Exemples de preguntes que tracten l'equació d'una recta tangent a una circumferència
Pendahuluan
L'equació d'una tangent a una circumferència és un tema important en geometria analítica. Comprendre com determinar l'equació d'una tangent a una circumferència pot ajudar a resoldre una àmplia varietat de problemes matemàtics a nivells intermedi i avançat. Aquest article tractarà diversos exemples de problemes i mètodes per determinar l'equació d'una tangent a una circumferència.
Definició i teoria bàsica
Una circumferència en el pla de coordenades normalment es pot representar mitjançant una equació quadràtica:
\[ (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2 \]
on \((a, b)\) és el punt central del cercle i \(r\) és el radi del cercle.
Una tangent a una circumferència des d'un punt extern és una recta que toca la circumferència en exactament un punt. Si suposem que la recta té l'equació:
\[ y = mx + c \]
aleshores la condició que la recta \(y = mx + c\) sigui tangent a la circumferència es pot expressar de la següent manera:
\[ \sqrt{(a + bm)^2 – r^2} = |c| \]
On \(m\) és el pendent de la recta tangent i \(c\) és una constant.
Fórmula de l'equació de la línia tangent
Per a una tangent a una circumferència amb centre \((0,0)\) i radi \(r\), la seva equació en el punt \((x_1, y_1)\) de la circumferència és:
\[ x_1x + y_1y = r^2 \]
Però si el centre del cercle és al punt \((a, b)\), aleshores l'equació és:
\[ (x_1 – a)(x – a) + (y_1 – b)(y – b) = r^2 \]
Exemples de preguntes i debats
Pregunta 1
Una circumferència amb centre a \((3, 4)\) i radi de 5 unitats. Determineu l'equació de la recta tangent des del punt \((6, 8)\).
Discussió:
En aquest problema, se'ns dóna una circumferència amb centre a \((3, 4)\), un radi de 5, i hem de trobar l'equació de la recta tangent des del punt \((6, 8)\). Aquests són els passos per resoldre'l:
1. Verifiqueu que el punt \((6, 8)\) no està dins del cercle: \\
\[
\sqrt{(6-3)^2 + (8-4)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5
\]
Així doncs, el punt és a la circumferència i es pot utilitzar per trobar la recta tangent.
2. Utilitzant la fórmula:
\[
(x_1 – a)(x – a) + (y_1 – b)(y – b) = r^2
\]
\[
(6 – 3)(x – 3) + (8 – 4)(y – 4) = 5^2
\]
3. Simplifica l'equació:
\[
3(x – 3) + 4(y – 4) = 25
\]
4. Desenvolupar:
\[
3x – 9 + 4y – 16 = 25
\]
\[
3x + 4y – 25 = 50
\]
L'equació de la recta tangent obtinguda és:
\[
3x + 4y = 50
\]
Pregunta 2
Circumferència amb l'equació \[x^2 + y^2 = 16\]. Determina l'equació de la recta tangent des del punt \((4, 0)\).
Discussió:
Un cercle amb centre a \((0, 0)\) i radi de 4 unitats. El punt exterior donat és \((4, 0)\).
1. Utilitzant la fórmula per a una circumferència amb centre \((0, 0)\):
\[
x_1x + y_1y = r^2
\]
2. Substitució de valors:
\[
4x + 0 \cdot y = 4^2
\]
3. Simplifica:
\[
4x = 16
\]
\[
x = 4
\]
Això vol dir que l'equació tangent que tenim és:
\[
x = 4
\]
Pregunta 3
Forma una recta tangent a la circumferència \((x+2)^2 + (y-3)^2 = 9\) en el punt \((-1, 5)\).
Discussió:
Un cercle amb centre a \((-2, 3)\) i radi de 3 unitats. El punt de tangència és \((-1, 5)\).
1. Verifiqueu que el punt es troba sobre el cercle:
\[
((-1+2)^2 + (5-3)^2) = 1 + 4 = 5 \neq 9 \rightarrow \text{no és al cercle}
\]
Per tant, pot haver-hi un error en l'entrada de la pregunta o del punt. Si es dóna \((-2, 6)\) com a punt de tangència:
2. Simplifica:
\[
(x_1-a)(xa) + (y_1-b)(yb) = r^2
\]
Substitució:
\[
(-2-(-2))(x+2) + (6-3)(y-3) = 9\]
Resultat:
\[
0 + 3(y-3) = 3^2
\]
\[
3y-9=9
\]
\[
i = 6
Resulta que el punt i pers.:
y = 6 és definitivament vàlid.
Combinació de comprovació de conclusions, memoritzar, 2 maneres de comptar.
vàlid/fals... Això Plus resum gar. td 2; forma validar amb (quadrícula). plis perímetre tots els botons de cobertura.
Això és tot, gràcies i espero que això sigui útil per als meus amics.
A més, apreneu el concepte d'enfortir la comprensió.
Aquells que abans no ho entenien, si Déu vol, tindran passos quirúrgics crítics més detallats.
\[
.facts(n+x)=qa.\color{impedeix}-fu.
"
