Hookeův zákon a elasticita – problémy a řešení

Hookeův zákon a elasticita – problémy a řešení

Změna délky

1. Tyč má délku L a je tažena silou F. Prodloužení je ∆L. Jaká je velikost síly, pokud změna délky je 4∆L?

Známý:

Síla 1 (F1 ₎ = F

Změna délky 1 (∆L ₁ ) = ∆L

Změna délky 2 (∆L² ₎ = 4 ∆L

Hledá se: Síla 2 (F ₂ )

Řešení:

Rovnice Hookeova zákona

k = F / AL

k = konstanta pružnosti, F = síla F, ΔL = změna délky

k1 = _k2​

F1 _/ ∆L1 = _F2 / _∆L2​

F / ΔL = F² _/ 4ΔL

F/1 = F² _/ 4

F = F² _/ 4

F² = _4F

2. Tyto pružiny jsou zapojeny sériově-paralelně, jak je znázorněno na obrázku níže. Pružina 1 má konstantní tuhost 200 N/m, pružina 2 má konstantní tuhost 200 N/m a pružina 3 má konstantní tuhost 200 N/m. Hmotnost tělesa je 100 gramů a zrychlení v důsledku gravitace je 10 m/s²Jaká je změna délky ο ekvivalentní jaro.

Známý:

Hmotnost objektu (m) = 100 gramů = 0.1 kg

k1 ₌ k2 = k3 _{= 200} N/m

w = mg = (0.1 kg)(10 m/s² ⁾ = 1 kg m/s² ⁼ 1 Newton

Hledá se: Změna délky ekvivalentní pružiny.

Řešení:

Určete ekvivalent konstanta pružiny:

Pružina 2 (k² ₎ a pružina 3 (k³ ₎ jsou zapojeny paralelně. Ekvivalentní konstanta pružiny:

kp ₌ k2 ₊ k3 = 200 + 200 = 400 Nm ₋ ¹

Pružina 1 (k1 ₎ a pružina p (kP ₎ jsou zapojeny sériově. Ekvivalentní konstanta pružiny:

1/k _s = 1/k _p + 1/k ₁ = 1/400 + 1/200 = 1/400 + 2/400 = 3/400

k _s = 400/3 Nm ⁻¹

Ekvivalentní tuhost pružiny je 400/3 Nm ^-1

Určete změnu délky ekvivalentní pružiny :

Rovnice Hookeova zákona:

∆x = F / k = w / k

Změna délky ekvivalentní pružiny :

∆x = w / k

∆x = 1 : 400/3 = 1 x 3/400 = 3/400 = 0.0075 m = 0.75 cm

Konstanta jara

3. Jaká je konstanta pružiny podle údajů v tabulce níže?

Řešení:

Rovnice Hookeova zákona:

k = F / Δx

Konstanta pružiny:

k = 0.98 / 0.0008 = 1.96 / 0.0016 = 2.94 / 0.0024 = 3.92 / 0.0032 = 1.225 N/m

4. Tři pružiny jsou zapojeny sériově-paralelně, jak je znázorněno na obrázku níže. Konstanty pružiny k1 ₌ k2 ₌ 3 Nm ⁻¹ a k3 ₌ 6 Nm ⁻¹ . Jaká je konstanta ekvivalentní pružiny?

Známý:

Konstanta pružiny 1 (k1 ₎ = konstanta pružiny 2 (k2 ₎ = 3 Nm ⁻¹

Konstanta pružiny 3 (k³ ₎ = 6 ^Nm⁻¹

Hledaná konstanta ekvivalentní pružiny (k)

Řešení:

Pružina 1 (k1 ₎ a pružina 2 (k2 ₎ jsou zapojeny paralelně. Konstanta ekvivalentní pružiny:

kp ₌ k1 ₊ k2 = 3 + 3 = 6 Nm ₋ ¹

Pružina p (kP ₎ a pružina 3 (k3 ₎ jsou zapojeny sériově. Konstanta ekvivalentní pružiny:

1/k _s = 1/k _p + 1/k ₃ = 1/6 + 1/3 = 1/6 + 2/6 = 3/6

k _s = 6/2 = 3 Nm ⁻¹

Konstanta ekvivalentní pružiny = 3 Nm ⁻¹.

5. Pružina o délce L, tažená silou w. Jaká je konstanta ekvivalentní pružiny podle údajů v tabulce níže?

Řešení:

k = F / Δx

Konstanta pružiny:

k = 10 / 0.02 = 20 / 0.04 = 30 / 0.06 = 40 / 0.08 = 500 N/m

6. Jaká je konstanta ekvivalentní pružiny podle údajů v tabulce níže?

Řešení:

k = F / Ax = w / Ax = mg / Ax

k = konstanta pružnosti, w = hmotnost, m ​​= hmotnost, g = gravitační zrychlení, Δx = změna délky

Konstanta pružiny:

k = 2 / 0.05 = 4 / 0.1 = 6 / 0.15 = 8 / 0.20 = 10 / 0.25 = 40 N/m

7. Pokud k ₁ = 4k, jaká je konstanta ekvivalentní pružiny.

Řešení:

Dvě pružiny jsou zapojeny paralelně. Konstanta ekvivalentní pružiny:

kp ₌ k + k = 2k

Dvě pružiny jsou zapojeny sériově. Konstanta ekvivalentní pružiny

1/k _s = 1/k _p + 1/k ₁ = 1/2k + 1/4k = 2/4k + 1/4k = 3/4k

k ₌ 4k/3

8. Jaká je konstanta ekvivalentní pružiny podle údajů v tabulce níže?

Řešení:

Rovnice Hookeova zákona:

k = F / ΔL

Konstanta pružiny:

k = 2 / 0.0050 = 3 / 0.0075 = 4 / 0.01 = 400 Nm ^-1

9. Nejmenší konstanta je…

Řešení

Rovnice Hookeova zákona:

k = F / Δx

k = konstanta pružnosti, F = síla, Δx = změna délky

Konstanta pružnosti:

k _A = F / Δx = 1 / 0.05 = 20 N/m

kB = F / Δx = 2 / 0.025 = 80 N/ _m

kC = F / Δx = 1 / 0.025 = 40 N/ _m

kD ₌ F / Δx = 2 / 0.05 = 40 N/m

k _E = F / Δx = 2 / 0.25 = 8 N/m

10. Jaká je největší konstanta podle údajů v tabulce níže?

Řešení:

Rovnice Hookeova zákona:

k = F / Δx

kA ₌ 7 / 0.035 = 200 Nm ^-1

kB = 8 ^/ 0.025 = 320 Nm _-1

kC = 6 / 0.020 = 300 _Nm ^-1

kD = 9 / 0.045 = 200 _Nm ^-1

kE = 10 / 0.033 = 303 _Nm ^-1

Největší konstanta je 320 ^Nm⁻¹.

11. Níže uvedený graf znázorňuje souvislost mezi změnou síly (ΔF) a zvětšením délky (Δx). Jaký je graf znázorňující nejmenší konstantu pružnosti?

Řešení

Rovnice Hookeova zákona:

k = F / Δx

Δx = změna délky, F = síla, k = konstanta pružnosti

Konstanta pružnosti:

kA ₌ F / Δx = 1 / 8 = 0.125

kB = F / Ax = 8 / 3 = _2.7

kC = F / Δx = 6 / 6 = ₁

kD = F / Δx = 3 / 5 = _0.6

kE ₌ F / Δx = 2 / 4 = 0.5

12. Který graf h má největší elastické konstanty?

Řešení:

Konstanta pružnosti :

kA ₌ F / Δx = 50 / 10 = 5

kB = F / Ax = 50 / 0.1 = ₅₀₀

kC = F / Δx = 5 / 0.1 = ₅₀

kD = F / Δx = 500 / 0.1 = ₅₀₀₀

kE ₌ F / Δx = 500 / 10 = 50

Potenciální energie pružiny:

13. Níže uvedený graf znázorňuje vztah mezi silou a změnou délky pružiny. Jaká je potenciální energie pružiny podle níže uvedeného grafu?

Známý:

F = 40 N.

x = 0.08 metru

Hledá se : Potenciální energie jara

Řešení:

Konstanta pružiny:

k = F / Δx = 40 / 0.08 = 500 N/m

Potenciální energie pružiny:

PE = 1/2 kx ² = 1/2 (500) (0.08) = (250) (0.08) = 20 joulů

14. K pružině je připevněn kvádr o hmotnosti 2 kg. Pokud se délka pružiny zvětší o 5 cm a gravitační zrychlení je 10 m/s² ^, jaká je potenciální energie pružiny?

Známý:

Zvětšení délky (Δx) = 5 cm = 0.05 metru

Gravitační zrychlení (g) = 10 m/ ^s²

Hmotnost bloku (m) = 2 kg

Hmotnost bloku (w) = mg = (2)(10) = 20 Newtonů

Hledá se: potenciální energie jara

Řešení:

Konstanta pružnosti:

k = w / Δx = 20 / 0.05 = 400 N/m

Potenciální energie pružiny:

PE = ½ k Δx ² = ½ (400) (0.05) ² = (200) (0.0025)

PE = 0.5 joulů

15. Změna délky pružiny je 5 cm, když je tažena silou 20 N. Jaká je potenciální energie pružiny, když se změna délky pružiny 10 cm?

Známý:

Změna délky (Δx) = 5 cm = 0.05 metru

Síla (F) = 20 Newtony

Hledá se : Potenciální energie jara

Řešení:

Konstanta pružiny:

k = F / Δx = 20 / 0.05 = 400 N/m

Potenciální energie pružiny při Δx = 10 cm = 0.1 m:

PE = ½ k Δx ² = ½ (400) (0.1) ² = (200) (0.01)

PE = 2 joulů

Hmotnost objektu

16. Čtyři pružiny, kde konstanta každé pružiny je 800 N/m, zapojené sériově-paralelně, jak je znázorněno na obrázku. K pružině je připevněn blok. Změna délky všech pružin je 5 cm. Jaká je hmotnost bloků?

Známý:

k1 ₌ k2 = k3 ₌ k4 _{= 800} Nm ⁻¹

Δx = 5 cm = 0.05 m

Hledá se: hmotnost bloku (w)

Řešení:

Určete konstantu ekvivalentní pružiny

Jaro 1 (k₁), pružina 2 (k₂) a pružina 3 (k₃) jsou zapojeny paralelně. Konstanta ekvivalentní pružiny:

kp ₌ k1 ₊ k2 + k3 ₌ 800 + 800 + 800 = 2400 Nm ₋ ¹

Pružina p (kP ₎ a pružina 4 (k4 ₎ jsou zapojeny sériově. Konstanta ekvivalentní pružiny:

1/k _s = 1/k _p + 1/k ₄ = 1/2400 + 1/800 = 1/2400 + 3/2400 = 4/2400

k _s = 2400/4 = 600 Nm ⁻¹

Konstanta ekvivalentní pružiny je 600 Nm ^-1

Určete hmotnost předmětu:

Rovnice Hookeova zákona:

F = k Δx nebo w = k Δx

Hmotnost objektu:

w = (600 Nm ^-1 )(0.05 m) = 30 Newtonů

17. Čtyři pružiny jsou zapojeny sériově-paralelně. Konstanta každé pružiny je 1600 N/m. Na konci pružiny je připevněn blok, jak je znázorněno na obrázku. Zvětšení délky všech pružin je 5 cm. Jaká je hmotnost bloků?

Známý:

k1 ₌ k2 = k3 ₌ k4 _{= 1600} Nm ⁻¹

Δx = 5 cm = 0.05 m

Požadovaná hmotnost bloku

Řešení:

Určete konstantu ekvivalentní pružiny

Jaro 1 (k₁), pružina 2 (k₂) a pružina 3 (k₃) jsou zapojeny paralelně. Konstanta ekvivalentní pružiny:

kP = k1 ₊ k2 ₊ k3 ₌ 1600 + 1600 + 1600 = 4800 Nm ₋ ¹

Pružina p (kP ₎ a pružina 4 (k4 ₎ jsou zapojeny sériově. Konstanta ekvivalentní pružiny:

1/k _s = 1/k _p + 1/k ₄ = 1/4800 + 1/1600 = 1/4800 + 3/4800 = 4/4800

k _s = 4800/4 = 1200 Nm ⁻¹

Konstanta ekvivalentní pružiny je 1200 Nm ^-1

Určete hmotnost předmětu:

Rovnice Hookeova zákona:

F = k Δx nebo w = k Δx

Hmotnost objektu:

w = (1200 Nm ^-1 )(0.05 m) = 60 Newtonů

1. Co je Hookeův zákon?
   • Odpověď: Hookeův zákon popisuje vztah mezi silou působící na pružný objekt a výslednou deformací (obvykle prodloužením nebo stlačením). Konkrétně říká, že síla potřebná ke stlačení nebo prodloužení pružiny je přímo úměrná vzdálenosti, o kterou je natažena nebo stlačena, za předpokladu, že není překročena mez pružnosti.
2. Co to znamená, když říkáme, že materiál dosáhl své meze pružnosti?
   • Odpověď: Když materiál dosáhne své meze pružnosti, znamená to, že se po odstranění deformační síly již nevrací do původního tvaru ani velikosti. Za touto hranicí se materiál chová plasticky a může se trvale deformovat.
3. Jak souvisí tuhost pružiny (k) s tuhostí pružiny?
   • Odpověď: Konstanta tuhosti pružiny (k) je mírou tuhosti pružiny. Vyšší hodnota k značí tužší pružinu, což znamená, že k její deformaci o danou míru je potřeba větší síla, zatímco menší k značí poddajnější nebo měkčí pružinu.
4. Jaké jsou jednotky tuhosti pružiny v soustavě SI?
   • Odpověď: V soustavě SI jsou jednotky pro tuhost pružiny (k) newtony na metr (N/m).
5. Proč je chování popsané Hookovým zákonem považováno za lineární?
   • Odpověď: Chování je považováno za lineární, protože vztah mezi aplikovanou silou (F) a posunutím (x) je přímka, přičemž vztah je dán jako $F=kx$, kde k je konstanta pro daný materiál nebo pružinu.
6. Platí Hookeův zákon pouze pro pružiny?
   • Odpověď: Ne, Hookeův zákon platí pro jakýkoli elastický materiál, který se lineárně deformuje s aplikovanou silou až do své meze pružnosti. Pružiny jsou sice běžným příkladem, ale chování popsané Hookeovým zákonem mohou vykazovat i jiné materiály, jako jsou gumové pásy, kovy s malými deformacemi a některé biologické tkáně.
7. Co se stane, když se materiál natáhne nad svou mez pružnosti, ale ne natolik, aby se přetrhl?
   • Odpověď: Pokud je materiál natažen za hranici své pružnosti, ale ne do bodu přetržení, dojde k jeho plastické deformaci. To znamená, že po odstranění síly se materiál zcela nevrátí do původního tvaru a určitá trvalá deformace zůstane.
8. Jak se pojmy napětí a deformace vztahují k Hookeho zákonu?
   • Odpověď: Napětí je síla působící na jednotku plochy a deformace je relativní deformace materiálu. Hookeův zákon v pojmech napětí a deformace říká, že napětí je přímo úměrné deformaci, přičemž konstanta úměrnosti je Youngův modul pružnosti materiálu. Toto je další způsob, jak vyjádřit lineární vztah mezi silou a deformací, ale pro sypké materiály, nikoli pouze pro pružiny.
9. Co je Youngův modul a jak souvisí s elasticitou?
   • Odpověď: Youngův modul pružnosti, obvykle reprezentovaný písmenem $E$, je mírou tuhosti materiálu z hlediska tahu nebo stlačení. Popisuje schopnost materiálu odolávat deformaci při působení působící síly. Vyšší Youngův modul pružnosti značí tužší materiál a je definován jako poměr napětí k deformaci.
10. Lze všechny materiály popsat Hookovým zákonem?

• Odpověď: Ne, ne všechny materiály se chovají podle Hookeova zákona. Mnoho materiálů, zejména těch, které jsou nelineární, viskoelastické nebo plastické, nevykazuje lineární vztah mezi napětím a deformací. Hookeův zákon je idealizovaný popis a je nejpřesnější pro malé deformace elastických materiálů.