Sumar vectors utilitzant components: problemes i solucions

Sumar vectors utilitzant components: problemes i solucions

1. Tres vectors com es mostra a la figura següent.

V₁ = 30

V2 = ₃₀

V3 = ₄₀

Quins són els vectors resultants.

Conegut:

V ₁ = 30°, angle entre V ₁ i l'eix x = 30 ^°

V ₂ = 30°, angle entre V ₂ i l'eix x = 30 ^°

V ₃ = 40°, angle entre V ₃ i l'eix x = 0 ^°

Es busca: Els vectors resultants

Solució:

Els components dels vectors :

V _1x = (V ₁ )(cos 30 ^o ) = (30)(0.5√3) = 15√3. Positiu perquè aquest component vectorial apunta al llarg de l'eix x positiu (cap a la dreta).

V _1y = (V ₁ )(sin 30 ^o ) = (30)(0.5) = 15. Positiu perquè aquest component vectorial apunta al llarg de l'eix y positiu (cap amunt).

V _2x = (V ₂ )(cos 30 ^o ) = (30)(0.5√3) = -15√3. Negatiu perquè aquest component vectorial apunta al llarg de l'eix x negatiu (cap a l'esquerra).

V _2y = (V ₂ )(sin 30 ^o ) = (30)(0.5) = 15. Positiu perquè aquest component vectorial apunta al llarg de l'eix y positiu (cap amunt).

V _3x = (V ₃ )(cos 0 ^o ) = (40)(1) = 40. Positiu perquè aquest component vectorial apunta al llarg de l'eix x positiu (cap a la dreta).

V _3y = (V ₃ )(sin 0 ^o ) = (40)(0) = 0

Els components dels vectors resultants:

V _x = V _1x – V _2x + V _3x = 15√3 – 15√3 + 40 = 40

V _y = V _1y + V _2y + V _3y = 15 + 15 = 30

El vector resultant :

2. Dues forces perpendiculars entre si, F1 ₌ 12 N i F2 ₌ 5 N. Quina és la resultant d'ambdues forces?

Conegut:

Força 1 (F ₁ ) = 12 Newton

Força 2 (F ₂ ) = 5 Newtons

Es busca: Els vectors resultants ( ΣF)

Solució:

ΣF₂ = _F₁₂ + _F₂₂₂ = ^{12₂ + 5₂₂} = 144 ⁺ 25 ⁼ 169

ΣF = √ 169 = 13 Newtons

3. Tres vectors,

V₁ = 30

V2 ₌ 30

V3 = ₄₀

Determineu els vectors resultants.

Conegut:

v ₁ = 30, fa 30 ^° al voltant de l'eix x negatiu

v ₂ = 30, fa 30 ^o al voltant de l'eix x positiu

v ₃ = 40, fa 0 ^o al voltant de l'eix x positiu

Es busca: Els vectors resultants

Solució:

Els components dels vectors:

v _1x = v ₁ cos 30 ^o = (30)(0.5 √ 3) = -15 √ 3 ( Negatiu perquè aquest component vectorial apunta al llarg de l'eix x negatiu (cap a l'esquerra) )

v _1y = v ₁ sin 30 ^o = (30)(0.5) = 15 ( Positiu perquè aquest component vectorial apunta al llarg de l'eix y positiu (cap amunt) )

v _2x = v ₂ cos 30 ^o = (30)(0.5 √ 3) = 15 √ 3 ( Positiu perquè aquest component vectorial apunta al llarg de l'eix x positiu (cap a la dreta ) )

v _2y = v ₂ sin 30 ^o = (30)(0.5) = 15 ( Positiu perquè aquest component vectorial apunta al llarg de l'eix y positiu (cap amunt). )

v _3x = v ₃ cos 0 ^o = (40)(1) = 40 ( Positiu perquè aquest component vectorial apunta al llarg de l'eix x positiu (cap a la dreta). )

v _3y = v ₃ sin 0 ^o = (40)(0) = 0

Els components dels vectors resultants:

v _x = – v _1x + v _2x + v _3x = -15 √ 3 + 15 √ 3 + 40 = 40

v _y = v _1y + v _2y + v _3y = 15 + 15 = 30

El vector resultant:

4. Quin és el resultant de tres vectors, tal com es mostra a la figura següent :

Conegut:

F₁ = 3 Newtons, fa 60^o sobre l'eix x positiu

F2 = 3 Newtons, fa 0 ^{o al voltant} _de l'eix x negatiu

F3 = ₆ Newtons , fa 60 ^° al voltant de l'eix y negatiu

Es busca: El vector resultant

Solució:

Els components dels vectors:

F _1x = F ₁ cos 60 ^o = (3)(0.5) = 1.5 N ( Positiu perquè aquest component vectorial apunta al llarg de l'eix x positiu (cap a la dreta ) )

F _1y = F ₁ sin 60 ^o = (3)(0.5√3) = 1.5√3 N ( Positiu perquè aquest component vectorial apunta al llarg de l'eix y positiu (cap amunt) )

F _2x = F ₂ cos 0 ^o = (3)(1) = -3 N ( Negatiu perquè aquest component vectorial apunta al llarg de l'eix x negatiu (cap a l'esquerra) )

F _2y = F ₂ sin 0 ^o = (3)(0) = 0

F _3x = F ₃ cos 60 ^o = (6)(0.5) = 3 N ( Positiu perquè aquest component vectorial apunta al llarg de l'eix x positiu (cap a la dreta ) )

F _3y = F ₃ sin 60 ^o = (6)(0.5√3) = -3√3 N ( Negatiu perquè aquest component vectorial apunta al llarg de l' eix y negatiu ( cap avall ) )

Els components dels vectors resultants:

ΣFx ₌ F1x _– F2x + _{F3x = 1.5} N – 3 N + 3 N = 1.5 N

ΣF _y = F _1y + F _2y – F _3y = 1.5√3 N + 0 N – 3√3 N = -1.5√3 N

El vector resultant:

5. Dues forces, F1 = ₁₅ N i F2 _{= 9 N. L'angle entre els dos vectors és} de 60°. Quina és la resultant dels vectors?

Es busca:

Força 1 (F1 ₎ = 15 Newtons

Força 2 (F ₂ ) = 9 Newton

Angle ( θ) = 60 ^°

Es busca: El vector resultant

Solució:

6. Quin és el resultat de tres vectors tal com es mostra a la figura següent?

Conegut:

F₁ = 20 Newton, angle entre F₁ i l'eix x = 0

F2 = ₂₀ Newtons, angle entre F2 _i l'eix x = 60°

F3 = ₂₄ Newtons, angle entre F3 _i l'eix x = 60°

Es busca: El vector resultant

Solució:

Els components dels vectors:

F _1x = (F ₁ )(cos 0) = (20)(1) = 20. Positiu perquè aquest component vectorial apunta al llarg de l'eix x positiu (cap a la dreta )

F _1y = (F ₁ )(sin 0) = (20)(0) = 0

F _2x = (F ₂ )(cos 60) = (20)(0.5) = -10. Negatiu perquè aquest component vectorial apunta al llarg de l'eix x negatiu (cap a l'esquerra).

F _2y = (F ₂ )(sin 60) = (20)(0.5√3) = 10√3. Positiu perquè aquest component vectorial apunta al llarg de l'eix y positiu (cap amunt)

F _3x = (F ₃ )(cos 60) = (24)(0.5) = -12. Negatiu perquè aquest component vectorial apunta al llarg de l'eix x negatiu (cap a l'esquerra).

F _3y = (F ₃ )(sin 60) = (24)(0.5√3) = -12√3. N negatiu perquè aquest component vectorial apunta al llarg de l' eix y negatiu ( cap avall ).

Els components dels vectors resultants:

Fx ₌ F1x _– F2x – F3x ₌ 20 – 10 – 12 = _-2

F _y = F _1y + F _2y – F _3y = 0 + 10√3 – 12√3 = -2√3

El vector resultant: