Exemples de preguntes i discussió sobre l'aplicació de les integrals en el càlcul de l'àrea d'un pla pla
En l'ensenyament de les matemàtiques, les integrals es troben sovint en el càlcul. Una de les aplicacions més conegudes de les integrals és el càlcul de l'àrea sota una corba o un pla. Aquest article tractarà diversos problemes d'exemple i tractarà l'aplicació de les integrals al càlcul de l'àrea d'un pla.
Introducció a la teoria
Abans de passar al problema d'exemple, repassem el concepte bàsic del càlcul de l'àrea sota una corba mitjançant integrals. Si tenim una funció f(x) que és contínua en l'interval [a, b], aleshores l'àrea sota la corba y = f(x) des de x = a fins a x = b és:
\[ L = \int_{a}^{b} f(x) \, dx \]
Geomètricament, això significa que estem sumant l'àrea d'un rectangle molt prim des de x = a fins a x = b.
Exemple de pregunta 1
Pregunta
Calcula l'àrea sota la corba y = x² en l'interval [1, 3].
Discussió
Per calcular l'àrea, fem servir la integral:
L = (1/3 x³) dx
Comencem trobant l'antiderivada de \( x^2 \). L'antiderivada de \( x^2 \) és \( \frac{x^3}{3} \). Aleshores, la integral esdevé:
\[ L = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{3} \]
Recordeu que hem d'avaluar la primitiva en els límits de la integral:
\[ L = ( \frac{3^3}{3} \right) – ( \frac{1^3}{3} \right) \]
\[ L = ( \frac{27}{3} \right) – ( \frac{1}{3} \right) \]
\[ L = 9 – \frac{1}{3} \]
L = 27/3 – 1/3
\[ L = \frac{26}{3} \]
Així doncs, l'àrea sota la corba y = x² des de x = 1 fins a x = 3 és:
\[ \frac{26}{3} \, \text{unitat d'àrea} \]
Exemple de pregunta 2
Pregunta
Determineu l'àrea de la regió delimitada per la corba y = x³ i les rectes x = 1 i x = 2.
Discussió
Per calcular l'àrea, fem servir la integral:
L = (1/2 x³) dx
Com de costum, comencem trobant l'antiderivada de \( x^3 \). L'antiderivada de \( x^3 \) és \( \frac{x^4}{4} \). La integral esdevé:
\[ L = \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{1}^{2} \]
Avalua els límits de la integral:
\[ L = ( \frac{2^4}{4} \right) – ( \frac{1^4}{4} \right) \]
\[ L = ( \frac{16}{4} \right) – ( \frac{1}{4} \right) \]
\[ L = 4 – \frac{1}{4} \]
L = 16/4 – 1/4
\[ L = \frac{15}{4} \]
Així doncs, l'àrea sota la corba y = x³ des de x = 1 fins a x = 2 és:
\[ \frac{15}{4} \, \text{unitat d'àrea} \]
Exemple de pregunta 3
Pregunta
Determineu l'àrea de la regió delimitada per les corbes y = x² + 1 i y = 2x + 2 en l'interval x = 0 a x = 1.
Discussió
Primer, necessitem trobar els punts d'intersecció per determinar els límits de la integració. La solució a \( x^2 + 1 = 2x + 2 \):
\[ x^2 + 1 = 2x + 2 \]
\[ x^2 – 2x – 1 = 0 \]
Utilitzant la fórmula quadràtica:
\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} \]
\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} \]
\[ x = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} \]
\[ x = 1 \pm \sqrt{2} \]
Tanmateix, per als límits superior i inferior entre 0 i 1, no cal utilitzar la solució quadràtica, només el límit integral ordinari de 0 a 1. A continuació, calculeu l'àrea de la corba y superior menys la corba y inferior segons aquests límits:
L = (0, 1) [(2x + 2) – (x^2 + 1)], dx
Simplificació de funcions:
L = (0, 1) (2x + 2 – x^2 – 1) dx
L = (-x² + 2x + 1) dx
A continuació, trobem la primitiva:
La primitiva de \( (-x^2) \) és \( -\frac{x^3}{3} \),
La primitiva de \( (2x) \) és \( x^2 \),
La primitiva de \( (1) \) és \( x \).
Així que,
\[ L = \left. \left(-\frac{x^3}{3} + x^2 + x \right) \right|_0^1 \]
Pròxima avaluació:
\[ L = \left[ -\frac{1^3}{3} + 1^2 + 1 right] – \left[ -\frac{0^3}{3} + 0^2 + 0 right] \]
\[ L = \left[ -\frac{1}{3} + 1 + 1 right] – \left[ 0 right] \]
L = -\frac{1}{3} + 2
L = 6/3 – 1/3
\[ L = \frac{5}{3} \]
Així doncs, l'àrea de la regió delimitada per les corbes y = x² + 1 i y = 2x + 2 en l'interval [0, 1] és:
\[ \frac{5}{3} \, \text{unitat d'àrea} \]
-
A partir dels exemples anteriors, podem veure com es poden utilitzar les integrals per calcular l'àrea sota una corba o entre dues corbes. Amb una comprensió adequada dels conceptes bàsics de les integrals i les tècniques antiderivades, el càlcul d'aquestes àrees esdevé molt sistemàtic i eficient. Esperem que aquest article hagi augmentat la nostra comprensió de l'aplicació de les integrals al món real, particularment en el camp de la mesura de l'àrea de superfícies planes.
