Exemples de preguntes i discussió sobre la decadència exponencial
El decaïment exponencial és un fenomen natural que es troba en diverses disciplines com la física, la química, la biologia i l'economia. Com a model matemàtic, el decaïment exponencial descriu el procés pel qual una quantitat determinada disminueix proporcionalment a la seva quantitat actual. En matemàtiques, el decaïment exponencial segueix la forma general:
\[ N(t) = N_0 e^{-λt} \]
On:
– \( N(t) \) és la quantitat restant en el temps \( t \),
– \(N_0 \) és el nombre inicial,
– \( \lambda \) és la constant de decaïment (sovint anomenada taxa de decaïment),
– \(t \) és el temps,
– \(e \) és la base del logaritme natural (aproximadament 2.718).
En aquest article, tractarem alguns exemples de problemes de decaïment exponencial juntament amb les seves explicacions per ajudar a entendre aquest concepte més profundament.
Exemple de pregunta 1: Desintegració radioactiva
Pregunta:
Una substància radioactiva té una vida mitjana de 5 anys. Si inicialment hi hagués 100 grams de la substància, quant en quedaria després de 15 anys?
Discussió:
La desintegració radioactiva es pot modelar mitjançant la fórmula de la desintegració exponencial. El període de semidesintegració (\(t_{1/2} \)) és el temps necessari perquè es desintegri la meitat de la quantitat de material radioactiu. Se sap que \(t_{1/2} = 5 \) anys.
Primer hem de trobar la constant de decaïment λ amb la fórmula:
\[ λ = \frac{\ln 2}{t_{1/2}} \]
\[ \lambda = \frac{\ln 2}{5} \approx 0.1386 \text{ any}^{-1} \]
Així doncs, la fórmula del decaïment exponencial és:
\[ N(t) = N_0 e^{-λt} \]
\[ N(t) = 100 e^{-0.1386 × 15} \]
Ara calculem el valor:
\[ N(t) = 100 e^{-2.079} \]
\[ N(t) = 100 × 0.125 \]
\[ N(t) \aprox. 12.5 \text{ grams} \]
Així doncs, després de 15 anys, queden uns 12.5 grams de material radioactiu.
Exemple 2: Decaïment del condensador
Pregunta:
Un condensador amb una càrrega inicial (Q_0 = 200 C) es pot descarregar en un circuit. La constant de temps és (τ = 4 s). Quanta càrrega queda després de 10 segons?
Discussió:
En el cas de la disminució de la càrrega d'un condensador, el model exponencial utilitzat és:
\[ Q(t) = Q_0 e^{-t/τ} \]
Donat \( Q_0 = 200 \text{ C} \) i \( \tau = 4 \text{ s} \). Hem de trobar \( Q(10) \):
\[ Q(10) = 200 e^{-10/4} \]
Q(10) = 200 e^{-2.5}
Càlcul de valors exponencials:
\[ Q(10) = 200 × 0.0821 \]
\[ Q(10) \aprox. 16.42 \text{ C} \]
Així doncs, després de 10 segons, la càrrega restant al condensador és d'uns 16.42 C.
Exemple de pregunta 3: Desintegració química
Pregunta:
Una substància química té una constant de desintegració de \( \lambda = 0.05 \text{ dies}^{-1} \). Quant de temps trigarà la substància química a disminuir fins al 25% de la seva quantitat original?
Discussió:
Comencem amb la fórmula general del decaïment exponencial:
\[ N(t) = N_0 e^{-λt} \]
Volem que N(t) sigui el 25% de \(N_0\), de manera que:
\[ 0.25 N_0 = N_0 e^{-0.05 t} \]
Eliminant \(N_0\) de tots dos costats:
\[ 0.25 = e^{-0.05 t} \]
Ús de logaritmes naturals per resoldre casos exponencials:
\[ \ln 0.25 = -0.05 t \]
\[ -1.3863 = -0.05 t \]
Resolent per a \(t \):
\[ t = \frac{1.3863}{0.05} \]
\[ t \aprox. 27.726 \text{ dies} \]
Així doncs, el temps necessari perquè la substància química es redueixi al 25% de la seva quantitat inicial és d'aproximadament 27.726 dies.
Exemple de pregunta 4: Descomposició de la població bacteriana
Pregunta:
Una població bacteriana disminueix a un ritme exponencial, de manera que després de 3 hores, la població és la meitat del seu nombre inicial. Si la població inicial era de 8000 bacteris, quants bacteris queden després de 9 hores?
Discussió:
Se sap que el període de semidesintegració (t1/2 = 3) hores. Primer trobem la constant de decaïment (λ):
\[ λ = \frac{\ln 2}{t_{1/2}} \]
\[ \lambda = \frac{\ln 2}{3} \aprox 0.231 \text{ hora}^{-1} \]
Després d'això, utilitzem la fórmula de decaïment exponencial:
\[ N(t) = N_0 e^{-λt} \]
\[ N(9) = 8000 e^{-0.231 × 9} \]
Càlcul de valors exponencials:
\[ N(9) = 8000 e^{-2.079} \]
\[ N(9) = 8000 × 0.125 \]
\[ N(9) \aprox. 1000 \]
Així doncs, després de 9 hores, quedaran uns 1000 bacteris.
Conclusió
El model de decaïment exponencial proporciona un enfocament eficient per resoldre problemes relacionats amb els processos de decaïment en una varietat d'aplicacions científiques i d'enginyeria. En comprendre conceptes bàsics com ara les constants de decaïment, les vides mitjanes i l'ús de fórmules exponencials, podem calcular el canvi d'una quantitat al llarg del temps amb relativa facilitat. Els problemes de pràctica que s'han comentat anteriorment ens haurien d'ajudar a entendre i aplicar el concepte de decaïment exponencial a situacions més complexes.
