Pružiny zapojené sériově a paralelně – problémy a řešení

1. Předmět o hmotnosti 160 gramů je uchycen na jednom konci pružiny a změna délky pružiny je 4 cm. Jaká je změna délky tří pružiny zapojené sériově a paralelně, jak je znázorněno na obrázku níže?

Známý:

Změna délky pružiny (Δx) = 4 cm = 0.04 m Pružiny zapojené sériově a paralelně – problémy a řešení 1

Hmota (m) = 160 gramů = 0.16 kg

Zrychlení v důsledku gravitace (g) = 10 m/s²

Hmotnost (w) = mg = (0.16)(10) = 1.6 Newtonů

Hledá se: Změna délky tří pružin (Δx)

Řešení:

Rovnice Hookeův zákon :

k = w / Δx = 1.6 / 0.04 = 40 N/m

Všechny tři pružiny mají stejnou konstantu k = 40 N/m.

Určete ekvivalentní konstantu:

Jaro 2 (k₂) a pružina 3 (k₃) tára zapojená paralelně. Ekvivalentní konstanta:

k₂₃ = k₂ +k₃ = 40 + 40 = 80 N/m

Jaro 1 (k₁) a pružina 23 (k₂₃) jsou zapojeny sériově. Ekvivalentní konstanta:

1/k = 1/k₁ + 1/k₂₃ = 1/40 + 1/80 = 2/80 + 1/80 = 3/80

k = 80/3

Určete změnu délky tří pružin:

Δx = w / k = 1.6 : 80/3 = (1.6)(3/80) = 4.8 / 80 = 0.06 m = 6 cm

2. Tři pružiny se stejnou konstantou zapojené sériově a paralelněa předmět o hmotnosti 2 kg připevněný na jednom konci pružiny, jak je znázorněno na obrázku níže. Konstanta pružiny je k₁= k₂ = k₃= 300 N/m. Jaká je změna délky tří pružin? Gravitační zrychlení je g = 10 ms^-2.

Známý:

Konstanta pružiny k₁= k₂ = k₃= 300 Nm^-1

Gravitační zrychlení (g) = 10 ms^-2

Hmotnost objektu (m) = 2 kg

Hmotnost objektu (w) = mg = (2)(10) = 20 Newtonů

Viz také Kirchhoffův zákon – problémy a řešení

Hledá se: Změna délky tří pružin (Δx)

Řešení:

Určete ekvivalentní konstantu:

Jaro 1 (k₁) a pružina 2 (k₂) jsou zapojeny paralelně. Ekvivalentní konstanta:

k₁₂ = k₁ +k₂ = 300 + 300 = 600 N/m

Jaro 3 (k₃) a pružina 12 (k₁₂) jsou zapojeny sériově. Ekvivalentní konstanta:

1/k = 1/k₃ + 1/k₁₂ = 1/300 + 1/600 = 2/600 + 1/600 = 3/600

k = 600/3 = 200 N/m

Určete změnu délky tří pružin:

Δx = w / k = 20/200 = 2/20 = 1/10 = 0.1 m

3. Tři pružiny jsou zapojeny sériově a paralelně, jak je znázorněno na obrázku níže. Pokud je konstanta pružiny k = 50 Nm^-1 a hmotnost 400 gramů připevněnou na jednom konci pružiny. Jaká je změna délky těchto tří pružin?

Známý:

Tuhost pružiny 1 (k₁) = k = 50 Nm^-1

Tuhost pružiny 2 (k₂) = k = 50 Nm^-1

Tuhost pružiny 3 (k₃) = 2k = 2 (50 Nm^-1) = 100 Nm^-1

Hmotnost objektu (m) = 400 gramů = 0.4 kg

Gravitační zrychlení (g) = 10 m/s²

Hmotnost objektu (w) = mg = (0.4)(10) = 4 Newtonů

Hledá se: Změna délky (Δx)

Řešení:

Určete ekvivalentní konstantu:

Jaro 1 (k₁) a pružina 2 (k₂) jsou zapojeny paralelně. Ekvivalentní konstanta:

k₁₂ = k₁ +k₂ = 50 + 50 = 100 N/m

Jaro 3 (k₃) a pružina 12 (k₁₂) jsou zapojeny sériově. Ekvivalentní konstanta:

1/k = 1/k₃ + 1/k₁₂ = 1/100 + 1/100 = 2/100

k = 100/2 = 50 N/m

Určete změnu délky tří pružin:

Δx = w / k = 4 / 50 = = 0.08 m = 8 cm

Jak ovlivňuje sériové zapojení pružin celkovou tuhost pružiny?
- Odpověď: Když jsou pružiny zapojeny do série, celková konstanta pružiny se snižuje. Převrácená hodnota ekvivalentní konstanty pružiny je součtem převrácených hodnot jednotlivých konstant pružiny: 1/k $=20 000/ k ^{1} + 1 / k ^{2}$ .
Jak se změní celková tuhost pružiny, když jsou pružiny zapojené paralelně?
- Odpověď: Paralelní spojení pružin vede k celkové tuhosti pružiny, která je součtem jednotlivých tuhostí pružiny: k $= k_{1} + k_{2}$ .

Pokud jsou dvě identické pružiny uspořádány sériově, jak se porovná kombinovaná tuhost pružiny s tuhostí pružiny jednotlivé pružiny?
- Odpověď: Kombinovaná tuhost pružiny bude polovina tuhosti pružiny jedné z jednotlivých pružin.

Co se stane s prodloužením nebo stlačením pružin zapojených v sérii, když na ně působí síla?
- Odpověď: U pružin v sérii způsobuje stejná síla protažení nebo stlačení každé pružiny, ale celkové prodloužení (nebo stlačení) je součtem prodloužení (nebo stlačení) jednotlivých pružin.

Pokud na pružiny zapojené rovnoběžně působí síla, jak se tato síla rozloží?
- Odpověď: U pružin zapojených paralelně je síla rozložena mezi pružiny na základě jejich konstanty pružiny. Pružiny s vyšší konstantou pružiny přenesou větší část síly než pružiny s nižší konstantou pružiny.
Proč lze pružiny v sérii považovat za jednu pružinu s delší délkou?
- Odpověď: Pružiny zapojené v sérii mají kombinovaný účinek ekvivalentní natažení jedné delší pružiny. Protažení nebo stlačení jednotlivých pružin se sčítá, stejně jako u delší samostatné pružiny.

Jak se porovnává potenciální energie uložená v pružinách zapojených sériově s potenciální energií uloženou v pružinách zapojených paralelně při stejné aplikované síle?
- Odpověď: Pružiny zapojené v sérii ukládají při stejné aplikované síle více potenciální energie než pružiny zapojené paralelně, protože se při jejich společném prodloužení nebo stlačení projeví větším celkovým tlakem.
Pokud se jedna z pružin v paralelním uspořádání zlomí nebo se stane neúčinnou, co se stane s celkovým chováním systému?
- Odpověď: Pokud se jedna pružina v paralelním uspořádání zlomí, zbývající pružiny budou stále fungovat. Celková konstanta pružiny systému se však sníží a systém nebude schopen vyvinout tak velkou vratnou sílu jako dříve.

Proč jsou pružiny zapojené sériově náchylnější k větším deformacím než pružiny zapojené paralelně při stejné aplikované síle?
- Odpověď: U pružin zapojených v sérii působí na každou pružinu stejná síla, která způsobuje, že se každá z nich roztahuje nebo stlačuje. Celková deformace je součtem jednotlivých deformací. Při paralelním zapojení je síla rozložena mezi pružiny, takže každá z nich vykazuje sníženou efektivní sílu, což vede k menším jednotlivým deformacím.
Proč by se v praktických aplikacích inženýři mohli rozhodnout použít pružiny paralelně namísto sériového zapojení?

Odpověď: Inženýři mohou zvolit pružiny paralelně, aby dosáhli vyšší celkové konstanty pružiny, což by vedlo k tužšímu chování. Toto uspořádání může také poskytnout redundanci; pokud jedna pružina selže, systém nadále funguje, i když se sníženou celkovou konstantou pružiny.