Exemples de preguntes i debat sobre la relativitat d'Einstein
La relativitat d'Einstein és una de les teories més fonamentals de la física moderna, que ha canviat la manera com entenem l'espai i el temps. Consta de dues parts: la relativitat especial (1905) i la relativitat general (1915). En aquest article, parlarem de diversos exemples relacionats amb la relativitat d'Einstein i els comentarem per tal de comprendre-ho millor.
Relativitat especial
La relativitat especial tracta els objectes que es mouen a velocitats constants que s'acosten a la velocitat de la llum. Dos resultats clau d'aquesta teoria són la dilatació del temps i la contracció de la longitud.
1. Dilatació del temps
Si hi ha dos observadors, un estacionari a la Terra i l'altre movent-se a alta velocitat, mesuraran temps diferents per al mateix esdeveniment.
Exemple de problemes:
Un astronauta es mou a 0.8 vegades la velocitat de la llum (c) cap a una estrella a 10 anys llum de la Terra. Quant de temps triga l'astronauta a arribar a l'estrella?
Discussió:
Primer, calculem el temps mesurat per un observador a la Terra:
\[ t_B = \frac{d}{v} = \frac{10 \text{ anys llum}}{0.8 \, c} = 12.5 \text{ anys} \]
Per calcular el temps mesurat per l'astronauta (dilatació del temps), fem servir la fórmula:
\[ t_A = t_B \sqrt{1 – \frac{v^2}{c^2}} \]
Substitueix els valors coneguts:
\[ t_A = 12.5 \sqrt{1 – (0.8)^2} \]
\[ t_A = 12.5 \sqrt{1 – 0.64} \]
\[ t_A = 12.5 \sqrt{0.36} \]
\[t_A = 12.5 × 0.6\]
\[ t_A = 7.5 \text{ anys} \]
Així doncs, el temps mesurat pels astronautes va ser de 7.5 anys.
2. Contraccions llargues
Quan un objecte es mou a una velocitat que s'acosta a la velocitat de la llum, la seva longitud semblarà més curta a un observador estacionari.
Exemple de problemes:
Una nau espacial amb una longitud real de 10 metres viatja a 0.9 vegades la velocitat de la llum. Quina distància tindria la nau espacial fins a un observador a la Terra?
Discussió:
Per calcular la contracció de longitud, fem servir la fórmula:
L = L_0 ∫∫{1 – v²}{c²}
On:
– \(L_0 \) és la longitud pròpia o la longitud real (10 metres),
– \(v \) és la velocitat de l'avió (0.9c).
Substitueix els valors coneguts:
\[ L = 10 \sqrt{1 – (0.9)^2} \]
\[ L = 10 \sqrt{1 – 0.81} \]
L = 10⁻² 0.19
\[L = 10 × 0.436\]
\[ L = 4.36 \text{ metres} \]
Així doncs, la longitud de l'avió segons els observadors a la Terra és de 4.36 metres.
Relativitat general
La relativitat general tracta la gravetat, on l'espai i el temps estan influenciats per la massa i l'energia.
3. Lent gravitacional
La lent gravitatòria es produeix quan la llum d'un objecte distant es desvia per la gravetat d'un objecte massiu com ara una galàxia o un forat negre.
Exemple de problemes:
La galàxia A té prou massa per desviar la llum del quàsar B, que es troba darrere seu. Si l'angle de desviació és d'1.5 segons d'arc, quina és la massa de la galàxia A? (Utilitzeu la constant gravitacional de Newton G = 6.674 × 10^-11 N(m/kg)^2, la velocitat de la llum c = 3 × 10^8 m/s)
Discussió:
L'angle de deflexió θ es pot obtenir mitjançant la fórmula:
\[ θ = \frac{4GM}{c^2 R} \]
On:
– \(G\) és la constant gravitatòria,
– \(M\) és la massa de la galàxia,
– \(c\) és la velocitat de la llum,
– \(R\) és la distància més curta entre la llum i el centre de la galàxia.
Com que volem trobar M, reorganitzem la fórmula:
\[ M = \frac{\theta c^2 R}{4G} \]
Suposem que R és 5×10^20 metres (la distància mitjana de les galàxies). Converteix θ de segons d'arc a radians (1 segon d'arc = 4.848×10^-6 radians):
\[ θ = 1.5 × 4.848 × 10^{-6} \, \text{radian} = 7.272 × 10^{-6} \, \text{radian} \]
Substitueix els valors coneguts:
M = (7.272 × 10-6) (3 × 10-8)² (5 × 10-20)/4 × 6.674 × 10-11)
M = (7.272 × 10-6) (9 × 10-16) (5 × 10-20) (26.696 × 10-11)
M = (3.2764 × 10^{31})}{26.696 × 10^{-11}}
M = 1.227 × 10^{41}, kg
Així doncs, la massa de la galàxia A és d'aproximadament 1.227 × 10^41 quilograms.
4. Precessió perihelial de Mercuri
La relativitat general també pot explicar la precessió de l'òrbita del planeta Mercuri, que no es pot explicar amb la mecànica newtoniana.
Exemple de problemes:
Quina és la magnitud del desplaçament del periheli de Mercuri, tal com s'explica per la relativitat general? (Paràmetre de relació A: 43 segons d'arc per segle)
Discussió:
Utilitzeu directament les dades proporcionades:
Segons la teoria general de la relativitat d'Einstein, el desplaçament del periheli de Mercuri descrit és de 43 segons d'arc per segle, cosa que també coincideix amb els resultats de l'observació.
Conclusió:
Completant aquests exemples de problemes i discussions, podem veure com la relativitat d'Einstein proporciona una comprensió més profunda del temps, la longitud i la gravetat. Aquesta teoria no només va transformar la nostra visió científica de l'univers, sinó que també té aplicacions pràctiques en la tecnologia moderna, com ara els sistemes de navegació GPS, que requereixen correccions relativistes per funcionar amb precisió. Aprendre i comprendre la relativitat d'Einstein és un pas important per aprofundir en el complex món de la física.
