Tècniques per calcular la mitjana per a dades individuals i agrupades
La mediana és una mesura de tendència central que s'utilitza amb freqüència en estadística. A diferència de la mitjana, que suma tots els valors i després es divideix pel nombre de valors, la mediana emfatitza el "valor del mig" d'un conjunt de dades ordenades. A causa del seu enfocament en la posició, la mediana és relativament resistent als valors extrems (valors atípics), com ara quan un valor és molt gran o molt petit en comparació amb els altres. És per això que la mediana s'utilitza àmpliament en l'anàlisi de dades econòmiques, l'educació, la investigació social i fins i tot l'avaluació de puntuacions de proves.
En aquest article, parlarem de tècniques per calcular la mediana per a dos tipus de dades: dades individuals (no agrupades) i dades agrupades (presentades en una taula de distribució de freqüències). A més de la fórmula, la discussió inclourà passos pràctics per a una implementació fàcil.
-
1. Concepte bàsic de mediana
La mediana és el valor del mig després d'ordenar les dades de més petit a més gran. Si el nombre de punts de dades és senar, la mediana és el valor exacte del mig. Si el nombre de punts de dades és parell, la mediana és la mitjana dels dos valors del mig.
Intuïtivament, la mediana divideix les dades en dues parts:
– El 50% de les dades estan per sota (o iguals a) la mediana
– El 50% de les dades estan per sobre (o iguals a) la mediana
Com que la mediana es basa en l'ordre, el primer pas que gairebé sempre cal és ordenar les dades.
-
2. Càlcul de la mitjana per a dades individuals
Les dades individuals són dades que es presenten tal com són (per exemple, una llista de notes dels estudiants), no resumides en classes d'intervals com en les dades de grup.
A. Passos generals
1. Ordena les dades del valor més petit al més gran.
2. Determineu la quantitat de dades, per exemple n.
3. Determineu la posició de la mediana:
– Si n és senar, la mediana es troba a la posició \((n+1)/2\).
– Si n és parell, la mediana és la mitjana de les dades a les posicions \(n/2\) i \((n/2)+1\).
B. Fórmula de la mitjana per a dades individuals
– Si n és senar:
\[
Me = x_{(n+1)/2}
\]
Això significa que la mediana és el valor de les dades en l'ordre \((n+1)/2\).
– Si n és parell:
\[
Me = \frac{x_{n/2} + x_{(n/2)+1}}{2}
\]
C. Exemple de dades individuals (n senars)
Dades: 7, 2, 9, 4, 3
1) Ordena: 2, 3, 4, 7, 9
2) n = 5 (senar)
3) Posició mitjana = \((5+1)/2 = 3\)
Mediana = 3a dada = 4
Per tant, la mediana de les dades és 4.
D. Exemple de dades individuals (n parells)
Dades: 10, 4, 6, 8
1) Ordena: 4, 6, 8, 10
2) n = 4 (parell)
3) La posició central són les dades 2a i 3a
Mediana = ((6 + 8)/2 = 7)
Per tant, la mediana de les dades és 7.
E. Nota important: Dades que tenen freqüència
De vegades, un sol conjunt de dades es pot donar com a valor i una freqüència (per exemple, 60 apareix dues vegades, 70 apareix cinc vegades). En aquest cas, la mediana encara es troba en funció de l'"ordre" de les dades, però podem utilitzar la freqüència acumulada per determinar la posició mediana sense enumerar els punts de dades individualment. El principi és el mateix: trobar la posició (n+1)/2a (senar) o la posició (n/2) i (n/2)+1a (parell) i després mirar els valors que cobreixen aquesta posició en funció de la freqüència acumulada.
-
3. Càlcul de la mitjana per a dades agrupades
Les dades agrupades són dades que s'han resumit en intervals de classe i les seves freqüències. Per exemple: 3 persones amb una alçada de 150–154 cm, 8 persones amb una alçada de 155–159 cm, etc. A diferència de les dades individuals, la mediana de les dades agrupades no sol determinar-se amb precisió perquè no coneixem els valors individuals dins de l'interval. Per tant, la mediana es calcula mitjançant una aproximació (estimació) utilitzant la fórmula de la mediana per a distribucions agrupades.
A. Termes importants en la mitjana de dades de grup
Abans d'utilitzar la fórmula, hem d'entendre diversos components:
– n = freqüència total (nombre total de dades)
– n/2 = posició mediana acumulada
– Classe mediana = la primera classe d'interval que produeix una freqüència acumulada ≥ n/2
– L = vora inferior de la classe mediana (no el límit inferior, sinó la vora de la classe; per a dades contínues normalment s'utilitza un ajust de 0,5 si les dades són nombres enters)
– F = freqüència acumulada abans de la classe mediana
– f = freqüència mediana de classe
– c = longitud de la classe (amplada de l'interval)
B. Passos per determinar la mitjana de les dades del grup
1. Crea una taula de distribució de freqüències i afegeix una columna de freqüències acumulades.
2. Calcula n (nombre de freqüències) i determina n/2.
3. Determineu la classe mediana, és a dir, la classe que inclou n/2 posicions basades en la freqüència acumulada.
4. Introduïu els valors a la fórmula de la mediana per a les dades del grup.
C. Fórmula de la mitjana per a dades de grup
\[
Me = L + (\frac{\frac{n}{2} – F}{f}) \times c
\]
Aquesta fórmula realitza una interpolació lineal dins de la classe mediana, assumint que les dades estan distribuïdes uniformement al llarg de l'interval de classe.
D. Exemple de mediana de dades d'un grup
Per exemple, les dades següents de les puntuacions de les proves:
| Interval de valor | Freqüència (f) |
|—|—:|
| 40–49 | 5 |
| 50–59 | 8 |
| 60–69 | 12 |
| 70–79 | 10 |
| 80–89 | 5 |
1) Freqüència total:
\[
n = 5 + 8 + 12 + 10 + 5 = 40
\]
2) Calcula n/2:
\[
n/2 = 20
\]
3) Freqüència acumulada:
– 40–49: 5
– 50–59: 5 + 8 = 13
– 60–69: 13 + 12 = 25
– 70–79: 35
– 80–89: 40
La posició 20 és a la classe amb la primera puntuació acumulada ≥ 20, és a dir, 60–69. Per tant, aquesta és la classe mitjana.
4) Determineu els components:
– L = vora inferior de la classe mediana. Per a l'interval 60–69, la vora inferior és 59,5 (si les dades són un valor enter).
– F = freqüència acumulada abans de la classe mediana = 13
– f = freqüència mediana de classe = 12
– c = longitud de la classe = 10
5) Introduïu a la fórmula:
\[
Me = 59,5 + (20 – 13/12) × 10
\]
\[
Me = 59,5 + (7/12) × 10
\]
\[
Jo = 59,5 + 5,833… = 65,333…
\]
Així doncs, la mediana de les dades del grup és aproximadament 65,33.
-
4. Errors comuns
Alguns errors comuns en calcular la mediana:
1. No s'ordenen les dades per dades individuals, de manera que el valor del mig no és precís.
2. Determinar incorrectament la posició de la mediana quan n és parell (cal prendre la mitjana dels dos valors del mig).
3. Per a dades de grup, és incorrecte triar la classe mediana perquè no crea una freqüència acumulada.
4. Ús del límit inferior de la classe de vora inferior (L) quan les dades són nombres enters continus/d'interval.
5. Determinació incorrecta de la longitud de la classe (c), especialment si els intervals són inconsistents.
-
5. Conclusió
La mediana és una mesura senzilla però potent de tendència central, especialment quan les dades contenen valors extrems. Per a conjunts de dades individuals, la mediana es determina directament des de la posició central després d'ordenar les dades, amb un tractament diferent per a nombres parells i senars de conjunts de dades. Mentrestant, per a conjunts de dades agrupats, la mediana es calcula mitjançant una fórmula d'interpolació basada en la classe de la mediana, la freqüència acumulada i la longitud de la classe.
Si enteneu el concepte i els passos, podeu calcular la mediana de manera ràpida i precisa, tant amb dades simples com amb dades resumides en taules. En moltes situacions analítiques, la mediana és una opció més representativa que la mitjana, especialment quan la distribució de dades és asimètrica o conté valors atípics.
Si voleu, també puc afegir preguntes de pràctica juntament amb debats per reforçar la vostra comprensió de la mediana de dades individuals i de grup.
