Dynamika částic – problémy a řešení
1. Předmět A o hmotnosti 6 kg a předmět B o hmotnosti 4 kg jsou spojeny šňůrou a taženy silou F = 60 N, jak je znázorněno na obrázku níže. Součinitel kinetického tření mezi podlahou a oběma předměty je 0.5 (tan θ = ¾). Gravitační zrychlení je 10 m/s² . Jaká je velikost tahové síly?
Známý:
Hmotnost objektu A (mA) = 6 kg
Hmotnost tělesa B (m B ) = 4 kg
Síla (F) = 60 Newtony
Součinitel kinetického tření mezi předmětem a podlahou (μk ) = 0.5
Gravitační zrychlení (g) = 10 m/s2
Tan θ = 3/4
Požadovaná: Napínací síla (T)
Řešení:
Horizontální složka síly F:
Fx = Fcosθ
F x = (60)(4/5) = (4)(12) = 48 N
Vertikální složka síly F:
F y = F sin θ
F y = (60)(3/5) = (3)(12) = 36 N
Normálová síla působící na těleso A:
N A = w A = m A g = (6)(10) = 60 N
Normálová síla působící na těleso B:
N B + F y – w B = 0
N B + F y = w B
N B = w B – F y = m B g – F y = (4)(10) – 36 = 40 – 36 = 4 N
Síla kinetického tření mezi objektem A a podlahou:
f kA = μ kN A = (0.5 ) (60) = 30 N
Síla kinetického tření mezi tělesem B a podlahou:
f kB = μ k N B = (0.5) (4) = 2 N
Vypočítejte zrychlení obou objektů:
ΣF = ma
F x – T + T – f kB – f kA = (m A + m B ) a
F x – f kB – f kA = (m A + m B ) a
48 – 2 – 30 = (6 + 4) a
16 = 10 a
a = 16/10
a = 1.6 m/ s²
Vypočítejte tahovou sílu:
Objekt A:
ΣF = ma
T A – f kA = m A a
TA – 30 = (6)(1.6)
TA – 30 = 9.6
TA = 9.6 + 30 = 39.6 N
Objekt B:
ΣF = ma
F x – f kB – T B = m B a
48 – 2 – T B = (4)(1.6)
46 – T B = 6.4
46 – 6.4 = T B
T B = 39.6 N
2. Pokud je koeficient kinetického tření mezi oběma bloky a podlahou 0.2, jaké je zrychlení obou těles? (cos 37 o = 0,8, sin 37 o = 0,6)
Známý:
Hmotnost objektu A (mA) = 4 kg
Hmotnost tělesa B (m B ) = 2 kg
Síla (F) = 30 Newtony
Součinitel kinetického tření mezi předmětem a podlahou (μk ) = 0.2
Gravitační zrychlení (g) = 10 m/s2
cos 37 o = 0.8
sin 37 o = 0.6
Hledá se: Zrychlení obou objektů
Řešení:
Horizontální složka síly F:
Fx = Fcosθ
F x = (30)(0.8) = 24 N
Vertikální složka síly F:
F y = F sin θ
F y = (30)(0.6) = 18 N
Normálová síla působící na těleso A:
N A = w A = m A g = (4)(10) = 40 N
Normálová síla působící na těleso B:
N B + F y – w B = 0
N B + F y = w B
N B = w B – F y = m B g – F y = (2)(10) – 18 = 20 – 18 = 2 N
Síla kinetického tření mezi objektem A a podlahou:
f kA = μ kN A = (0.2 ) (40) = 8 N
Síla kinetického tření mezi tělesem B a podlahou:
f kB = μ k N B = (0.2) (2) = 0.4 N
Zrychlení obou objektů:
ΣF = ma
F x – f kB – f kA = (m A + m B ) a
24 – 0.4 – 8 = (4 + 2) a
15.6 = 6 a
a = 15.6 / 6
a = 2.6 m/ s²
3. Dva objekty spojené šňůrou přes kladku, jak je znázorněno na obrázku níže. Hmotnost objektu A = m A , hmotnost f objektu B = m B a zrychlení bloku B je a. Gravitační zrychlení je g. Jaká je tahová síla působící na blok B?
Řešení:
Vodorovný povrch je hladký, takže nedochází k žádnému tření. Jedinou silou, která systém zrychluje, je hmotnost bloku B.
Zrychlení systému:
Napínací síla (T):
Dosaďte m₀ v rovnici 1 za m₀ v rovnici 2.
- Jaký je rozdíl mezi statikou a dynamikou v kontextu částic?
- Odpověď: Statika se zabývá studiem sil působících na částice v rovnováze, kde jsou všechny síly v rovnováze a nedochází k žádnému zrychlení. Dynamika se naopak zabývá studiem sil a výsledného pohybu částic, když jsou síly v nerovnováze, což způsobuje zrychlení.
- Jak se Newtonův druhý zákon vztahuje na pohyb částice?
- Odpověď: Newtonův druhý zákon říká, že síla působící na částici se rovná hmotnosti částice vynásobené jejím zrychlením: Tento zákon popisuje, jak síla ovlivní pohyb částice v závislosti na její hmotnosti a zrychlení vyvolaném silou.
- Co je princip zachování hybnosti a jak se uplatňuje u částic?
- Odpověď: Princip zachování hybnosti říká, že celková hybnost uzavřeného systému částic zůstává konstantní, pokud na systém nepůsobí žádné vnější síly. To znamená, že celková hybnost před a po interakci mezi částicemi v systému bude stejná.
- Jak se pojem práce vykonané na částici vztahuje k působící síle a posunu částice?
- Odpověď: Práce vykonaná na částici je součinem síly působící na částici, posunutí částice a kosinu úhlu mezi vektory síly a posunutí: .
- Jaký je rozdíl mezi kinetickou energií a potenciální energií v kontextu částice?
- Odpověď: Kinetická energie je energie částice v důsledku jejího pohybu a je dána vztahem 1/2 , Kde je hmotnost a je rychlost. Potenciální energie je energie uložená v částici v důsledku její polohy v silovém poli (například gravitačním nebo elektrickém poli). Konkrétní výraz pro potenciální energii závisí na síle působící na částici.
- Jak souvisí impuls působící na částici se změnou její hybnosti?
- Odpověď: Impuls působící na částici je součin síly působící na částici a doby, po kterou síla působí. Je roven změně hybnosti částice: .
- Co se rozumí pojmem „volná částice“ a jak se chová?
- Odpověď: Volná částice je taková, na kterou nepůsobí žádné síly. Podle prvního Newtonova zákona volná částice buď zůstane v klidu, pokud je zpočátku v klidu, nebo se bude pohybovat konstantní rychlostí, pokud je zpočátku v pohybu.
- Jakou roli hraje tření v dynamice částic?
- Odpověď: Tření je síla, která působí proti relativnímu pohybu mezi kontaktními povrchy. V kontextu dynamiky částic může tření zpomalit nebo zastavit pohyb částice v závislosti na směru a velikosti třecí síly.
- Jak je trajektorie částice ovlivněna centrální silou?
- Odpověď: Centrální síla je síla, která působí podél linie spojující částici s pevným bodem, nazývaným střed. Takové síly jsou běžné v gravitačních a elektrických interakcích a způsobují, že se částice pohybuje po dráze, která si udržuje specifický moment hybnosti kolem středu, což často vede k eliptickým nebo kruhovým drahám.
- Jaký je vztah mezi celkovou vnější silou působící na systém částic a rychlostí změny celkového lineárního momentu hybnosti systému?
- Odpověď: Podle druhého Newtonova zákona aplikovaného na systém částic se čistá vnější síla působící na systém rovná rychlosti změny celkového hybnosti systému: , Kde je celkový lineární moment hybnosti.
