Com calcular quartils, decils i percentils en dades estadístiques
En estadística, sovint necessitem saber la posició d'un valor dins d'un conjunt de dades. Calcular simplement la mitjana o la mediana no és suficient, ja que aquestes mesures no descriuen com es distribueixen les dades ni com es compara una observació amb altres. Aquí és on entren en joc els quartils, els decils i els percentils. Aquestes tres són mesures posicionals que divideixen les dades ordenades en parts iguals. Aquest article tracta la definició, els passos generals i com calcular quartils, decils i percentils tant per a dades individuals com agrupades.
-
1. Concepte bàsic: les dades s'han d'ordenar
Abans de calcular quartils, decils o percentils, el pas més important és ordenar les dades de més petit a més gran. Un cop ordenades les dades, podem determinar la ubicació dels quartils, decils o percentils en funció de la posició dels seus índexs.
En general:
– Els quartils divideixen les dades en 4 parts.
– Els decils divideixen les dades en 10 parts.
– Els percentils divideixen les dades en 100 parts.
A la pràctica, els quartils, els decils i els percentils s'utilitzen habitualment per a l'anàlisi de puntuacions de proves, dades d'ingressos, mesures antropomètriques (alçada/pes) i avaluació del rendiment.
-
2. Com calcular quartils (Q1, Q2, Q3)
A. Quartils en dades individuals (no agrupades)
Els quartils consten de:
– Q1: quartil inferior (el 25% de les dades estan per sota)
– Q2: mediana (50%)
– Q3: quartil superior (75%)
Passos per calcular quartils de dades individuals:
1. Ordena les dades.
2. Calcula la posició del quartil utilitzant la fórmula de posició:
– Posició Q1 = \((n+1)/4\)
– Posició Q2 = \(2(n+1)/4\) o \((n+1)/2\)
– Posició Q3 = \(3(n+1)/4\)
Si la posició és un nombre enter, preneu el valor en aquesta posició. Si la posició és una fracció, interpoleu-ho (preneu el valor entre els dos punts de dades més propers).
Un exemple ràpid:
Dades ordenades: 4, 6, 7, 8, 10, 12, 13, 15 (n = 8)
La posició Q1 = (8+1)/4 = 2,25 → es troba entre la 2a i la 3a dada.
Així doncs, Q1 està entre 6 i 7. Interpolació:
Q1 = 6 + 0,25(7−6) = 6,25.
-
B. Quartils en dades agrupades (distribució de freqüències)
Per a dades agrupades (per exemple, intervals de classe), els quartils es calculen mitjançant la fórmula:
\[
Q_k = L + (\frac{\frac{k}{4}n – F)}{f}) × c
\]
Informació:
– \(Q_k\): k-èsim quartil (k = 1,2,3)
– \(L\): vora inferior de la classe quartil
– \(n\): nombre de dades (freqüència total)
– \(F\): freqüència acumulada abans de la classe quartil
– \(f\): freqüència en la classe de quartils
– \(c\): longitud de la classe
Passos generals:
1. Crea una freqüència acumulativa.
2. Determineu la ubicació del quartil: \(k/4 \times n\).
3. Trobeu la classe que conté aquesta posició.
4. Introduïu la fórmula.
-
3. Com calcular els decils (D1 a D9)
Els decils divideixen les dades en 10 parts, de manera que:
– \(D_1\) indica el límit inferior del 10% de les dades,
– \(D_5\) és igual a la mediana,
– \(D_9\) indica el límit de dades del 90%.
A. Decils en dades individuals
Fórmula de la posició decil:
\[
\text{Posició } D_k = \frac{k(n+1)}{10}
\]
amb \(k = 1, 2, \dots, 9\).
Un cop obtinguda la posició, el mètode per prendre el valor és el mateix que per al quartil: si és enter, es pren directament, si és fraccionari, s'interpola.
-
B. Decils en dades agrupades
Fórmula de decil per a dades agrupades:
\[
D_k = L + (\frac{\left(\frac{k}{10}n – F)}{f) × c
\]
La descripció és la mateixa que la del quartil, només que el divisor és 10.
Pas:
1. Calcula ∫k/10⁻⁵ per n).
2. Determina la classe de decil en funció de la freqüència acumulada.
3. Substituïu a la fórmula.
Els decils s'utilitzen sovint en l'anàlisi econòmica, per exemple dividint els ingressos de les persones en 10 grups (el decil 1 és el més pobre i el decil 10 és el més ric).
-
4. Com calcular els percentils (P1 a P99)
Els percentils són més detallats perquè divideixen les dades en 100 parts. El valor P25 = Q1, P50 = mediana i P75 = Q3. Això significa que els quartils són en realitat un cas especial de percentils.
A. Percentils en dades individuals
Fórmula de la posició percentil:
\[
\text{Posició } P_k = \frac{k(n+1)}{100}
\]
amb \(k = 1, 2, \dots, 99\).
El procediment és el mateix: ordenar les dades, calcular la posició i després prendre el valor o interpolar.
-
B. Percentils en dades agrupades
Fórmula percentil de dades agrupades:
\[
P_k = L + (\frac{\left(\frac{k}{100}n – F)}{f) \right) × c
\]
Els passos són idèntics als decils/quartils:
1. Determineu la posició \(k/100 \times n\).
2. Trobeu la classe percentil de la freqüència acumulada.
3. Utilitza la fórmula.
Els percentils s'utilitzen sovint en avaluacions acadèmiques i de salut. Per exemple, l'alçada d'un nen al percentil 80 significa que el nen és més alt que el 80% dels nens de la seva edat.
-
5. Consells importants i errors comuns
1. Les dades s'han d'ordenar (especialment per a dades individuals). Sense ordenació, els quartils/decils/percentils no tenen sentit.
2. Assegureu-vos d'utilitzar vores de classe en dades agrupades (no límits de classe) si utilitzeu conceptes continus.
3. La freqüència acumulada ha de ser correcta, perquè la classe quartil/decil/percentil es determina a partir de la freqüència acumulada.
4. Presteu atenció a la longitud de la classe (c). La longitud de la classe no ha de ser incorrecta, ja que afecta els resultats del càlcul.
5. La interpolació és important quan les posicions no s'arrodoneixen. Molts estudiants arrodoneixen immediatament les posicions, tot i que això pot reduir la precisió.
-
6. Conclusió
Els quartils, els decils i els percentils són eines estadístiques importants per comprendre la distribució de les dades. Els quartils són adequats per a resums senzills (per exemple, en un diagrama de caixa), els decils són útils per a agrupacions més detallades com ara l'anàlisi d'ingressos, mentre que els percentils ajuden a avaluar la posició d'un individu molt específic dins de la població. Si enteneu els passos bàsics (ordenar dades, determinar la posició i utilitzar les fórmules adequades per a dades individuals o agrupades), podeu calcular quartils, decils i percentils amb més precisió i confiança.
Si vols, puc afegir un exemple complet d'una taula de dades agrupades (interval, freqüència, freqüència acumulada) i després calcular Q1, D7 i P85 en detall per facilitar la pràctica.
