Sumar vectors utilitzant components: problemes i solucions

Sumar vectors utilitzant components: problemes i solucions

1. Tres vectors com es mostra a la figura següent.

V₁ = 30

V₂ = 30

V₃ = 40

Quin és el resultant vectors.

Conegut:

V₁ = 30, angle entre V₁ i l'eix x = 30^o

V₂ = 30, angle entre V₂ i l'eix x = 30^o

V₃ = 40, angle entre V₃ i l'eix x = 0^o

Es busca: Els vectors resultants

Solució:

Els components dels vectors :

V_1x = (V₁)(cos 30^o) = (30)(0.5√3) = 15√3. Positiu perquè aquest component vectorial apunta al llarg de l'eix x positiu (cap a la dreta).

V_1y = (V₁)(sin 30^o) = (30)(0.5) = 15. Positiu perquè aquest component vectorial apunta al llarg de l'eix y positiu (cap amunt).

V_2x = (V₂)(cos 30^o) = (30)(0.5√3) = -15√3. Negatiu perquè aquest component vectorial apunta al llarg de l'eix x negatiu (cap a l'esquerra).

V_2y = (V₂)(sin 30^o) = (30)(0.5) = 15. Positiu perquè aquest component vectorial apunta al llarg de l'eix y positiu (cap amunt).

V_3x = (V₃)(cos 0^o) = (40)(1) = 40. Positiu perquè aquest component vectorial apunta al llarg de l'eix x positiu (cap a la dreta).

V_3y = (V₃)(sin 0^o) = (40)(0) = 0

Els components dels vectors resultants:

V_x = V_1x - V_2x + V_3x = 15√3 – 15√3 + 40 = 40

V_y = V_1y + V_2y + V_3y = 15 + 15 = 30

El vector resultant :

2. Dues forces perpendiculars entre si, F₁ = 12 N i F₂ = 5 N. Quina és la resultant d'ambdues forces.

Conegut:

Força 1 (F)₁) = 12 Newtons

Força 2 (F)₂) = 5 Newtons

Es busca: Els vectors resultants (ΣF)

Solució:

ΣF² =F₁² +F₂² = 12² + 5² = 144 + 25 = 169

ΣF = √169 = 13 Newtons

3. Tres vectors,

V₁ = 30

V₂ = 30

V₃ = 40

Determineu els vectors resultants.

Conegut:

v₁ = 30, fa 30^o sobre l'eix x negatiu

v₂ = 30, fa 30^o sobre l'eix x positiu

v₃ = 40, fa 0^o sobre l'eix x positiu

Es busca: Els vectors resultants

Solució:

Els components dels vectors:

v_1x = v₁ cos 30^o = (30)(0.5√3) = -15√3 (Negatiu perquè aquest component vectorial apunta al llarg de l'eix x negatiu (cap a l'esquerra))

v_1y = v₁ pecat 30^o = (30)(0.5) = 15 (Positiu perquè aquest component vectorial apunta al llarg de l'eix y positiu (cap amunt))

v_2x = v₂ cos 30^o = (30)(0.5√3) = 15√3 (Positiu perquè aquest component vectorial apunta al llarg de l'eix x positiu (cap a la dreta)))

v_2y = v₂ pecat 30^o = (30)(0.5) = 15 (Positiu perquè aquest component vectorial apunta al llarg de l'eix y positiu (cap amunt).)

v_3x = v₃ cos 0^o = (40)(1) = 40 (Positiu perquè aquest component vectorial apunta al llarg de l'eix x positiu (cap a la dreta).)

v_3y = v₃ pecat 0^o = (40)(0) = 0

Els components dels vectors resultants:

v_x = – v_1x + v_2x + v_3x = -15√3 + 15√3 + 40 = 40

v_y = v_1y + v_2y + v_3y = 15 + 15 = 30

El vector resultant:

4. Quina és la resultant de tres vectors, tal com es mostra a la figura següent:

Conegut:

F₁ = 3 Newtons, fa 60^o sobre l'eix x positiu

F₂ = 3 Newtons, fa 0^o sobre l'eix x negatiu

F₃ = 6 Newtonsn, fa 60^o sobre l'eix y negatiu

Es busca: El vector resultant

Solució:

Els components dels vectors:

F_1x =F₁ cos 60^o = (3)(0.5) = 1.5 N (Positiu perquè aquest component vectorial apunta al llarg de l'eix x positiu (cap a la dreta)))

F_1y =F₁ pecat 60^o = (3)(0.5√3) = 1.5√3 N (Positiu perquè aquest component vectorial apunta al llarg de l'eix y positiu (cap amunt))

F_2x =F₂ cos 0^o = (3)(1) = -3 N (Negatiu perquè aquest component vectorial apunta al llarg de l'eix x negatiu (cap a l'esquerra))

F_2y =F₂ pecat 0^o = (3)(0) = 0

F_3x =F₃ cos 60^o = (6)(0.5) = 3 N (Positiu perquè aquest component vectorial apunta al llarg de l'eix x positiu (cap a la dreta)))

F_3y =F₃ pecat 60^o = (6)(0.5√3) = -3√3 N (Negatiu perquè aquest component vectorial apunta al llarg del negatiu y eix (baixsala))

Els components dels vectors resultants:

ΣF_x =F_1x - F_2x +F_3x = 1.5 N – 3 N + 3 N = 1.5 N

ΣF_y =F_1y +F_2y - F_3y = 1.5√3 N + 0 N – 3√3 N = -1.5√3 N

El vector resultant:

5. Dues forces, F₁ = 15 N i F₂ = 9 N. L'angle entre els dos vectors és de 60°. Quina és la resultant dels vectors?

Es busca:

Força 1 (F₁) = 15 Newtons

Força 2 (F)₂) = 9 Newtons

Angle (θ) = 60^o

Volia: El vector resultant

Solució:

6. Quin és el resultat de tres vectors tal com es mostra a la figura següent?

Conegut:

F₁ = 20 Newton, angle entre F₁ i l'eix x = 0

F₂ = 20 Newton, angle entre F₂ i l'eix x = 60

F₃ = 24 Newton, angle entre F₃ i l'eix x = 60

Es busca: El vector resultant

Solució:

Els components dels vectors:

F_1x = (F₁)(cos 0) = (20)(1) = 20. Positiu perquè aquest component vectorial apunta al llarg de l'eix x positiu (cap a la dreta))

F_1y = (F₁)(sin 0) = (20)(0) = 0

F_2x = (F₂)(cos 60) = (20)(0.5) = -10. Negatiu perquè aquest component vectorial apunta al llarg de l'eix x negatiu (cap a l'esquerra)

F_2y = (F₂)(sin 60) = (20)(0.5√3) = 10√3. Positiu perquè aquest component vectorial apunta al llarg de l'eix y positiu (cap amunt)

F_3x = (F₃)(cos 60) = (24)(0.5) = -12. Negatiu perquè aquest component vectorial apunta al llarg de l'eix x negatiu (cap a l'esquerra)

F_3y = (F₃)(sin 60) = (24)(0.5√3) = -12√3. Nnegatiu perquè aquest component vectorial apunta al llarg del negatiu y eix (baixsala)

Els components dels vectors resultants:

F_x =F_1x - F_2x - F_3x = 20 – 10 – 12 = -2

F_y =F_1y +F_2y - F_3y = 0 + 10√3 – 12√3 = -2√3

El vector resultant: