Exemple de pregunta de debat sobre la mida de la ubicació
Les mesures de col·locació són un tema important en diverses disciplines, especialment en estadística, economia i gestió. Les mesures de col·locació engloben una varietat de mètriques utilitzades per quantificar la posició relativa de les dades dins d'una distribució determinada, com ara quartils, decils, percentils, etc. Comprendre com mesurar i analitzar les mesures de col·locació és crucial per a una àmplia gamma d'activitats d'anàlisi de dades, presa de decisions i recerca.
En aquest article, tractarem diversos exemples de problemes relacionats amb les mesures de col·locació i com resoldre'ls. Aquests problemes tenen com a objectiu aclarir el concepte i l'aplicació de les mesures de col·locació en diversos contextos.
Exemple de pregunta 1: Càlcul de quartils
Pregunta:
Donades les dades següents: 5, 7, 8, 12, 13, 14, 18, 21, 23, 30. Calcula Q1 (primer quartil), Q2 (mediana/segon quartil) i Q3 (tercer quartil).
Solució:
El primer pas per calcular quartils és ordenar les dades de més petita a més gran. En aquest problema, les dades ja estan ordenades.
– n (nombre de dades) = 10
Càlcul de Q1:
Q1 és el valor que ocupa la posició \(\frac{n + 1}{4}\).
\[
Q1 = 10 + 1/4 = 11/4 = 2.75
\]
Com que els resultats no són rodons, fem servir interpolació entre la segona i la tercera dada.
2a dada = 7
3a dada = 8
\[
Q1 = 7 + 0.75 × (8 – 7) = 7 + 0.75 = 7.75
\]
Càlcul de Q2 (mediana):
Q2 és el valor que ocupa la posició central. Com que n és un nombre parell, Q2 és la mitjana dels valors de les posicions 5a i 6a.
\[
Q2 = 13 + 14/2 = 27/2 = 13.5
\]
Càlcul de Q3:
Q3 és el valor que ocupa la posició \(\frac{3(n + 1)}{4}\).
\[
Q3 = \frac{3 \times (10 + 1)}{4} = \frac{33}{4} = 8.25
\]
Fem servir interpolació entre la 8a i la 9a dada.
8a dada = 21
9a dada = 23
\[
Q3 = 21 + 0.25 × (23 – 21) = 21 + 0.5 = 21.5
\]
Així doncs, Q1 = 7.75, Q2 = 13.5 i Q3 = 21.5.
Exemple de pregunta 2: Ús de percentils
Pregunta:
Donat el conjunt de dades següent: 15, 18, 20, 24, 30, 32, 35, 40, 42, 45. Determina el valor del percentil 70.
Solució:
El primer pas és assegurar-se que les dades estiguin ordenades de més petita a més gran, i que les dades anteriors estiguin ordenades.
Nombre de dades, n = 10
El percentil 70 significa que busquem el valor que ocupa la posició 70% del total de dades.
\[
P_{70} = \frac{70}{100} \times (n + 1) = 0.70 \times 11 = 7.7
\]
Com que el resultat no és un nombre enter, fem servir la interpolació entre la quarta i la cinquena dada.
7a dada = 35
8a dada = 40
\[
P_{70} = 35 + 0.7 × (40 – 35) = 35 + 3.5 = 38.5
\]
Per tant, el valor del percentil 70 del conjunt de dades és 38.5.
Exemple de pregunta 3: Càlcul de decils
Pregunta:
Donades les dades dels resultats de les proves següents: 55, 63, 67, 72, 75, 78, 80, 82, 86, 90. Calcula el 4t decil (D4).
Solució:
El primer pas és assegurar-se que les dades estiguin ordenades de més petita a més gran. Les dades anteriors ja estan ordenades.
Nombre de dades, n = 10
El 4t decil significa que busquem un valor que ocupi la posició del 40% del total de dades.
\[
D_4 = \frac{4 × (n + 1)}{10} = \frac{4 × 11}{10} = 4.4
\]
Com que el resultat no és un nombre enter, fem servir la interpolació entre la quarta i la cinquena dada.
4a dada = 72
5a dada = 75
\[
D_4 = 72 + 0.4 × (75 – 72) = 72 + 1.2 = 73.2
\]
Així doncs, el 4t decil del conjunt de dades és 73.2.
Exemple de pregunta 4: Aplicació en la distribució de la renda
Pregunta:
Un estudi econòmic va recollir dades d'ingressos mensuals per a diverses persones: 2000, 2200, 2400, 2500, 2700, 3000, 3200, 3500, 3700, 4000, 4200, 4500, 4700, 5000, 5500. Determineu la mediana i els quartils del conjunt de dades.
Solució:
Primer, ens assegurem que les dades estiguin ordenades de més petita a més gran, i que les dades anteriors estiguin ordenades.
Nombre de dades, n = 15
Càlcul de la mitjana (Q2):
La mediana és la dada que es troba a la posició intermèdia.
\[
\text{Posició mediana} = \frac{n + 1}{2} = \frac{15 + 1}{2} = 8
\]
8a dada = 3500
Per tant, la mediana (Q2) és de 3500.
Càlcul de Q1:
Q1 és el valor que ocupa la posició \(\frac{n + 1}{4}\).
\[
Q1 = 15 + 1/4 = 16/4 = 4
\]
4a dada = 2500
Per tant, el tercer trimestre és de 2500.
Càlcul de Q3:
Q3 és el valor que ocupa la posició \(\frac{3(n + 1)}{4}\).
\[
Q3 = \frac{3 \times (15 + 1)}{4} = \frac{3 \times 16}{4} = 12
\]
12a dada = 4500
Per tant, el tercer trimestre és de 4500.
Així doncs, la mediana (Q2) és 3500, Q1 és 2500 i Q3 és 4500.
Conclusió
Les mesures de distribució són eines extremadament útils en l'anàlisi de dades, que ens ajuden a entendre i interpretar la distribució de les dades. Mitjançant mesures com ara quartils, decils i percentils, podem obtenir una imatge més clara de la distribució i les tendències de les dades que s'analitzen. Aquest article proporciona diversos exemples de problemes i solucions, amb l'esperança d'ajudar els lectors a entendre com calcular i aplicar mesures de distribució en diverses situacions.
