Fórmula de Bernoulli: principis i aplicacions
El principi de Bernoulli és un concepte fonamental en mecànica de fluids, descobert per Daniel Bernoulli, un científic suís, al segle XVIII. Aquest principi explica la relació entre la velocitat d'un flux de fluids i la pressió dins d'aquest flux. Aquest article tractarà en profunditat la fórmula de Bernoulli, els seus conceptes bàsics, les derivacions matemàtiques, els exemples de càlcul i les seves aplicacions a la vida quotidiana.
Comprensió de la fórmula de Bernoulli
La fórmula de Bernoulli estableix que en un flux de fluid ideal (sense fricció), la quantitat d'energia mecànica (energia potencial, energia cinètica i pressió) per unitat de volum és constant al llarg del flux. Aquesta fórmula s'expressa com:
\[ P + \frac{1}{2} rho v^2 + rho gh = \text{constant} \]
On:
– \(P\) és la pressió del fluid (en pascals, Pa),
– \( \rho \) és la densitat del fluid (en quilograms per metre cúbic, kg/m³),
– \(v \) és la velocitat del flux de fluid (en metres per segon, m/s),
– \(g\) és l'acceleració deguda a la gravetat (en metres per segon al quadrat, m/s²),
– \(h\) és l'alçada del fluid per sobre de la referència (en metres, m).
Principi de Bernoulli
El principi de Bernoulli es basa en la llei de conservació de l'energia. En el flux de fluids, l'energia total d'un sistema ha de romandre constant si no s'afegeix ni es treu energia del sistema. L'energia total per unitat de volum consisteix en:
1. Energia de pressió (\(P \)): Energia causada per la pressió del fluid.
2. Energia cinètica (\( \frac{1}{2} \rho v^2 \)): Energia causada pel moviment del fluid.
3. Energia potencial gravitatòria (\( \rho gh \)): Energia causada per la posició d'un fluid en un camp gravitatori.
Derivació matemàtica de la fórmula de Bernoulli
Per entendre la derivació de la fórmula de Bernoulli, considerem un petit element de fluid que es mou en un flux amb una velocitat \(v \) des del punt 1 fins al punt 2. Si suposem que no hi ha pèrdua d'energia a causa de la fricció o la calor, l'energia total als punts 1 i 2 ha de ser la mateixa.
L'energia total al punt 1 (\(E_1 \)) és:
\[ E_1 = P_1 + \frac{1}{2} rho v_1^2 + rho gh_1 \]
L'energia total al punt 2 (\(E_2 \)) és:
\[ E_2 = P_2 + \frac{1}{2} rho v_2^2 + rho gh_2 \]
Com que l'energia total ha de ser constant:
\[ P_1 + \frac{1}{2} rho v_1^2 + rho gh_1 = P_2 + \frac{1}{2} rho v_2^2 + rho gh_2 \]
Això és el que s'anomena fórmula de Bernoulli.
Exemple de càlcul utilitzant la fórmula de Bernoulli
Suposem que tenim una canonada horitzontal amb aigua que flueix del punt A al punt B. Al punt A, la velocitat de l'aigua és de 2 m/s i la pressió és de 150,000 Pa. Al punt B, la velocitat de l'aigua és de 4 m/s. La densitat de l'aigua és de 1000 kg/m³. Calculeu la pressió al punt B.
Utilitzeu la fórmula de Bernoulli:
\[ P_A + \frac{1}{2} rho v_A^2 + rho gh_A = P_B + \frac{1}{2} rho v_B^2 + rho gh_B \]
Com que la canonada és horitzontal, \( h_A = h_B \), per tant, \( \rho gh \) en ambdós punts es pot negligir:
\[ P_A + \frac{1}{2} rho v_A^2 = P_B + \frac{1}{2} rho v_B^2 \]
Substituïu els valors coneguts:
\[ 150,000 + \frac{1}{2} \times 1000 \times (2)^2 = P_B + \frac{1}{2} \times 1000 \times (4)^2 \]
Calcula l'energia cinètica en ambdós punts:
\[ 150,000 + 2000 = P_B + 8000 \]
\[ 152,000 = P_B + 8000 \]
\[P_B = 152,000 – 8000\]
\[ P_B = 144,000 \, \text{Pa} \]
Per tant, la pressió al punt B és de 144,000 Pa.
Aplicació del principi de Bernoulli
1. Avions: El principi de Bernoulli s'utilitza en el disseny de les ales dels avions. La forma de l'ala d'un avió està dissenyada de manera que la velocitat de l'aire per sobre de l'ala sigui més gran que per sota de l'ala. Això resulta en una pressió més baixa per sobre de l'ala i una pressió més alta per sota de l'ala, creant la sustentació que permet que l'avió voli.
2. Vehicles de curses: El disseny aerodinàmic dels vehicles de curses utilitza el principi de Bernoulli per augmentar la velocitat i l'estabilitat. Els alerons i difusors s'utilitzen per regular el flux d'aire, augmentant la càrrega aerodinàmica, cosa que millora la tracció del vehicle a la carretera.
3. Flux sanguini al cos: el principi de Bernoulli també s'aplica al flux sanguini a través dels vasos sanguinis. Les diferències en la velocitat i la pressió del flux sanguini en diferents parts del cos es poden estudiar per diagnosticar afeccions mèdiques.
4. Mesurador Venturi: Un dispositiu que s'utilitza per mesurar el cabal de fluid en una canonada. Un mesurador Venturi té una secció més estreta, que provoca un augment de la velocitat del flux del fluid i una disminució de la pressió d'acord amb el principi de Bernoulli. La diferència de pressió entre les seccions ampla i estreta s'utilitza per calcular el cabal.
5. Polvoritzadors de perfum: Els polvoritzadors de perfum o polvoritzadors de líquid utilitzen el principi de Bernoulli. Quan es bufa aire a través d'un tub estret, la pressió de l'aire al voltant de l'extrem del tub disminueix, cosa que fa pujar el líquid del perfum a través del tub i el polvoritza com una fina boira.
Factors que influeixen en l'aplicació del principi de Bernoulli
1. Fricció: En realitat, els fluids no són ideals i sempre hi ha fricció interna (viscositat) que provoca pèrdua d'energia. Això fa que l'aplicació del principi de Bernoulli sigui més complexa.
2. Compressibilitat de fluids: El principi de Bernoulli és més fàcil d'aplicar a fluids incompressibles (com l'aigua). Per a gasos o fluids compressibles, cal ajustar l'equació.
3. Turbulència: El principi de Bernoulli s'aplica al flux laminar (regular). En el flux turbulent (irregular), l'anàlisi es complica més.
Cas pràctic: Ús del principi de Bernoulli en el disseny d'ales d'avió
El disseny d'una ala d'avió és un exemple clàssic del principi de Bernoulli en acció. La forma superior corba i la inferior plana de l'ala permeten que l'aire flueixi més ràpidament per sobre de l'ala que per sota. Segons el principi de Bernoulli, la velocitat del flux d'aire més alta sobre l'ala produeix una pressió més baixa que sota l'ala. Aquesta diferència de pressió crea la força de sustentació que permet que l'avió voli.
Suposem que un avió té una superfície alar de 25 m². La velocitat de l'aire per sobre de l'ala és de 70 m/s, mentre que per sota de l'ala és de 50 m/s. La densitat de l'aire és de 1.225 kg/m³. Calcula la sustentació resultant.
1. Calcula la diferència de pressió (\( \Delta P \)) utilitzant la fórmula de Bernoulli:
\[ P_{inferior} – P_{superior} = \frac{1}{2} rho (v_{superior}^2 – v_{inferior}^2) \]
Substituïu els valors coneguts:
\[ ΔP = \frac{1}{2} \times 1.225 \times (70^2 – 50^2) \]
\[ΔP = \frac{1}{2} \times 1.225 \times (4900 – 2500) \]
\[ΔP = \frac{1}{2} \times 1.225 \times 2400 \]
\[ΔP = 1.225 × 1200\]
\[ ΔP = 1470 \, \text{Pa} \]
2. Calcula la força de sustentació (\( F_{lift} \)):
\[ F_{elevació} = ΔP × A \]
\[ F_{elevació} = 1470 \, \text{Pa} \times 25 \, \text{m}^2 \]
\[ F_{elevació} = 36,750 \, \text{
N} \]
Per tant, la força de sustentació resultant és de 36,750 newtons.
Conclusió
El principi de Bernoulli és un dels fonaments de la mecànica de fluids, que explica la relació entre la velocitat del flux de fluids i la pressió. En comprendre i aplicar la fórmula de Bernoulli, podem analitzar i dissenyar una varietat de sistemes que impliquen el flux de fluids, des d'avions fins a mesuradors de cabal. Tot i que a la pràctica sovint hem de tenir en compte factors com la fricció i la turbulència, el principi de Bernoulli continua sent una eina essencial per comprendre la dinàmica de fluids i dissenyar solucions d'enginyeria eficients.
