Com calcular la variància: una guia completa
La variància és una estadística fonamental que s'utilitza en diversos camps, des de l'economia i l'enginyeria fins a la psicologia i l'estadística. Proporciona informació sobre fins a quin punt els valors d'un conjunt de dades es dispersen al voltant de la mitjana. En aquest article, explorarem com calcular la variància en profunditat, des de la definició fins als passos pràctics.
Pendahuluan
Per entendre la variància, hem d'entendre alguns conceptes bàsics en estadística. La variància és una mesura de fins a quin punt els valors d'un conjunt de dades es desvien de la mitjana. La variància es calcula com la mitjana de les diferències al quadrat entre cada valor i la mitjana. La variància proporciona una indicació de la "variabilitat" de les dades.
Definició de variància
Matemàticament, la variància és:
\[ \text{Variància} ( \sigma^2 ) = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i – \mu)^2 \]
On:
– \( \sigma^2 \) és la variància de la població.
– \(N\) és el nombre total de valors de la població.
– \(x_i \) és el valor de l'i-èssim individu.
– \( \mu \) és la mitjana de la població.
Per a les mostres, la fórmula de la variància és lleugerament diferent:
\[ \text{Variància de la mostra} ( s^2 ) = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2 \]
On:
– \(s^2 \) és la variància mostral.
– \(n\) és el nombre total de valors de la mostra.
– \(x_i \) és el valor de l'i-èssim individu de la mostra.
– \( \bar{x} \) és la mitjana mostral.
Passos per calcular la variància
Repassem els passos pràctics per calcular la variància a través d'un exemple concret.
Exemple: Càlcul de la variància poblacional
Suposem que tenim un petit conjunt de dades que consta dels valors següents: 2, 4, 6, 8, 10.
1. Pas 1: Calcula la mitjana
\[ \mu = \frac{2 + 4 + 6 + 8 + 10}{5} = 6 \]
2. Pas 2: Calcula la diferència de cada valor a partir de la mitjana i el quadrat d'ella
\[
\begin{alinear}
(2 – 6)^2 i = (-4)^2 = 16 \\
(4 – 6)^2 i = (-2)^2 = 4 \\
(6 – 6)^2 i = 0^2 = 0 \\
(8 – 6)^2 i = 2^2 = 4 \\
(10 – 6)^2 i = 4^2 = 16 \\
\end{alinear}
\]
3. Pas 3: Suma tots els quadrats de les diferències
[16 + 4 + 0 + 4 + 16 = 40]
4. Pas 4: Dividiu la suma dels quadrats de les diferències pel nombre de valors (N)
\[ \sigma^2 = \frac{40}{5} = 8 \]
Per tant, la variància poblacional d'aquestes dades és 8.
Exemple: Càlcul de la variància mostral
Ara, suposem que prenem una petita mostra del conjunt de dades anterior: 2, 4, 6.
1. Pas 1: Calcular la mitjana mostral
\[ \bar{x} = \frac{2 + 4 + 6}{3} = 4 \]
2. Pas 2: Calcula la diferència de cada valor a partir de la mitjana i el quadrat d'ella
\[
\begin{alinear}
(2 – 4)^2 i = (-2)^2 = 4 \\
(4 – 4)^2 i = 0^2 = 0 \\
(6 – 4)^2 i = 2^2 = 4 \\
\end{alinear}
\]
3. Pas 3: Suma tots els quadrats de les diferències
\[ 4 + 0 + 4 = 8 \]
4. Pas 4: Dividiu la suma dels quadrats de les diferències per (n – 1)
\[s^2 = \frac{8}{3-1} = \frac{8}{2} = 4 \]
Per tant, la variància mostral d'aquestes dades és 4.
Variància en la població i la mostra
És important entendre la diferència entre la variància poblacional i la variància mostral. La variància poblacional mesura la dispersió de les dades a tota la població, mentre que la variància mostral mesura la dispersió dins d'un subconjunt (mostra) de la població. En molts casos, la variància mostral s'utilitza per estimar la variància poblacional. Dividir per \((n-1) \) en el càlcul de la variància mostral redueix el biaix en l'estimació de la variància poblacional.
Aplicació de la variància
La variància s'utilitza en diverses aplicacions, com ara:
1. Anàlisi de riscos financers: En finances, la variància s'utilitza per mesurar el risc i gestionar carteres d'inversió. Una variància més alta significa una inversió més arriscada.
2. Ciències socials: En la recerca en psicologia o sociologia, la variància s'utilitza per mesurar les diferències entre grups de població.
3. Control de qualitat: En la fabricació, les variàncies s'utilitzen per supervisar i controlar la qualitat del producte.
4. Estadística experimental: s'utilitza per analitzar resultats experimentals i determinar la significació de les diferències.
Variància i desviació estàndard
La variància sovint s'utilitza juntament amb la desviació estàndard, que és l'arrel quadrada de la variància. La desviació estàndard proporciona una mesura de dispersió més directa i fàcil d'interpretar que la variància. L'equació entre les dues és:
\[ \text{Desviació estàndard} (\sigma) = \sqrt{\text{Variància} (\sigma^2)} \]
Conclusió
Calcular la variància és una part crucial de l'anàlisi estadística, ja que proporciona una mesura de la dispersió dins d'un conjunt de dades. En comprendre els conceptes bàsics i com calcular la variància, podem analitzar millor les dades, avaluar el risc i prendre decisions més informades.
Tant si s'utilitza la variància poblacional per a una anàlisi més científica com la variància mostral per a l'estimació a partir d'un subconjunt de dades, una comprensió completa de la variància ens ajuda a comprendre la diversitat de les dades i a aplicar-la a diverses situacions del món real. Esperem que aquest article proporcioni una guia pràctica i útil per entendre i calcular la variància.
