Rotace tuhých těles – problémy a řešení
Moment síly
1. Na nosník o délce 6 metrů působí tři síly, jak je znázorněno na obrázku níže. Jaký je čistý točivý moment , který otáčí nosník kolem bodu O, který je osou otáčení?
Známý:
Osa otáčení v bodě O.
Síla 1 (F1 ) = F
Vzdálenost mezi linií působení F1 a osou otáčení (r1 ) = 3 metry
Síla 2 (F³ ) = 2F
Vzdálenost mezi linií působiště F³ a osou otáčení (r³ ) = 2 metry
Síla 3 (F³ ) = 2F
Vzdálenost mezi linií působiště F³ a osou otáčení (r³ ) = 3 metry
Hledá se: Velikost momentu síly
Řešení:
Moment síly 1:
τ1 = F1, r1 = ( F)(3) = -3F
Moment síly 1 otáčí nosník ve směru hodinových ručiček, takže mu přiřadíme záporné znaménko.
Moment síly 2:
τ² = F² r² = ( 2F ) (2) = 4F
Moment síly 2 otáčí nosník proti směru hodinových ručiček, takže mu přiřadíme kladné znaménko.
Moment síly 3:
τ 3 = F 3 r 3 sin 30 o = (2F)(3)(0.5) = 3F
Moment síly 2 otáčí nosník proti směru hodinových ručiček, takže mu přiřadíme kladné znaménko.
Výslednice momentu síly:
Στ = τ1 + τ2 + τ3
Στ = -3F + 4F + 3F
Στ = 4F
Velikost momentu síly je 4F Newtonmetru. Výslednice momentu síly otáčí nosník proti směru hodinových ručiček, takže mu přiřazujeme kladné znaménko.
2. α = 30 ° , délka AB = BC = 1 metr. Jaký je moment síly kolem osy otáčení v bodě A?
Známý:
Osa otáčení v bodě A. 
Síla 1 (F1 ) = 10 N
Vzdálenost mezi osou působení F² a osou otáčení (r² ) = 1 metr
Síla 2 (F2 ) = 10 N
Vzdálenost mezi osou působení F² a osou otáčení (r² ) = 1 metr
Síla 3 (F3 ) = 20 N
Vzdálenost mezi linií působiště F³ a osou otáčení (r³ ) = 2 metry
Hledá se: Výslednice momentu síly
Řešení:
Moment síly 1:
τ 1 = F 1 r 1 sin 30 o = (10) (1) (0.5) = 5 N m
Moment síly 1 otáčí nosník proti směru hodinových ručiček, takže předpokládáme kladné znaménko.
Moment síly 2:
τ² = F²r²sin³₂o = ( 10 ) (1 ) (0.5) = -5 Newtonmetrů
Moment síly 2 otáčí paprsek m ve směru hodinových ručiček, takže mu přiřadíme záporné znaménko.
Moment síly 3:
τ³ = F³ r³ sin 60 o = (20)(2)(0.5√3 ) = -20√3 Newtonmetrů
Moment síly 3 otáčí paprsek m ve směru hodinových ručiček, takže mu přiřadíme záporné znaménko.
Výslednice momentu síly:
Στ = τ1 + τ2 + τ3
Στ = 5 – 5 – 20√3
Στ = – 20√3 N·m
Velikost momentu síly je 20√3 N·m. Výslednice momentu síly otáčí nosník ve směru hodinových ručiček, takže přiřazujeme záporné znaménko.
- Co je to tuhé těleso a jak se liší od netuhého tělesa?
- Odpověď: Tuhé těleso je idealizovaný objekt, u kterého vzdálenost mezi libovolnými dvěma danými body v tělese zůstává konstantní bez ohledu na vnější síly nebo momenty. Naproti tomu netuhé těleso se může deformovat, což umožňuje změnu vzdálenosti mezi body v tělese.
- Jak souvisí moment setrvačnosti tuhého tělesa s jeho rozložením hmotnosti?
- Odpověď: Moment setrvačnosti tuhého tělesa je mírou jeho odporu vůči rotačnímu pohybu kolem dané osy a závisí jak na hmotnosti tělesa, tak na jeho rozložení vzhledem k ose otáčení. Vypočítává se součtem součinů hmotnosti každého prvku a druhé mocniny jeho vzdálenosti od osy otáčení.
- Jaký je význam rotační kinetické energie rotujícího tuhého tělesa?
- Odpověď: Rotační kinetická energie je mírou energie v důsledku rotace tuhého tělesa. Závisí jak na momentu setrvačnosti, tak na úhlové rychlosti tělesa, dané vztahem 1/2 , Kde je moment setrvačnosti a je úhlová rychlost.
- Co se stane s momentem hybnosti soustavy částic, pokud na ni nepůsobí žádné vnější momenty?
- Odpověď: Pokud na systém částic nepůsobí žádné vnější momenty, celkový moment hybnosti systému je zachován. Toto je princip zachování momentu hybnosti.
- Jak pomáhá věta o rovnoběžných osách při hledání momentu setrvačnosti tuhého tělesa?
- Odpověď: Věta o rovnoběžných osách umožňuje vypočítat moment setrvačnosti tuhého tělesa kolem libovolné osy rovnoběžné s osou a ve vzdálenosti od osy procházející jejím těžištěm. Uvádí, že , Kde je moment setrvačnosti vzhledem k těžišti, je celková hmotnost a je vzdálenost mezi oběma osami.
- Jaký je rozdíl mezi kutálením bez prokluzování a kutálením s prokluzováním?
- Odpověď: K odvalování bez prokluzování dochází, když se tuhé těleso otáčí kolem pevné osy a zároveň se posunuje, bez jakéhokoli relativního pohybu mezi tělesem a povrchem. Odvalování s prokluzováním znamená, že mezi tělesem a povrchem dochází k relativnímu pohybu neboli klouzání.
- Jak souvisí poloměr setrvačnosti s momentem setrvačnosti?
- Odpověď: Poloměr setrvačnosti je míra, která popisuje, jak je hmotnost tělesa rozložena kolem jeho osy otáčení. Je definován jako druhá odmocnina z poměru momentu setrvačnosti k hmotnosti a udává ekvivalentní vzdálenost od osy, kde by mohla být veškerá hmota soustředěna bez změny momentu setrvačnosti.
- Jaký vliv má zvýšení momentu setrvačnosti na úhlové zrychlení tuhého tělesa pro daný kroutící moment?
- Odpověď: Pro daný točivý moment zvýšení momentu setrvačnosti sníží úhlové zrychlení, protože , Kde je úhlové zrychlení, je točivý moment a je moment setrvačnosti.
- Může síla působící na tuhé těleso způsobit jak translační, tak rotační pohyb? Vysvětlete jak.
- Odpověď: Ano, síla působící na tuhé těleso může způsobit jak translační, tak rotační pohyb. Pokud je síla aplikována v bodě, který se neshoduje s těžištěm, může způsobit translační (lineární) pohyb tělesa a rotaci. Translační pohyb je určen výslednou silou, zatímco rotační pohyb závisí na kroutícím momentu vytvářeném silou kolem těžiště.
- Proč se krasobruslař točí rychleji, když si přitáhne ruce blízko k tělu?
- Odpověď: Přitažením paží k tělu krasobruslař snižuje svůj moment setrvačnosti. Podle zákona zachování momentu hybnosti, pokud se moment setrvačnosti zmenší a nepůsobí žádný vnější krouticí moment, úhlová rychlost se musí zvýšit. Bruslař se tedy otáčí rychleji.
Tyto otázky a odpovědi poskytují pochopení klíčových konceptů souvisejících s rotací tuhých těles.
