Exemples de preguntes i debat: variància i desviació estàndard de dades individuals
L'estadística és una branca de les matemàtiques que s'ocupa de la recopilació, anàlisi, interpretació, presentació i organització de dades. Dos conceptes importants en estadística són la variància i la desviació estàndard. Aquest article explicarà detalladament com calcular la variància i la desviació estàndard d'un sol conjunt de dades mitjançant diversos problemes d'exemple.
Comprensió de la variància i la desviació estàndard
La variància és una mesura que quantifica fins a quin punt els nombres d'un conjunt de dades es dispersen respecte a la mitjana. La variància s'expressa en unitats quadrades de les dades originals, cosa que sovint dificulta la seva interpretació.
La desviació estàndard és l'arrel quadrada de la variància. Proporciona una mesura més intuïtiva de quant es desvien les dades de la mitjana, ja que les seves unitats són les mateixes que les unitats originals de les dades.
Fórmula general
Per a dades individuals, la fórmula per a la variància σ( \sigma^2 \) i la desviació estàndard σ( \sigma \) de la població és la següent:
1. Variància (σ²):
\( \sigma^2 = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i – \mu)^2 \)
2. Desviació estàndard (σ):
\( \sigma = \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i – \mu)^2} \)
On:
– \(N\) és el nombre de dades de la població.
– \(x_i \) és el i-èssim valor de les dades.
– \( \mu \) és la mitjana o la puntuació mitjana de les dades.
Si calculem la variància i la desviació estàndard de la mostra, la fórmula anterior es modifica lleugerament:
1. Variància de la mostra (s²):
\(s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2 \)
2. Desviació estàndard de la mostra:
\(s = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2} \)
On:
– \(n\) és el nombre de dades de la mostra.
– \( \bar{x} \) és la mitjana o valor promig de la mostra.
Exemples de preguntes i debat
Exemple de pregunta 1:
Donades les dades següents:
8, 10, 10, 10, 12, 14
Calcula la variància i la desviació estàndard de les dades!
Passos de la solució:
1. Càlcul de la mitjana (Mean) ( \mu \):
\[
\mu = \frac{8 + 10 + 10 + 10 + 12 + 14}{6} = \frac{64}{6} = 10.67
\]
2. Calcula la diferència entre les dades i la mitjana, i després eleva-la al quadrat:
\[
(8 – 10.67)^2 = 7.1289
\]
\[
(10 – 10.67)^2 = 0.4489
\]
\[
(10 – 10.67)^2 = 0.4489
\]
\[
(10 – 10.67)^2 = 0.4489
\]
\[
(12 – 10.67)^2 = 1.7689
\]
\[
(14 – 10.67)^2 = 11.1089
\]
3. Sumant tots els resultats al quadrat:
\[
\sum (x_i – \mu)^2 = 7.1289 + 0.4489 + 0.4489 + 0.4489 + 1.7689 + 11.1089 = 21.3534
\]
4. Càlcul de la variància (σ²) de les dades de la població:
\[
\sigma^2 = \frac{21.3534}{6} = 3.559
\]
Nota: Com que aquestes dades s'expressen com a dades de població, dividim per 6.
5. Càlcul de la desviació estàndard (σ):
\[
\sigma = \sqrt{3.559} \approx 1.886
\]
Així doncs, la variància de les dades és de 3.559 i la desviació estàndard és d'1.886.
Exemple de pregunta 2:
Donades les dades d'exemple següents:
5, 6, 8, 9, 10, 11
Calcula la variància i la desviació estàndard de la mostra!
Passos de la solució:
1. Càlcul de la mitjana (Mean) \( \bar{x} \):
\[
x = 5 + 6 + 8 + 9 + 10 + 11/6 = 49/6 = 8.167
\]
2. Calcula la diferència entre les dades i la mitjana, i després eleva-la al quadrat:
\[
(5 – 8.167)^2 = 10.035
\]
\[
(6 – 8.167)^2 = 4.694
\]
\[
(8 – 8.167)^2 = 0.028
\]
\[
(9 – 8.167)^2 = 0.694
\]
\[
(10 – 8.167)^2 = 3.361
\]
\[
(11 – 8.167)^2 = 7.945
\]
3. Sumant tots els resultats al quadrat:
\[
suma (x_i – \bar{x})^2 = 10.035 + 4.694 + 0.028 + 0.694 + 3.361 + 7.945 = 26.757
\]
4. Càlcul de la variància mostral (s²):
\[
s^2 = \frac{26.757}{5} = 5.351
\]
Nota: Com que es tracta de dades d'exemple, dividim per 5 (n-1).
5. Càlcul de la desviació estàndard (s):
\[
s = \sqrt{5.351} \approx 2.313
\]
Així doncs, la variància de les dades de la mostra és de 5.351 i la desviació estàndard és de 2.313.
Conclusió
Calcular la variància i la desviació estàndard és vital per entendre com estan disperses les dades dins d'un conjunt determinat. Mentre que la variància proporciona una mesura teòrica de la dispersió en quadrats de les unitats originals, la desviació estàndard interpreta la mesura de dispersió en termes de les unitats originals de les dades, cosa que facilita la seva comprensió. En l'anàlisi de dades, aquestes dues mesures s'utilitzen sovint per avaluar la variabilitat de les dades i prendre decisions estadístiques.
Si entenem els passos i les fórmules necessaris, podem calcular fàcilment la variància i la desviació estàndard per a diverses situacions que trobem en la recopilació i l'anàlisi de dades quotidianes. Esperem que aquest article proporcioni una comprensió més profunda dels conceptes de variància i desviació estàndard en conjunts de dades individuals.
