i fyny 2) → nesaf +13 = 48.
3) 1, 3, 6, 10, 15, …
Gwahaniaeth: +2, +3, +4, +5 → nesaf +6 = 21 (cyfres drionglog yw hon).
6. Awgrymiadau ar gyfer dysgu'n gyflymach
– Gwnewch restr o batrymau y mae'n rhaid eu cofio: sgwâr, ciwbig, cysefin, ffactoraidd, Fibonacci.
– Ymarferwch 10–20 cwestiwn y dydd: gwell yn rheolaidd na llawer ond yn anaml.
– Defnyddiwch stopwats: anelu at 20–40 eiliad fesul cwestiwn ar gyfer y lefel sylfaenol.
– Nodwch y patrymau rydych chi'n aml yn dyfalu'n anghywir: bydd yn dod yn “fanc camgymeriadau” a fydd yn cyflymu gwelliant.
Cau
Nid yw datrys problemau dilyniant yn gyflym yn ymwneud â thalent, ond yn hytrach strategaeth ac arfer. Dechreuwch gyda'r camau mwyaf cyffredin (gwahaniaeth a chymhareb), symudwch ymlaen i batrymau bob yn ail neu wedi'u rhyngblethu, yna gwiriwch am batrymau penodol fel sgwariau, rhifau cysefin, rhifau Fibonacci, neu ffactorau. Po fwyaf y byddwch chi'n ymarfer, y mwyaf y byddwch chi'n dod i arfer â gweld patrymau mewn ychydig eiliadau yn unig. Os ydych chi'n gyson, bydd problemau dilyniant a oedd yn ymddangos yn ddryslyd i ddechrau yn dod yn llawer haws ac yn gyflymach i'w datrys.
Os ydych chi eisiau, anfonwch 5-10 enghraifft o broblemau cyfres sydd gennych chi ataf, a byddaf yn eich helpu i'w trafod fesul un gan ddefnyddio'r dull cyflymaf.
