Exemple de problemes que tracten equacions de corrent altern
Pendahuluan
El corrent altern (CA) és un tipus de corrent elèctric que pot canviar de direcció periòdicament. A diferència del corrent continu (CC), que flueix en una direcció, el CA té una forma d'ona sinusoidal i és crucial en diverses aplicacions quotidianes, des de la llar fins a la indústria. Saber treballar amb equacions de corrent altern és essencial per comprendre diversos aspectes importants de l'electrònica i l'electricitat. Aquest article tractarà diversos exemples de problemes i solucions per aclarir el concepte d'equacions de corrent altern.
Equació general del corrent altern
El corrent altern s'expressa generalment mitjançant l'equació sinusoidal:
\[ i(t) = I_m \sin(ωt + phi) \]
On:
– \(i(t) \) és el corrent instantani en funció del temps.
– \(I_m\) és el valor màxim (pic) del corrent.
– \( \omega \) és la velocitat angular, amb unitats de radians per segon.
– \(t \) és el temps.
– \( \phi \) és la fase inicial del corrent.
Exemple de pregunta 1: Determinació del corrent en un moment determinat
Pregunta:
Donada l'equació de corrent altern \(i(t) = 10 \sin(100\pi t + \pi/3)\). Determineu la magnitud del corrent en el temps \(t = 0.01 \) segons.
Discussió:
Se sap:
\[ I_m = 10 \, \text{A} \]
\[ ω = 100 π , \text{rad/s} \]
\[ phi = π/3 \]
\[ t = 0.01 \, \text{segons} \]
Substituïu aquests valors a l'equació actual:
\[ i(0.01) = 10 \sin(100π × 0.01 + π/3) \]
\[ i(0.01) = 10 \sin(\pi + \pi/3) \]
\[ i(0.01) = 10 \sin(4\pi/3) \]
Va assenyalar que:
\[ \sin(4\pi/3) = -\sin(\pi/3) \]
\[ \sin(\pi/3) = \sqrt{3}/2 \]
Així doncs:
\[ \sin(4\pi/3) = -\sqrt{3}/2 \]
\[ i(0.01) = 10 × -\sqrt{3}/2 \]
\[ i(0.01) = -5\sqrt{3} \]
\[ i(0.01) \aprox -8.66 \, \text{A} \]
Així doncs, la magnitud del corrent en el temps \(t = 0.01 \) segons és aproximadament \(-8.66 \, \text{A} \).
Exemple de pregunta 2: Determinació de la velocitat angular i la freqüència
Pregunta:
Per a un corrent altern expressat per l'equació \(i(t) = 5 \cos(200πt – π/4)\), determineu la velocitat angular (ω) i la freqüència (f) del corrent.
Discussió:
Donat:
i(t) = 5 \cos(200 π t – π/4)
La velocitat angular (\( \omega \)) és el coeficient de \( t \) en l'argument del cosinus, que és \( 200 \pi \).
\[ ω = 200 π , \text{rad/s} \]
La freqüència (f) es pot obtenir mitjançant la relació:
\[ ω = 2 π f \]
\[ f = \frac{\omega}{2\pi} \]
Substituïm el valor de la velocitat angular:
\[ f = \frac{200 π}{2 π} \]
\[ f = 100 \, \text{Hz} \]
Així doncs, la velocitat angular del corrent és \(200\pi\, \text{rad/s} \) i la freqüència del corrent és \(100 \, \text{Hz} \).
Exemple de pregunta 3: Determinació del valor RMS
Pregunta:
Per a un corrent altern donat per (i(t) = 7 \sin(50t)), determineu el valor RMS (arrel quadrada mitjana).
Discussió:
Se sap:
\[ i(t) = 7 \sin(50t) \]
El valor RMS per a un corrent sinusoidal és:
\[ I_{\text{RMS}} = \frac{I_m}{\sqrt{2}} \]
on \(I_m\) és el valor màxim del corrent.
El valor màxim del corrent \(I_m) és de 7 A.
Així doncs:
\[ I_{\text{RMS}} = \frac{7}{\sqrt{2}} \]
\[ I_{\text{RMS}} = \frac{7 \sqrt{2}}{2} \]
\[ I_{\text{RMS}} \aprox. 4.95 \, \text{A} \]
Per tant, el valor RMS per a aquest corrent és d'uns 4.95 A.
Exemple de pregunta 4: Càlcul de la potència mitjana
Pregunta:
Un circuit elèctric consta d'una resistència de 10 ohms i té un corrent altern \(i(t) = 6 \sin(120\pi t)\). Calcula la potència mitjana consumida per la resistència.
Discussió:
Donat el corrent:
\[ i(t) = 6 \sin(120πt) \]
El valor del corrent màxim (\(I_m \)) és de 6 A.
El valor RMS del corrent és:
\[ I_{\text{RMS}} = \frac{I_m}{\sqrt{2}} \]
\[ I_{\text{RMS}} = \frac{6}{\sqrt{2}} \]
\[ I_{\text{RMS}} = 3\sqrt{2} \]
Resistència (\(R \)) = 10 ohms.
La potència mitjana (\(P \)) en una resistència es pot calcular mitjançant:
P = I_{\text{RMS}}^2 \times R
P = (3²)² × 10
\[P = 18 × 10\]
\[ P = 180 \, \text{W} \]
Per tant, la potència mitjana consumida per la resistència és de 180 W.
Tancament
En aquest article, hem tractat diversos exemples de problemes i hem discutit les equacions del corrent altern. Saber calcular el corrent per unitat de temps, la velocitat angular, la freqüència, el valor RMS i la potència mitjana és crucial per entendre el corrent altern i les seves aplicacions a la vida quotidiana. Comprendre aquests conceptes ens ajuda a dissenyar i analitzar diversos circuits elèctrics que utilitzen corrent altern.
