Exemple de preguntes que tracten els percentils de les dades d'un grup
Els percentils són una mesura de posició en estadística que s'utilitza per entendre la distribució de dades. En aquest article, parlarem detalladament de com determinar els percentils per a dades agrupades. Inclourem diversos exemples de problemes i les seves explicacions per aclarir aquest concepte. Comencem amb una comprensió bàsica dels percentils i després passem als exemples i les seves explicacions.
Comprensió dels percentils
Un percentil és un valor que divideix les dades en 100 parts iguals. És a dir, el percentil n és el valor per sota del qual es troba el n% de les dades d'una distribució. Per exemple, si les dades tenen el percentil 25 (P25), significa que el 25% de les dades es troben per sota d'aquest valor.
En dades agrupades, sovint utilitzem taules de distribució de freqüències per organitzar les dades i després determinar els percentils rellevants. Aquestes taules presenten les dades en intervals de classe específics, cosa que ens permet entendre la distribució de les dades de manera més completa.
Fórmula percentil en dades de grup
La fórmula general per determinar el percentil n (Pn) en dades de grup és la següent:
\[
P_n = L + (nN – \sum f_{abans}}{f_{k}}) × c
\]
On:
– \(P_n\) és el percentil n-èsim.
– \(L\) és la vora inferior de l'interval de classe percentil.
– \(n\) és el percentil desitjat (per exemple, per a P25, n = 25).
– \(N\) és el nombre total de freqüències acumulades.
– \(\sum f_{\text{before}}\) és la freqüència acumulada abans de l'interval de classe percentil.
– \(f_{k}\) és la freqüència de l'interval de classe percentil.
– \(c\) és la longitud de l'interval de classe.
Exemple de problemes
Per entendre-ho millor, vegem la següent pregunta d'exemple i la discutim en detall.
Exemple de pregunta 1
En una enquesta, es van obtenir dades sobre l'alçada (en cm) de 100 estudiants de 10è de secundària de la manera següent:
| Interval de classe | Freqüència |
|——————-|———–|
| 150 – 154 | 5 |
| 155 – 159 | 8 |
| 160 – 164 | 12 |
| 165 – 169 | 20 |
| 170 – 174 | 30 |
| 175 – 179 | 15 |
| 180 – 184 | 10 |
Calcula el percentil 40 (P40) de les dades.
Passos per resoldre
1. Determineu la freqüència acumulada per a cada classe:
| Interval de classe | Freqüència | Freqüència acumulada |
|——————-|————–|—————————|
| 150 – 154 | 5 | 5 |
| 155 – 159 | 8 | 13 |
| 160 – 164 | 12 | 25 |
| 165 – 169 | 20 | 45 |
| 170 – 174 | 30 | 75 |
| 175 – 179 | 15 | 90 |
| 180 – 184 | 10 | 100 |
2. Identifiqueu l'interval de classe percentil (P40):
Com que busquem P40, necessitem el 40% dels 100 estudiants, que són 40 estudiants. Si mirem la taula de freqüències acumulades, trobem que 40 estudiants es troben a l'interval de classe de 165 a 169 cm perquè 45 és la primera freqüència acumulada que supera 40.
3. Trobeu els valors necessaris a la fórmula:
– \(L = 164.5\)
– \(nN = 40\)
– \(\sum f_{\text{abans}} = 25\)
– \(f_k = 20\)
– \(c = 5\)
4. Introduïu els valors a la fórmula:
\[
P_{40} = 164.5 + (\frac{40 – 25}{20} \right) \times 5
\]
\[
P_{40} = 164.5 + (\frac{15}{20}) \times 5
\]
\[
P_{40} = 164.5 + 0.75 × 5
\]
\[
P_{40} = 164.5 + 3.75
\]
\[
P_{40} = 168.25
\]
Així doncs, el percentil 40 (P40) de les dades és de 168.25 cm.
Exemple de pregunta 2
Suposem que hi ha dades de puntuacions de proves de matemàtiques d'un grup de 200 estudiants:
| Interval de classe | Freqüència |
|——————-|———–|
| 40 – 44 | 10 |
| 45 – 49 | 18 |
| 50 – 54 | 32 |
| 55 – 59 | 45 |
| 60 – 64 | 50 |
| 65 – 69 | 25 |
| 70 – 74 | 12 |
| 75 – 79 | 8 |
Calcula el percentil 75 (P75) de les dades.
Passos per resoldre
1. Determineu la freqüència acumulada per a cada classe:
| Interval de classe | Freqüència | Freqüència acumulada |
|——————-|————–|—————————|
| 40 – 44 | 10 | 10 |
| 45 – 49 | 18 | 28 |
| 50 – 54 | 32 | 60 |
| 55 – 59 | 45 | 105 |
| 60 – 64 | 50 | 155 |
| 65 – 69 | 25 | 180 |
| 70 – 74 | 12 | 192 |
| 75 – 79 | 8 | 200 |
2. Identifiqueu l'interval de classe percentil (P75):
Com que busquem P75, necessitem el 75% dels 200 estudiants, que són 150 estudiants. Si mirem la freqüència acumulada, trobem que 150 estudiants es troben a l'interval de classe 60-64.
3. Trobeu els valors necessaris:
– \(L = 59.5\)
– \(nN = 150\)
– \(\sum f_{\text{abans}} = 105\)
– \(f_k = 50\)
– \(c = 5\)
4. Introduïu els valors a la fórmula:
\[
P_{75} = 59.5 + (\frac{150 – 105}{50} \right) \times 5
\]
\[
P_{75} = 59.5 + (\frac{45}{50}) \times 5
\]
\[
P_{75} = 59.5 + 0.9 × 5
\]
\[
P_{75} = 59.5 + 4.5
\]
\[
P_{75} = 64
\]
Així doncs, el percentil 75 (P75) de les dades és 64.
Conclusió
En aquest article, hem parlat de com determinar els percentils per a dades agrupades mitjançant fórmules i diversos exemples de problemes. Els percentils són una eina útil en estadística per comprendre la distribució de dades i determinar la posició relativa dels valors de les dades. En entendre com calcular els percentils en dades agrupades, podem analitzar les dades de manera més completa. Esperem que aquests exemples de problemes i la discussió us hagin ajudat a entendre millor el concepte de percentils en dades agrupades.
