Exemples de preguntes sobre la transformació en el pla cartesià
Les transformacions en el pla cartesià són un tema important en matemàtiques, particularment en geometria. Aquestes transformacions impliquen diverses operacions com ara la translació, la reflexió, la rotació i la dilatació, que tenen com a objectiu moure o canviar la forma d'un objecte en un pla bidimensional. Aquest article revisarà diversos problemes d'exemple i els discutirà relacionats amb les transformacions en el pla cartesià.
Tipus de transformació
Abans d'abordar el problema d'exemple, revisem primer els següents tipus de transformacions:
1. Traducció (Majúscules)
La translació és el desplaçament d'un punt o objecte en un pla una certa distància en una determinada direcció. La translació es pot definir com:
\[
(x, y) \rightarrow (x+a, y+b)
\]
on \(a\) i \(b\) són les distàncies de desplaçament horitzontal i vertical.
2. Reflexió
La reflexió és la reflexió d'un punt o objecte al llarg d'un eix, ja sigui l'eix x, l'eix y o una altra línia. Per exemple, la reflexió al llarg de l'eix x:
\[
(x, y) \rightarrow (x, -y)
\]
3. Rotació (gir)
La rotació és la rotació d'un punt o objecte al voltant d'un punt central un angle determinat. Una rotació en sentit antihorari un angle θ es pot expressar com:
\[
(x, y) \rightarrow (x \cos \theta – y \sin \theta, x \sin \theta + y \cos \theta)
\]
4. Dilatació (escaladura)
La dilatació és el canvi en la mida d'un objecte per un cert factor d'escala. Si el factor d'escala és \(k\), la dilatació es pot expressar com:
\[
(x, y) \rightarrow (kx, ky)
\]
Exemples de preguntes i debat
Pregunta 1: Traducció
Pregunta:
Realitza una translació al punt \(A(2, 3)\) amb un desplaçament de 5 unitats cap a la dreta i 4 unitats cap amunt.
Discussió:
Traslladar \(5\) unitats a la dreta significa augmentar la coordenada x en \(5\). L'afirmació "4 unitats cap amunt" significa augmentar la coordenada y en \(4\). El resultat de la translació és:
\[
(x, y) \rightarrow (x+5, y+4)
\]
Així doncs, el punt \(A(2, 3)\) després de la translació esdevé:
\[
(x+5, y+4) \rightarrow (2+5, 3+4) \rightarrow (7, 7)
\]
Així doncs, el punt \(A(2, 3)\) després de la translació és \(A'(7, 7)\).
Pregunta 2: Reflexió
Pregunta:
Reflecteix el punt \(B(-4, 7)\) al voltant de l'eix y.
Discussió:
La reflexió al voltant de l'eix y canvia la coordenada x al negatiu de la coordenada x original, mentre que la coordenada y roman igual.
\[
(x, y) \rightarrow (-x, y)
\]
Així doncs, el punt \(B(-4, 7)\) després de la reflexió esdevé:
\[
(x, y) \rightarrow (-(-4), 7) \rightarrow (4, 7)
\]
Així doncs, el punt \(B(-4, 7)\) després de la reflexió sobre l'eix y és \(B'(4, 7)\).
Pregunta 3: Rotació
Pregunta:
Gira el punt \(C(1, 2)\) per \(90^\circ\) en sentit antihorari amb el centre a l'origen \((0, 0)\).
Discussió:
Una rotació de 90° en sentit antihorari es pot expressar com:
\[
(x, y) \rightarrow (-y, x)
\]
Així doncs, el punt \(C(1, 2)\) després de la rotació esdevé:
\[
(x, y) \rightarrow (-2, 1)
\]
Així doncs, el punt \(C(1, 2)\) després d'una rotació de \(90^\circ\) en sentit antihorari és \(C'(-2, 1)\).
Pregunta 4: Dilatació
Pregunta:
Dilateu el punt \(D(3, 4)\) amb un factor d'escala \(k = 2\).
Discussió:
La dilatació amb un factor d'escala de \(2\) significa multiplicar ambdues coordenades per \(2\).
\[
(x, y) \rightarrow (2x, 2y)
\]
Així doncs, el punt \(D(3, 4)\) després de la dilatació esdevé:
\[
(x, y) \rightarrow (2 × 3, 2 × 4) \rightarrow (6, 8)
\]
Així doncs, el punt \(D(3, 4)\) després de la dilatació amb el factor d'escala \(2\) és \(D'(6, 8)\).
Pregunta 5: Combinació de transformacions
Pregunta:
Reflexioneu sobre l'eix x i després dilateu amb un factor d'escala \(k = 0.5\) al punt \(E(8, -6)\).
Discussió:
El primer pas és reflexionar sobre l'eix x:
\[
(x, y) \rightarrow (x, -y)
\]
\[
(8, -6) \rightarrow (8, 6)
\]
El segon pas és realitzar una dilatació amb un factor d'escala de \(0.5\):
\[
(x, y) \rightarrow (0.5x, 0.5y)
\]
\[
(8, 6) \rightarrow (0.5 × 8, 0.5 × 6) \rightarrow (4, 3)
\]
Així doncs, el punt \(E(8, -6)\) després de la reflexió sobre l'eix x i la dilatació pel factor d'escala \(0.5\) és \(E'(4, 3)\).
Pregunta 6: Transformació amb rotació i translació
Pregunta:
Gireu el punt \(F(-3, 4)\) per \(180^\circ\) en sentit antihorari i, a continuació, traslladeu el resultat amb el vector \((2, -1)\).
Discussió:
El primer pas és girar \(180^\circ\) en sentit antihorari:
\[
(x, y) \rightarrow (-x, -y)
\]
\[
(-3, 4) \rightarrow (3, -4)
\]
El segon pas és realitzar una translació amb el vector \((2, -1)\):
\[
(x, y) \rightarrow (x+2, y-1)
\]
\[
(3, -4) \rightarrow (3+2, -4-1) \rightarrow (5, -5)
\]
Així doncs, el punt \(F(-3, 4)\) després de la rotació \(180^\circ\) i la translació pel vector \((2, -1)\) és \(F'(5, -5)\).
Conclusió
Les transformacions en el pla cartesià són un concepte important en geometria, que engloba diverses operacions com la translació, la reflexió, la rotació i la dilatació. En comprendre com funciona cada tipus de transformació, podem canviar fàcilment la posició o la forma d'un objecte en el pla. A través dels exemples anteriors, podem veure les aplicacions pràctiques de diverses transformacions i com es poden combinar per aconseguir transformacions més complexes. Esperem que aquest article hagi estat útil per comprendre les transformacions en el pla cartesià.
