Exemples de preguntes sobre el creixement exponencial
El creixement exponencial és un concepte clau en molts camps, com ara l'economia, la biologia, els negocis i la física. A la vida quotidiana, ens trobem amb freqüència amb situacions que impliquen un creixement exponencial, com ara el creixement de la població humana, la depreciació dels valors nominals a causa de la inflació, la propagació de virus i molts altres. Aquest article tractarà diversos exemples de problemes i les seves solucions relacionats amb el creixement exponencial, ajudant els lectors a comprendre millor aquest concepte.
Conceptes bàsics de creixement exponencial
El creixement exponencial es defineix com el creixement que es produeix a una taxa constant per unitat de temps. Matemàticament, el creixement exponencial es pot definir mitjançant l'equació:
\[ N(t) = N_0 ⋅ e^{kt} \]
On:
– \( N(t) \) és la suma en el temps \( t \)
– \(N_0 \) és el nombre inicial
– \(k\) és la taxa de creixement
– \(t \) és el temps
– \(e \) és el nombre d'Euler (aproximadament 2.718)
Si el valor de \(k\) és positiu, aleshores tenim un creixement exponencial. Per contra, si \(k\) és negatiu, tenim una contracció exponencial.
Exemple de pregunta 1: Creixement de la població
Pregunta
Una ciutat té una població inicial de 100,000 habitants. Si la població de la ciutat creix a un ritme exponencial del 2% anual, quina serà la població de la ciutat després de 10 anys?
Penelesa
Primer, hem d'identificar els valors coneguts:
– \(N_0 \) = 100,000
– \(k\) = 2% per any = 0.02
– \(t \) = 10 anys
Farem servir la fórmula del creixement exponencial:
\[ N(t) = N_0 ⋅ e^{kt} \]
Introduïu els valors coneguts a la fórmula:
\[ N(10) = 100,000 \cdot e^{0.02 \cdot 10} \]
\[ N(10) = 100,000 \cdot e^{0.2} \]
El valor aproximat de \(e^{0.2} \) és aproximadament 1.2214.
\[ N(10) = 100,000 \cdot 1.2214 \]
\[ N(10) = 122,140 \]
Així doncs, la població de la ciutat després de 10 anys és d'unes 122,140 persones.
-
Exemple de pregunta 2: Valor de la inversió
Pregunta
Diposites 5,000 dòlars en un compte que paga un interès anual del 5%. Quant valdran els teus estalvis després de 15 anys?
Penelesa
Identificar valors:
– \(N_0 \) = 5,000
– \(k\) = 5% per any = 0.05
– \(t \) = 15 anys
Utilitzant la fórmula del creixement exponencial:
\[ N(t) = N_0 ⋅ e^{kt} \]
Introduïu valors coneguts:
\[ N(15) = 5,000 \cdot e^{0.05 \cdot 15} \]
\[ N(15) = 5,000 \cdot e^{0.75} \]
L'aproximació \(e^{0.75} \) és aproximadament 2.117.
\[ N(15) = 5,000 \cdot 2.117 \]
\[ N(15) = 10,585 \]
Així doncs, el valor dels vostres estalvis després de 15 anys és d'aproximadament 10,585 $.
-
Exemple 3: Depreciació del cotxe
Pregunta
El valor d'un cotxe nou de 30,000 dòlars disminueix exponencialment a un ritme del 12% anual. Quant valdrà el cotxe després de 5 anys?
Penelesa
Identificar valors:
– \(N_0 \) = 30,000
– \(k \) = -12% per any = -0.12
– \(t \) = 5 anys
Utilitzant la fórmula del creixement exponencial:
\[ N(t) = N_0 ⋅ e^{kt} \]
Introduïu valors coneguts:
\[ N(5) = 30,000 \cdot e^{-0.12 \cdot 5} \cdot
\[ N(5) = 30,000 \cdot e^{-0.6} \]
L'aproximació \(e^{-0.6} \) és aproximadament 0.5488.
\[ N(5) = 30,000 \cdot 0.5488 \]
\[ N(5) = 16,464 \]
Així doncs, el valor del cotxe després de 5 anys és d'uns 16,464 dòlars.
-
Exemple de pregunta 4: Propagació de virus
Pregunta
Una ciutat amb una població inicial de 200 persones s'infecta amb un virus a una taxa de creixement exponencial del 15% per dia. Quin és el nombre total de persones infectades després de 7 dies?
Penelesa
Identificar valors:
– \(N_0 \) = 200
– \(k\) = 15% per dia = 0.15
– \(t \) = 7 dies
Utilitzant la fórmula del creixement exponencial:
\[ N(t) = N_0 ⋅ e^{kt} \]
Introduïu valors coneguts:
\[ N(7) = 200 \cdot e^{0.15 \cdot 7} \]
\[ N(7) = 200 \cdot e^{1.05} \]
L'aproximació \(e^{1.05} \) és aproximadament 2.857.
\[ N(7) = 200 \cdot 2.857 \]
\[ N(7) = 571.4 \]
Així doncs, el nombre total de persones infectades després de 7 dies és d'unes 571 persones.
-
Aquests són exemples de problemes i debats relacionats amb el creixement exponencial. Comprendre com resoldre problemes de creixement exponencial pot ser extremadament útil en diverses aplicacions pràctiques del món real. Amb prou pràctica, aquest concepte es pot dominar i aplicar fàcilment segons calgui.
